我们研究了由有限时间序列表示的流中的“局部湍流强度”与“混沌不变量”之间的可能联系，即表征该序列的主要Lyaponuv指数。为了验证关于这一联系的推测，我们分析了一架飞机在对流层上层以恒定高度飞行时所进行的几次时间序列测量。对于每个时间序列，我们估计了领先的Lyaponuv指数，然后将其与温度的结构常数相关联。此外，我们还介绍了一种定量技术来导出流量的标度含量，以及一种验证其光谱的方法。
1.简介
大气状态随时间变化的确定性定义在域中可以根据域中每个点的各种气象变量（风、温度、压力、湿度等）的值进行计算。然而，由于缺乏适当的数据，使用该定义来描述不同状态并进行有意义的区分是不现实的。鉴于这种情况，必须使用平均统计量来至少部分地表征大气状态（例如，可以为此目的使用). 理想情况下，有限数量的此类量将足以完全表征状态（如理想气体处于平衡状态）。然而，很明显，大气层并非如此。
一般来说，用（有限的）不变量集描述动力系统的状态是一项困难的任务。为了使这个问题进一步复杂化，通常用有限的测量时间序列来表示动力系统。对于大气，局部状态通常由一个点上的（有限）时间序列测量值或（几乎）空间域上的（飞机）同步测量值表示。在这些情况下，挑战是从这个表示中提取尽可能多的有用信息[1,2]. 特别是，人们希望利用这个时间序列来定性和定量区分不同的当地大气状态。
从这种表示中提取信息的“传统工具”之一是时间序列的平均谱及其在不同波数下的斜率。该信息对于确定大气“结构常数”很重要[三]影响电磁信号在大气中的传播[4]以及许多其他应用程序。然而，此谱的估计可能会因数据中的不连续性和用于此估计的参数（例如填充、窗口等）而产生偏差[5]. 因此，重要的是通过其他独立方法交叉验证此光谱的测定。本文的第一个任务是使用小波变换进行交叉验证。此外，我们在本文中引入了一种新的定量方法，对时间序列数据流进行“尺度分解”。
本文的主要目的是研究局部湍流强度的可能特征[6]通过“混沌不变量”，即领先的Lyaponuv指数[1,7,8]表示流的时间序列。因此，通过多个案例研究，我们希望在本文中验证的基本假设是，局部湍流强度在功能上与时间序列的主要Lyaponuv指数相关。直观地说，这意味着随着流动中湍流强度的增加，流动变得更加混乱，对初始条件的敏感性也增加。（我们在第节中提供了关于这个猜想的一些其他见解2.3.)
为了验证这一推测，我们间接地进行。大气中湍流强度的一个众所周知的表现是通过密度波动（这导致了众所周知的“恒星闪烁”现象）。因此，湍流强度与（折射结构常数[三,9,10]). 对流层上部（高度约为10 km），主要贡献者是-温度的结构常数。因此，如果我们的猜测是正确的，那么温度时间序列的领先Lyaponuv指数应该是（我们注意到许多其他尝试都是为了将混沌理论和湍流联系起来，参见例如[11].)
在大气流分析中，“长度尺度”非常重要。事实上，人们谈到大气流中存在的“积分尺度”和“尺度状态”。然而，从时间序列表示中计算这些值的算法仅适用于积分尺度[6]. 科恩提出的尺度密度表示法[12]和其他[13,14]可以定量表示水流中存在的不同尺度及其强度。在某种程度上，这种分解与谱分析类似（谱分析将平均能量密度分布表示为频率的函数），但这里我们表示给定尺度下的流强度。特别是，可以预计，在流动中存在的两个尺度区域之间的边界处，该强度将“大幅下降”。在本文中，我们应用此变换从流的时间序列数据中获得流的“尺度分解”。
本文计划如下：2我们对本文中使用的技术进行了简短的理论概述。在节中三我们提供了用于实现本研究目标的数据。在节中4我们讨论了使用上述技术从该数据中获得的结果。我们在第节结束5有一些结论和观察。
2.理论背景
2.1. 分形维数与小波变换
通常，地球物理时间序列被假定为“自相关”[5]. 因此，可以应用Mandelbrot和Van Ness的定理，即Hausdorff维数时间序列的与半变异函数有关通过关系哪里是“滞后”。此外[1,5]，光谱密度斜率时间序列的维数与Hausdorff维数和分形维数有关(和相应）通过关系
这些关系使我们能够评估而不依赖于光谱的计算。
另一种计算方法基于小波变换[5]其中小波函数被选择为墨西哥帽函数。让)是（时间序列）的小波变换其中a是小波函数的“宽度”。
研究发现，对于这个小波，方差属于满足幂律关系此外从而产生另一个独立的测定。
最后，我们注意到要评估对于波数范围，其中不是常数，必须对时间序列应用适当的“去趋势”（即过滤），也就是说，必须首先从流的其他部分删除贡献。我们在第节中讨论了基于主成分分析的这种技术2.4。
2.2. 缩放变换
函数的傅里叶变换定义为该定义利用了表单的“权重函数”它们是“频率算符”的本征函数受到这一观察的启发科恩[12]德塞纳和罗切索[13]引入对称化的“尺度算子”其特征函数为
解释参数““在中(2.10)，我们注意到在位置处具有相同相位作为如果此序列中两个连续点之间的距离不是恒定的然而，作为““价值增加，距离缩小；也就是说，振荡速度更快，但振幅减小（如变大）。因此“表示函数的“波数”在这种情况下，它测量规模而不是该函数的频率。观察“气象大尺度”由较小的“”.
使用这些特征函数缩放变换属于定义为它很容易显示（使用转换如果有界。的标度密度则定义为。
为了了解这种转换的本质，我们注意到，对于冲动类似于波浪（这些是“低”刻度内容的信号）。然而，对于本征函数我们有也就是说，这些功能具有鲜明的规模内容。
在手头的应用环境中，这种转换使我们能够评估不同尺度对信号的贡献。
2.3. 结构常数
地球物理变量的结构函数，例如温度定义为[三,9,10]哪里是温度的湍流波动和是从一个点到另一个点的向量。
Kolmogorov表明，对于惯性范围内的各向同性湍流，该函数仅取决于=和缩放为
在这个方程中，比例常数被称为“温度结构常数”。
大气结构常数的测定[三,9,10,15,16]尤其是温度结构常数在许多应用中都很重要，例如电磁信号的传播[三,9]. 这些常数值中的局部峰值表示强烈湍流并反映大气流的结构，可能会对各种光学仪器的操作产生负面影响。
为了估计对流层上层或平流层的这些结构常数，通常会派出高空飞机，沿其飞行路径收集基本气象变量（如风、温度和压力）的数据，飞行路径可能延伸至200 公里。要估计沿这条路径的结构常数的平均值，必须首先将气象数据分解为平均流量、波浪和湍流残差[17——19]. 根据湍流残差谱，可以使用科尔莫戈洛夫惯性距离标度和泰勒冻结湍流假设估计结构常数的平均值[6]. 对于特别是我们有哪里是惯性范围内的温度谱密度是波数。的平均值（在惯性范围内的所有波数上）通过将这些值平均其他地球物理变量也有相同的关系。
在湿度较低的对流层上层，是折射结构常数的主要贡献者[三,9]这对地面望远镜的运行有着重要影响，也是恒星闪烁的原因。
为了激发我们对以及时间序列的主要Lyapunov指数，我们注意到这些指数定义为哪里是具有初始条件的动力系统的轨迹和是这些条件的微小变化。因此英寸(2.18)表示函数的空间平均值（即。，.请注意在中被抑制(2.18)由于Taylor冻结湍流场假设）。另一方面，Lyaponuv指数表示同一函数的渐近时间行为。（由于在Lyaponuv指数的定义中）。因此，我们的猜想可以被解释为“遍历命题”，它假设了该函数的空间和时间行为之间的函数关系。
2.4. 数据分解
湍流的统计方法分割了流量变量的原始（=实际）测量值总计哪里表示平均（大规模）流量；表示波浪，“湍流残差”[17,18].
为了在我们的数据中实现这种分解，我们使用了许多研究人员使用的Karahunan-Loeve（K-L）分解算法（或PCA）。有关审查，请参阅[20]. 在这里，我们将仅在我们的上下文中简要概述此算法。
给我们一个时间序列（长度）)一些地球物理变量。我们首先确定一个时间延迟序列中的点是去相关的。使用我们创造原始系列的副本要创建这些时间序列，可以使用周期性，也可以选择考虑较短的时间序列[21]. 对于正在考虑的数据，我们使用了.对于这些时间序列，一个计算自协方差矩阵让是的特征值及其对应的特征向量原始时间序列然后可以重建为哪里K-L分解的本质是基于这样的认识：如果在第一次的特征值然后，只需使用第一个数据就可以重建平均流量（或数据的大分量）本征函数(2.26). 由于Penland等人[20]是与特征值对应的数据并且说到点子上它们开始形成一个“连续体”，表示波浪。的位置可以通过应用Axford设计的测试进一步确定[22]和Dewan[16]. 根据这些测试，湍流数据（在相同位置）的特征是相位接近零或之间和.（相位接近是波浪的特征）。应用于我们数据的这些测试表明，从K-L分解获得的残差在很大程度上代表了实际湍流。有关此分解的详细说明和适当的支持图，请参见[18].
3.大气数据说明
在本文中，我们将使用两组数据：第一组数据是由NASA收集的[23]第二次由美国空军与澳大利亚一些大学合作[10,18,19].
3.1. NASA数据
这些数据是在北极任务期间获得的[23]由高空ER2飞机飞越北极涡旋。在本文中，我们分析了这两个数据集。这些集合代表了1989年2月9日和10日的“平流层状态”（飞机穿过）。选择这两个日期似乎是合适的，因为根据任务记录，2月9日是“正常的一天”，而2月10日的测量是在“观测到大规模中尺度扰动”的时间进行的。每个日期的测量时间序列包含每个地球物理变量的100000多个数据点和（分别代表西南风、南北风和垂直风、温度和压力）。测量间隔（几乎）为0.2 秒（45的空间距离 m） ●●●●。
3.2. 美国空军数据
在这次数据收集活动之前，高空飞行的飞机只配备了一个气象探测器。然而，无法使用此单探针数据计算流量的几个重要特征，如Brunt-Vaisala频率和Richardson数，也无法启动飞行路径附近的流量模拟（以确定涡流场和流量的尺度结构）。此外，不可能建立分层流及其相关结构常数的动力学模型。
为了克服这些缺点，一架特殊用途飞机配备了三个探头（位于两翼和尾部）。这架飞机在1999-2002年期间用于收集澳大利亚和日本上空大约8个高度的地球物理流数据 公里–12 公里[10,18,19]. 数据采集频率为50赫兹，空间分辨率约为1 米。
根据仪器规格，数据噪音的相对误差水平应为这由K-L分解中获得的特征值证实，其中最后几个特征值（反映数据中的噪声水平）是有序的领先特征值的。
4.结果
4.1、。光谱斜率的确定
从气象（和流体动力学）的角度来看在光谱的“惯性范围”内[6]表征三维湍流。然而，正如莉莉已经指出的那样[24]，由于“地球物理因素”，该坡度可能会发生变化。此外，Kraichnan[25]结果表明，对于二维湍流，谱中有一部分的斜率是Bacmeister等人[15]他考虑了代表平流层流动的类似时间序列，发现使用平均谱分析，对于大范围的波数，谱斜率接近我们对正在考虑的两个日期的时间序列的分析倾向于为这些发现提供独立的支持。事实上，我们对光谱斜率的估计介于和这意味着平流层流动（强烈分层）具有二维湍流的某些特征。
在表格中1和2我们给出了基于以下条件的光谱斜率的测定(2.1)–(2.6)对于原始数据和湍流残差。基于分形维数和小波变换的光谱斜率估计介于和另一方面，基于半变异函数的估计介于和这种差异的一个可能解释是，这些技术对频谱的不同部分赋予不同的权重（即不同的波数）。因此，半变异函数法对斜率应为的较高波数（较小尺度）赋予了更大的权重而其他两个估计量对Bacmeister等人发现斜率为此外，不同气象变量的光谱斜率之间的差异可以归因于它们与洛伦兹意义上的平流层吸引子的耦合方式不同[26]. （我们还注意到，进行测量的平面的路径穿越了两次极涡。）
4.2. 缩放变换
我们以数字表示1和2温度和（风的垂直分量）为9月1日的一次飞行,澳大利亚上空高度约为10 海拔公里。
这些数字清楚地显示了流量中的积分标度，用“”. 它们还显示了其他几个峰值，对应于流动中较小的刻度。不同标度区域之间的边界由标度密度中定义明确的凹陷表示。我们还注意到，对于不同的“”.
可以从该分析中提取的细节应与估计积分尺度的“传统”（统计）技术进行比较（仅）。这种基于湍流残差相关函数零交叉的技术并不总是可靠的，因为它可能对用于减少代表流量的时间序列的方法很敏感[6].
4.3.和领先的Lyaponuv指数
估计我们使用了美国空军的数据。为了推导湍流残差，我们使用了Karahunen-Loeve（K-L）分解，如第节所述2.4对于包含在该数据中的十五个数据集使用第节中描述的方法获得2.3。
为了计算这些时间序列的主要Lyaponuv指数，我们使用了Rosenstein算法及其在TISEAN包中的实现[7]. （然而，应注意，其他算法也可用于此目的[7,8]). 要应用此算法，必须首先确定“最佳”延迟坐标和嵌入维数。这些是使用互信息和伪邻域算法确定的[21]也在上述包中实现。该分析使我们选择了一个四维嵌入空间，其延迟坐标为数据点。这导致了以下（最小二乘）函数关系：哪里是主要的利亚波努夫指数。图三给出了该指数与。我们还在此图上显示了此数据的最小二乘线。从这个图中我们可以看到超过三个数量级与主要的Lyaponuv指数有很好的相关性。最小二乘线周围的波动可归因于波浪活动和可能的测量误差。这表明，Lyaponuv指数可以用作数据中湍流强度的第二个局部度量。如果以及领先的Lyaponuv指数，我们必须找出这种不匹配的原因并加以纠正。
5.总结与结论
我们在本文中介绍了几种数据分析工具，这些工具有可能验证和表征当地大气状态，并对其结构产生新的见解。
特别是，我们证明了尺度分析可以补充常规用于气象数据分析的其他统计和光谱工具。我们认为，我们清楚地展示了他们为这一分析带来的新深度。
此外，我们还表明，局部湍流强度与代表流动的时间序列的领先Lyaponuv指数之间存在联系。虽然我们的分析一般来说并不能证明这个猜想，但我们仍然认为我们的结果在许多应用环境中都是有用的，特别是作为对描述流的其他全局不变量有效性的检查。此外，确定领先的Lyaponuv指数有助于验证（或其他结构常数）具有重要的实际应用。
