我们提出了分数阶可微函数的分数阶Sumudu变换的新定义。在定义的发展中，我们使用基于修改的黎曼-卢维尔导数的分数分析，我们将其命名为分数Sumudu变换。我们还利用分数阶Sumudu变换的复数反演公式建立了分数阶Laplace和Sumudu-对偶之间的关系，并应用新的定义求解分数阶微分方程。
1.简介
在文献中，有许多积分变换被广泛应用于物理学、天文学和工程中。为了求解微分方程，积分变换被广泛使用，因此在积分变换的理论和应用方面有一些著作，如拉普拉斯、傅立叶、梅林、，还有汉克尔，仅举几例。在90年代初这些转变的过程中，瓦图加拉[1]介绍了一种新的积分变换——Sumudu变换，并将其进一步应用于控制工程中常微分方程的求解。有关Sumudu变换的更多详细信息和属性，请参见[2–7]以及其他许多人。最近，Kiliçman等人将这种变换应用于求解微分方程组；参见[8]. Sumudu变换是在函数集上定义的通过以下公式：存在性和唯一性在[9]; 关于Sumudu变换及其导数的更多细节和性质，我们参考[2]. 在[3]，建立了Sumudu变换的一些基本性质。在[10]将这种新的变换应用于一维中子输运方程。事实上，我们可以很容易地证明，双Sumudu变换和双拉普拉斯变换之间有很强的关系；参见[9]. 在中进一步[6]，将Sumudu变换推广到分布，并在[11].
功能所以牵涉到的通常是连续的和连续可微的。假设函数是连续的，但其分数阶导数存在，但没有导数，然后(1.2)未能应用。因此，我们必须引入Sumudu变换的新定义。为了方便读者，首先我们将简要介绍分数导数的定义和基本符号的背景知识，详细信息请参阅[12–14]以及[15].
1.1. 基于分数差的分数导数
定义1.1。让,表示一个连续（但不一定是可微的）函数，并让表示恒定的离散化跨度。定义转发运算符通过平等然后是分数阶差,属于由表达式定义及其阶分数导数由限制定义有关详细信息，请参阅[13].
1.2、。改进的分数Riemann-Liouville导数
朱马里提出了一种替代分数导数黎曼-卢维尔定义的方法；参见[13].
定义1.2。让是一个连续但不一定可微的函数。此外，考虑以下内容。（i）假设是一个常数然后是分数阶导数是（ii）什么时候？不是常数，那么我们将设置其分数导数将由以下表达式定义其中，对于负值，一个有而对于阳性，我们将设置什么时候？我们将设置我们将这个分数阶导数称为修正的黎曼-卢维尔导数，为了指出这个定义与定义严格等价1.1，通过(1.4).
1.3. 关于以下方面的集成
关于的积分定义为分数阶微分方程的解这是由以下结果提供的。
引理1.3。让表示连续函数；然后是解决方案具有，第页，共页(1.12)，由等式定义
定义2.1。让表示一个函数，该函数的负值为零.它是Sumudu的顺序转换（或其分数Sumudu变换）在有限时由以下表达式定义：哪里、和是Mittag-Lefler函数.
最近，Tchuenche和Mbare引入了双Sumudu变换[16]. 类似地，我们用以下方式定义分数双Sumudu变换。
定义2.2。让表示一个函数，该函数的负值为零和。其分数阶的双Sumudu变换（或其分数阶双Sumutu变换）定义为哪里、和是Mittag-Lefler函数。
2.1. 分数阶Laplace-Sumudu对偶
以下定义见[13].
定义2.3。让表示一个函数，该函数的负值为零.它的拉普拉斯顺序变换（或其分数拉普拉斯变换）由以下表达式定义：只要存在积分。
定理2.4。如果函数的分数阶拉普拉斯变换是该函数的Sumudu变换为，然后
证明。根据分数Sumudu变换的定义，通过使用变量的变化同样，使用分数Sumudu变换的定义，可以很容易地获得以下运算公式：
证明。使用定义可以很容易地证明2.1.
证明。我们首先使用以下等式(2.1):论变量的变化。那么接下来就是
证明。我们从平等开始(1.13):使用变量的变化
证明。使用分数Laplace-Sumudu对偶和使用Jumarie的结果（参见[14])，我们可以很容易地获得这些结果。
现在我们将获得分数双Sumudu变换的非常相似的性质。由于这些性质的证明是直接的，因此，我们只给出这些性质的陈述：哪里是分数阶偏导数（请参见[13]).
提议3.1。如果定义了两个函数的阶卷积和通过表达式然后哪里和.
证明。首先回顾分数阶拉普拉斯变换由给定现在，根据分数Laplace-Sumudu对偶关系，
提议3.2。考虑到Sumudus变换，为了方便起见，我们在这里回忆起来：一个有反演公式哪里是Mittag-Lefler函数的周期。
证明。利用分数拉普拉斯变换的复数反演公式，见[14]，如果则反演公式为根据分数Sumudu-Laplace对偶，我们可以很容易地得到期望的结果。
示例4.1。方程的求解由给定
证明。采用的Sumudu变换(4.1)双方，我们可以很容易地关于使用然后，通过应用分数Sumudu变换的复数反演公式，我们得到以下结果：现在我们应用分数阶双Sumudu变换来求解分数阶偏微分方程。
示例4.2。考虑线性分数阶偏微分方程（参见[12])带边界条件哪里是一个正系数，并且,.
证明。取的分数双Sumudu变换(4.5)双方，我们可以很容易地它给出了
致谢
第三位作者感激地承认，这项研究在研究型大学拨款计划下得到了马来西亚普特拉大学的部分支持和基础研究拨款计划.作者还感谢裁判提出的极具建设性的意见和建议。
