海平面波动在地球科学和海洋动力学等领域引起了越来越多的关注。 最近，长程相关性（LRD）或长记忆，由赫斯特参数测量，表示为 H（H） Barbosa等人（2006年）报告了海平面的变化。 然而，关于海平面局部粗糙度的报告以分形维数为特征，用 D类 ，海平面，很少见到。 注意，描述具有LRD的随机函数的常见模型是分数高斯噪声（fGn），它是分数布朗运动（fBm）的增量过程（Beran（1994））。 如果使用fGn模型， D类 随机函数的值大于1小于2，因为 D类 受以下限制 H（H） 有限制 本文基于一类称为Cauchy-class（CC）过程的特殊过程，引入了具有LRD的一维随机函数的概念，以分别表征海平面的局部粗糙度和长期持续性。 为了实现这一目标，我们以封闭形式给出了CC过程的功率谱密度（PSD）函数。国家数据浮标中心（NDBC）在佛罗里达州和墨西哥湾东部六个站点收集的实际海平面数据建模案例研究表明，海平面可能是一维的，但可能是LRD。 该案例研究还表明，CC过程可能是海平面的一种可能模型。 除此之外，本文还展示了海平面的年多尺度现象。
1.简介 尽管总的来说，相对平均海平面在一年、10年或100年的大范围时间尺度上的长期变化趋势，以及大范围的空间尺度，例如全球尺度，当然是海洋动力学方面的一个重点，参见[ 1 , 2 ]，Lyard等人[ 三 ]海平面的局部波动，或小时间尺度的海平面动态，例如每天或每小时，对于一些实际问题至关重要，例如导航、海岸工程、军事登陆和潮汐发电，参见刘[ 4 ], [ 5 第8章]，怀特基和纳卡拉[ 6 ].
最近，Barbosa等人[ 7 ]报告了他们的工作，以证明北大西洋海平面具有LRD的属性。 他们根据LRD随机函数的常用渐近PSD表达式分析了海平面的LRD行为 如果 0，即的PSD 噪音，其中 如果 是频率。 然而，他们既没有给出闭合形式的海平面的解析表达式，也没有提到海平面的局部粗糙度。 本文的目的是探讨我们在海平面波动方面的研究，以期通过以下三个方面的贡献，进一步迈出相当大的一步。 （i） 我们引入了LRD的概念，但引入了一维随机函数。 这个概念是基于Cauchy-class（CC）过程引入的。 CC过程的自相关函数（ACF）可以在地质统计学领域中看到[ 8 ]，但其封闭形式的PSD是一个尚未解决的问题。 我们将在本文中提出这个问题的解决方案。 （ii） 在海平面分形分析方面，我们将提出两个新的结果。 一是海平面可能是一维的，虽然LRD可以定量表征海平面的局部粗糙度。 另一个是赫斯特参数， H（H） 海平面的变化具有多尺度特性。 （iii） 我们将展示CC模型与佛罗里达州和墨西哥湾东部的海平面非常吻合。 准确地说，我们的意思是CC过程的PSD和测量的PSD之间的均方误差（MSE）的数量级为 或更少。
请注意，LRD时间序列可以被视为分形时间序列类，例如，参见Beran[ 9 ]曼德尔布罗特[ 10 ]. 最常用的LRD模型是Mandelbrot引入的分数高斯噪声（fGn）[ 11 ]，其中分形维数 D类 测量fGn局部粗糙度的fGn的 H（H） 通过 D类 = 2 H（H） [ 9 , 10 ]. 在本文中，我们分别对 D类 和 H（H） 海平面。 更准确地说，使用CC模型， D类 海平面保持不变 H（H） 变化范围为0.5到1。
在本文的其余部分，我们在第节中给出了CC过程的PSD的闭合形式 2 .第节 三 演示了数据建模的结果。 讨论安排在章节中 4 最后，第节 5 论文的结论。
2.CC过程：具有LRD的一维随机函数 在本节中，我们将解释CC过程，这是一个带有LRD的一维随机函数。 本节的目的是展示带有LRD的CC过程的PSD的闭合形式。
2.1. LRD流程简介 让 X ( t吨 )是均值为零的平稳过程 让 = 是的自相关函数（ACF） X ( t吨 )，其中 指定时间滞后。 那么，如果 不可积分， X ( t吨 )是LRD，而它是短程依赖（SRD），如果 是可积的。 对于幂律型ACF，其渐近性质由 哪里 c（c） >0是一个常数，LRD条件用0表示 1 [ 9 , 10 ]. 参数 是LRD的指数。 表达 通过Hurst参数 H（H） 以便 产生LRD条件0.5 H（H） 1.越大 H（H） 价值越高，长期坚持性越强。
表示 傅里叶变换 然后，在原点附近， 渐近性质表示为 这意味着幂律型PSD，其中 取决于 c（c） 和 。
2.2. CC过程 2.2.1. CC工艺的ACF 在本研究中，我们重点关注地质统计学中讨论的ACF。 由（奇莱斯和德尔菲尔）给出[ 8 ，第86页]） 我们称之为高斯过程 X ( t吨 )接下来( 2.3 )CC过程。
上述ACF对于 因为一个人可以代替 通过 ，我们通过以下方式简化了上述内容： 为了便于讨论LRD，我们将上述内容重写为 方程式( 2.5 )当 = 2.
2.2.2. CC工艺的LRD条件 显然，CC过程的LRD条件为0 1是因为 SRD条件为 b条 1.CC过程的Hurst参数计算如下 为了便于说明 依据 H（H） ，我们写 通过 图 1 表示 对于的三个值 H（H） 。
2.2.3. CC过程PSD 因为 对0不可积分 b条 1，金融时报 如果为0，则在普通函数域中不存在 b条 1.这提醒我们，带LRD的CC过程的PSD应被视为测试函数的Schwartz空间上的广义函数。
请注意 表示为( 2.5 )据我们所知，仍然未知。 通过计算FT 表示为( 2.5 )在广义函数域中（参见Gelfand和Vilenkin[ 12 ])，我们获得 哪里 是第二类修正贝塞尔函数（Olver[ 13 ，第254页]），表示为
功能 具有以下渐近性质。 什么时候？ 很小，请参阅[ 13 , ( )，第252页]，其中一个 因此， 上述表达式表明 如果 当0 1.这是频域中描述的LRD条件，这意味着具有LRD的CC过程是一种 噪音。
带有LRD的CC模型的PSD在 然而，我们可以对其进行正则化，以便正则化的PSD在 表示 0时的正则PSD b条 1.然后， 在这种情况下， 在下文中，除非另有说明，否则假定私营部门司为正规私营部门司。 图 2 说明了带有LRD的CC过程的正则PSD。
2.2.4。 连铸过程的分形维数 跟随Adler的工作[ 14 ]、霍尔和罗伊[ 15 ]还有肯特和伍德[ 16 ]，可以获得表达式( 2.13 )如果 在（0， )如果 哪里 c（c） 为常数，则分形维数由下式给出 考虑到( 2.14 )和 α =2英寸( 2.5 )，我们立即获得CC过程的分形维数，如下所示 因为( 2.5 )，我们有
3.海平面案例研究 3.1. 数据 NDBC是美国国家气象局（NWS）的一部分[ 17 ]为科学研究提供了从气温到海平面的大量数据。 我们使用分别在LONF1、LKWF1、SAUF1、SMKUF1、SPGF1和VENF1六个站点收集的数据。 它们位于佛罗里达州和墨西哥湾东部，参见[ 18 ].
数据属于水位类别，可从[ 19 ]. 用TGn表示的十个设备每小时记录一次所有数据( = 01,02,…,10). 在不失通用性的情况下，以下使用设备TG01中的数据。 通过表示数据系列 ，其中 是测量站的名称 代表年份指数。 表示 和 作为年测量站s的测量时间序列和测量PSD 分别是。 例如， _smkf1_2003年( )和 _smkf1-2003型( )分别表示2003年SMKF1站测得的时间序列和测得的PSD。
标记为99的数据被视为离群值或缺失值，并被该序列的平均值替换。 根据NDBC的建议，10 从的每个值中减去ft 在估计其PSD之前。
实际上，一个频谱是在一个区块一个区块的基础上测量的（Mitra和Kaiser[ 20 ]，李[ 21 ]). 因此，频谱测量中存在误差（例如截断误差）。 为了减少误差，通常通过平均数据块的谱估计来测量频谱。 让 B类 为块大小，并让 M（M） 分别为平均数。 我们在非重叠情况下对数据进行了分段。 M（M） 是这样选择的： ，其中 是的总长度 .表格 1 , 2 , 三 , 4 , 5 、和 6 列出测量的数据和光谱测量的设置。
3.2. PSD和H估计数据的拟合 表征海平面LRD的关键参数是 H（H） .有关以下方面的文献 H（H） 估计很充分。 常用的估计值 H（H） 是 分析、最大似然法、基于变异函数的方法、箱数计算、去趋势波动分析、谱回归、相关回归，例如，请参见[ 10 , 11 ]，Peng等人[ 22 ]，Kantelhardt等人[ 23 ]，Taqqu等人[ 24 ]，和Yin等人[ 25 ]. 在本文中，我们使用谱回归方法来估计 H（H） 。
获得测量的PSD后 我们用理论PSD进行数据拟合 通过使用最小二乘拟合对CC过程进行分析。 用表示成本函数 哪里 在标准化的情况下。 的衍生物 J型 关于 b条 ，当 J型 是最小值，产量 或同等 ，这是 = 0.
图 三 表示LONF1站的4个系列。 每个数据点从第一个数据点开始到第256个数据点，即大约前10天的数据。 每个系列的实测PSD和理论PSD之间的数据拟合如图所示 4 .通过最小二乘拟合，我们得到了估计值 H（H） 值0.973、0.975、0.991、0.990 x个 _伦敦1-1998( t吨 ), x个 _隆f1_1999( t吨 ), x个 _lonf1_2002年( t吨 ), x个 _lonf1_2005（表 7 ). 每个系列数据拟合的MSE的数量级为 （表 7 ). 估计 H（H） 表中总结了其他系列的 7 , 8 , 9 , 10 , 11 、和 12 。
3.3. H估计的汇总结果 请参阅表 7 —— 12 。
4.讨论 值得注意的是，几个地点的实际海平面数据可能不足以推断所讨论的CC模型为我们提供了海平面的一般模式。 然而，考虑到所有测量序列的曲线拟合的MSE在 或更少，请参阅表 7 —— 12 CC过程可能对研究海平面建模以及大尺度和小尺度海平面波动有用。 这项研究表明，海平面可能是一维的( 2.15 )这是对海平面局部粗糙度的定量描述。
从表中的结果判断 7 —— 12 ，我们看到海平面是LRD，因为 H（H） s大于0.5。 然而， H（H） 每年变化，见表 7 —— 12 因此，海平面是多尺度的。 考虑LRD和重尾概率密度之间关系的Taqqu定理[ 26 ]，Abry等人[ 27 ])，我们推断海平面很高。 因此，作为副产品，本研究结果支持这样一种观点，即重尾分布，即LRD，如Pisarenko和Rodkin所指出的，在地球科学的灾害分析领域发挥着作用[ 28 ].
注意，本研究中使用的测试数据的选择是任意的，只是为了演示CC过程在海平面动力学中的应用案例。 本文可能是使用一类一维随机函数和LRD研究海平面动力学的初学者。 其他方法[ 29 —— 41 ]，如小波和短期脉冲可能有助于这方面的研究。
5.结论 我们给出了CC过程PSD的闭合形式。 我们已经解释过，这类过程是一维但LRD的。 将其应用于佛罗里达州和墨西哥湾东部的海平面建模，意味着所讨论的CC过程可能是海平面建模的候选方法。
致谢 这项工作得到了国家自然科学基金项目60573125、60873264、61070214、608770002和70871077的部分支持，项目2011CB302800的973计划，NCET和浙江省科技厅的部分支持（2009C21008、2010R10006、2010C33095、Y1090592）。 国家数据浮标中心受到高度赞赏。
