我们利用铁在硫酸中的电溶解研究了耦合电化学猝灭振荡器的同步性。单个振荡器的动力学由缓慢的混沌振荡组成，这些混沌振荡被快速尖峰脉冲中断，从而产生多时间尺度的动力学系统。小波分析首先将每个振荡器的时间序列数据分解为快分量和慢分量，并获得相应的相位。分析了快动态和慢动态的相位同步，作为外部耦合电阻施加的电气耦合的函数。对于两个振子，观察到一个渐进的跃迁：随着耦合强度的增加，首先快速突发间隔重叠，然后快速峰值同步，最后缓慢混沌振荡同步。在全局耦合25个振子的情况下，耦合消除了快速动力学，只能观察到慢动力学的同步。结果证明了突发振荡同步的复杂性，这可能在其他具有多时间尺度动力学的系统中有用，特别是在神经元网络中。

话题
耦合振荡器, 混沌振荡器, 小波系数, 离散小波变换, 电化学

振荡系统以潜在的时间尺度（例如周期）为特征；当这样的系统通过耦合相互作用时，可以通过同步来抑制小的异质性（即不同的周期）。在这里，我们考虑了在硫酸中溶解铁丝的实验室实验。对于每根导线，溶解速度可以显示两个非常不同的时间尺度的振荡：相对较慢的混沌振荡突然被非常快的脉冲中断。对这个非常复杂系统的同步进行了分析，以揭示爆破间隔的对齐以及相应时间尺度振荡的同步。

同步现象已在多个领域得到报道和调查1–4并以不同的方式表现出来。最初，对于混沌振荡器，主要关注的是完全同步，5、6两个或多个相对强耦合振荡器在时域中表现出相同变化的情况。然而，在较弱的耦合强度下，也可能发生相位同步（PS）；PS是一种较弱的同步形式，其中相位差是有界的，尽管振幅随时间的演变可以保持独立。4,7PS的表征需要对混沌过程进行相位分配。对于周期振荡器，相位变量ϕ(t吨)考虑到单调增量等于2π对于时间演变过程中观察到的每个完整周期。对于混沌振荡器，相位变量ϕ(t吨)被认为是与吸引子的零李雅普诺夫指数直接相关的变量。4作为对周期振荡器的类比，庞加莱截面可以用作混沌振荡器的相位标记，但也可以使用其他技术，例如相位空间中的投影，8,9希尔伯特变换，10或连续/离散小波变换。11–14 

在许多应用中，例如在激光、法拉第波、气候模型、生物和化学系统中，振荡表现出多个时间尺度，15–24因此，这些系统属于多时间尺度动力系统（MTSDS）。在最简单的例子中，有两种不同的时间尺度，一种是快时间尺度，另一种是慢时间尺度。慢动力学的特征是周期性或混沌振荡，与快速动力学的典型振荡相比，它显示出最长的波长，而快速动力学可以表现出被慢动力学中断的孤立点火（尖峰）或点火集（爆发）。

耦合MTSDS型振荡器之间的同步特性是一个难题；不同的时间尺度可以不同地同步，因此，不能使用单个相位变量来表征PS。25此外，虽然慢动力学的同步可以用相位相干振荡器来描述，但快动力学可以用两种不同的方式进行同步：爆发同步发生在相应的爆发呈现相同数量的尖峰时，即使尖峰是异步的，当突发同步和同步尖峰模式被联合观测时，尖峰同步发生。23–27 

一般来说，如果可以分开不同的时间尺度，则可以促进MTSDS同步的特征描述。小波变换为滤波、时间尺度分离、，18,28以及使用离散小波复数方法对复杂系统进行相位分配14,29（DWCA）。

本文研究了电化学耦合MTSDS型振荡器的同步问题。铁在硫酸中的电解表现出混沌慢动力学，由电流测量的快速周期性尖峰中断我(t吨)恒定电路电位下的溶解过程（或速率）。18此前，已有研究表明，连续小波变换（CWT）可以有效地分离慢动态和快动态。30这里，分析了2个和25个（全局）耦合振荡器的同步跃迁。在不同耦合强度下进行了实验，并计算了慢子系统和快子系统的相位同步程度。

本文的结构如下。章节二描述了相位分配中基于小波变换的实验装置和数值方法。第节描述了慢速和快速子系统同步特性的方法。三第节。四、，分别显示了2个和25个振荡器设置的结果。最后，秒。V（V）包含结论。

本节描述了用于生成数据集的实验装置以及相位分配中使用的数值方法。

实验在一个含有1 mol/L硫酸，含0.5 直径mm的铁加工，Hg/Hg2SO公司4卫星K2SO公司4参考电极和铂对电极。在恒定电路电势下V（V）=−0.20 V相对于参考电极，每条导线的电流我(t吨)可以测量。（数据采集率为1000 赫兹）双电极实验生成了60的时间序列数据 秒-120 s和50的25电极测量 s.（由于表面条件的固有异质性，两个电极的准稳态混沌动力学比25个电极更容易维持，因此双电极测量可以进行更长的时间。）

电极通过单独的并联电阻器连接到恒电位仪(⁠R（右）印度⁠)和一个串联集合电阻器(⁠R（右）科勒⁠)这样总阻力R（右）总数=R（右）印度+N个e（电子）我R（右）科勒保持不变，但总阻力分数ϵ=N个e（电子）我R（右）科勒/R（右）总数已更改；N个e（电子）我=2或25是电极（或振荡器）的数量。如前所示，31集体电阻在电极电势之间引入整体电耦合。耦合是线性的（电位差产生耦合电流），具有零延迟，因此预计会影响缓慢的混沌动力学和快速峰值。联轴器的强度可以通过以下方式控制ϵ通过调整个人和集体阻力。联轴器强度ϵ在0（无耦合）和1（强耦合）之间变化。

该实验装置的详细描述已在之前的研究中描述，其中显示我(t吨)呈现出两种动力学：慢的是混沌的，快的是不规则的尖峰爆发。18,30

复数基连续或离散小波变换已被报道为混沌振荡器相位分配的有用工具。12–14,32

小波函数是平方积分复函数ψ(t吨)具有（i）零平均值和（ii）傅里叶意义上的幺正能量。给定函数ψ(t吨)⁠，我们可以定义一维时间序列的连续小波变换（f）(t吨)⁠，及时33和频率34领域，通过等价表达式，

W公司（f）ψ(一,τ)=k个∫−∞∞（f）(t吨)ψ(t吨−τ一)¯d日t吨
(1)

和

W公司（f）^ψ^(一,τ)=k个−1∫−∞∞（f）^(ω)ψ^(一ω)¯经验⁡(−ıωτ)d日ω,
(2)

哪里k个=1/一（或1/一⁠)是归一化常数，考虑到L（左）1（或L（左）2⁠)规范，以及一>0和τ是称为比例和平移参数的实数。符号ψ(t吨)¯表示复值的共轭ψ(t吨)⁠；（f）^(ω)和ψ^(一ω)表示的傅里叶变换（f）(t吨)和ψ(t吨)⁠分别是。方程(1)和(2)是CWT的等效配方。因此W公司（f）ψ(一,τ)称为小波系数。我们注意到，第二种公式对数值计算具有优势，因为与时域卷积相比，点到点乘积的计算成本较小。

我们考虑了莫尔斯小波，它直接在频率上定义为

ψ(β,γ,ω)=2(e（电子）γβ)β/γU型(ω)ωβe（电子）−ωγ,
(3)

哪里U型(ω)是Heaviside函数γ=三和β=20是典型值，其中ψ(β,γ,ω)具有高斯特性的频率对称响应，其带宽非常窄，因此适合分析高周期信号。35–37 

根据等式计算的小波系数。(2)或等式。(1)，我们可以计算为每个尺度值定义的全局小波谱一并由提供

G公司(一)=∫−∞∞|W公司（f）ψ(一,τ)|2d日τ=∫−∞∞|W公司^ψ^(一,τ)|2d日τ.
(4)

使用CWT进行的相位分配如下：我们确定了刻度一最大值其光谱G公司(一)具有全局最大值，并计算了复数小波系数到该固定尺度的自变量。12,13明确地说，我们

ϕ(τ)=阿卡坦⁡(我米一克(ψ(一最大值,τ))R（右）e（电子）(ψ(一最大值,τ))).
(5)

相位分配的离散方法是使用双树复小波变换（DT-C类重量）。38,39考虑x个(t吨)用DT分解的混沌振荡器-C类WT带M（M）分解级别。在这种情况下，考虑等式的应用，分配相位。(5)层中的小波系数J型其离散小波谱具有最大的幅值。29 

为了研究两个混沌振荡器之间的同步，我们需要将此方法应用于相位分配x个1,2(t吨)⁠：分解层级J型用于根据方程式计算相位。(5)每个振荡器必须相同，为此，我们选择J型=最小值{J型1,J型2}⁠，其中J型1,2是离散小波谱幅值最大的分解层级。14 

我们采用了同步索引R（右）作为同步的度量。考虑两个振荡器x个1,2(t吨)其一维时间序列具有长度N个⁠，索引R（右）由提供40 

R（右）=|1N个∑k个=1N个经验⁡(ıΔϕ(k个))|,
(6)

哪里Δϕ是相位差。我们注意到R（右）值接近1表示x个1,2(t吨)完全同步，但实际上，大于0.5的值可以表示PS。

我们在之前的工作中已经表明，可以使用小波技术从实验数据集中提取快速和慢速动力学。30为此，在每个实验电流中计算CWT Morse小波我(t吨)⁠; 基于全局小波谱，确定了慢子带和快子带的频率。时间序列的快速和慢速近似是通过对应子带的小波变换求逆得到的。30 我(秒我o个w个)(t吨)和我(（f）一秒t吨)(t吨)表示从测量电流中提取的每个动力学我(t吨)（mA）。

我们利用慢相的相位差来表征慢动力学之间的同步ϕ1,2(秒我o个w个)J型(t吨)从慢近似中获得我1,2(秒我o个w个)(t吨)使用DT-C类第。II B类同步索引的使用如等式。(6)并用表示R（右）秒我o个w个⁠.

考虑到在近似中同时发生突发事件的时间间隔，对快速动力学的同步进行了表征我1,2(（f）一秒t吨)(t吨)⁠也就是说，考虑到爆破重叠和对重叠长度的附加限制，如下所述；图1说明了方法。

图1。
图1。计算快速子系统（Rfast）同步程度的一般方案。
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计算快速子系统同步程度的总体方案(⁠R（右）（f）一秒t吨⁠)。

图1。
图1。计算快速子系统（Rfast）同步程度的一般方案。
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计算快速子系统同步程度的总体方案(⁠R（右）（f）一秒t吨⁠)。

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考虑具有快速动力学的两个振子对我1(（f）一秒t吨)(t吨)和我2(（f）一秒t吨)(t吨)⁠; 对于其中的每一个都是米和n个爆破时间间隔T型第页和T型q个⁠,第页=1,2,…,米和q个=1,2,…,n个⁠.

分析时间间隔T型第页和T型q个⁠，我们查看了十字路口T型k个具有0<k个≤最小值{米,n个}但丢弃所有长度最小的交叉口，这些交叉口的长度小于构成交叉口的最小爆裂长度的50%。更准确地说，如果T型k个作为两个时间间隔之间的交叉点T型第页和T型q个⁠，我们只考虑

#T型k个≥0.5⋅最小值{#T型第页,#T型q个},
(7)

其中表示法#T型表示间隔的长度T型⁠这种重叠限制对于消除相位分析麻烦的小重叠间隔是必要的。

让B类o个v（v）e（电子）第页是集合，其元素都是区间(⁠T型k个⁠)对于其中的条件(7)是真的。在这些重叠间隔中，当前时间序列表示为我1,2(（f）一秒t吨)o个v（v）e（电子）第页(t吨)（在间隔之外，这些近似值设置为零）。

阶段ϕ1,2(t吨)分配给我1,2(（f）一秒t吨)o个v（v）e（电子）第页(t吨)如第。二将CWT与Morse小波结合使用。因为快速动态只与时间间隔有关T型k个⁠，阶段ϕ1,2(t吨)仅限于这些间隔。为了进行数据分析，将连接间隔中的阶段。这样，快速阶段ϕ1,2(（f）一秒t吨)表示近似中快速动力学的同时发生我1,2(（f）一秒t吨)(t吨)⁠.

作为快速动态的同步措施R（右）公式给出的指数。(6)通过引入与以下定义的爆裂和重叠次数相关的因素进行修改

R（右）（f）一秒t吨=k个最小值{米,n个}|1N个∑k个=1N个经验⁡(ıΔϕ1,2(（f）一秒t吨)(k个))|.
(8)

当快速动态完全同步时k个=最小值{米,n个}⁠因此，在这种情况下R（右）（f）一秒t吨索引减少到R（右）指数如公式。(6).当快速动态完全失步时，k个=0因为设置B类o个v（v）e（电子）第页为空，并且R（右）（f）一秒t吨索引为零。

在本节中，我们用2（第。四、A)和25（第。IV B类)振荡器。

两个非耦合振荡器的电流(⁠ϵ=0⁠)如所示图2（a）和2（b）; 为了更好地可视化，只有最初的10个 绘制了s。[为了进行目视检查，尖峰波形的重复出现如图所示图2（c）对于振荡器2，时间尺度更短；前面分析了这些快速尖峰波形的形状。18]底部面板中显示了缩放到慢速和快速动力学近似值[图2（d）和2（e）]。正如预期的那样，两种动力学的振荡是异步的；特别要注意，爆破发生在不同的时间间隔。

图2。
图2。两个非耦合（ϵ=0.0）混沌突发振荡器的去同步电流时间序列。（a） 振荡器1[I1（t）]。（b） 振荡器2[I2（t）]。（c） 振荡器2的三次连续破裂事件。底部面板：近似为慢动态（d）和快动态（e）。
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两个解耦的去同步电流时间序列(⁠ϵ=0⁠)混沌爆裂振荡器。（a） 振荡器1[我1(t吨)]. （b） 振荡器2[我2(t吨)]. （c） 振荡器2的三次连续破裂事件。底部面板：近似为慢动态（d）和快动态（e）。

图2。
图2。两个非耦合（ϵ=0.0）混沌突发振荡器的去同步电流时间序列。（a） 振荡器1[I1（t）]。（b） 振荡器2[I2（t）]。（c） 振荡器2的三次连续破裂事件。底部面板：近似为慢动态（d）和快动态（e）。
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两个解耦的去同步电流时间序列(⁠ϵ=0⁠)混沌爆裂振荡器。（a） 振荡器1[我1(t吨)]. （b） 振荡器2[我2(t吨)]. （c） 振荡器2的三次连续破裂事件。底部面板：近似为慢动态（d）和快动态（e）。

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相比之下，图3显示了最强耦合的行为，ϵ=1⁠。慢动态和快动态几乎重叠，并且爆发发生在相同的间隔内。这些观察结果证实了MTSDS振荡器存在几乎相同的同步。接下来，我们量化了从非同步到完全同步的过渡，因为耦合强度是基于慢近似和快近似的相位差以及重叠破裂间隔的分数而增加的。

图3。
图3。两个强耦合（ε=1.0）混沌突发振荡器的同步电流时间序列。（a） 振荡器1[I1（t）]。（b） 振荡器2[I2（t）]。底部面板：接近慢速（c）和快速动力学（d）。
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两个强耦合的同步电流时间序列(⁠ϵ=1⁠)混沌爆裂振荡器。（a） 振荡器1[我1(t吨)]. （b） 振荡器2[我2(t吨)]. 底部面板：近似为慢动态（c）和快动态（d）。

图3。
图3。两个强耦合（ϵ=1.0）混沌爆裂振荡器的同步电流时间序列。（a） 振荡器1[I1（t）]。（b） 振荡器2[I2（t）]。底部面板：近似为慢动态（c）和快动态（d）。
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两个强耦合的同步电流时间序列(⁠ϵ=1⁠)混沌爆裂振荡器。（a） 振荡器1[我1(t吨)]. （b） 振荡器2[我2(t吨)]. 底部面板：近似为慢动态（c）和快动态（d）。

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1.慢动态同步

对于同步性分析，我们计算了两个振荡器的慢相位；如前所述，30慢相位对应于离散小波变换的7级或8级。（为给定分析选择了更主要的水平。）

慢相位差（顶部）和相应的循环相位差概率密度分布（中间）如所示图4耦合强度ϵ=0,0.6,0.8⁠、和1⁠.

图4。
图4。两个耦合混沌突发振荡器慢动力学的相位同步。缓慢相位差（顶行）和概率密度直方图（底行），ϵ=0.0,0.6,0.8和1.0。
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两个耦合混沌突发振荡器慢动力学的相位同步。慢相位差（顶行）和概率密度直方图（底行）ϵ=0,0.6,0.8,和1⁠.

图4。
图4。两个耦合混沌突发振荡器慢动力学的相位同步。缓慢相位差（顶行）和概率密度直方图（底行），ϵ=0.0,0.6,0.8和1.0。
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两个耦合混沌突发振荡器慢动力学的相位同步。慢相位差（顶行）和概率密度直方图（底行）ϵ=0,0.6,0.8,和1⁠.

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对于ϵ=0和0.6，没有PS：相位差几乎线性增加，相应的分布是平坦的。（类似的行为与ϵ=0.7⁠.）对于ϵ=0.8⁠，与具有恒定相位差的时间段存在间歇性同步，这些相位差被相位发散中断；直方图显示接近0的优选相位差（或者2π⁠). 最后，对于ϵ=1⁠，相位差与时间图由常数值控制，其倍数为2π数值被非常快速的跳跃打断；直方图显示了相位差接近于零的锁相行为。

同步索引R（右）秒我o个w个与ϵ图如所示图5（c）。的值R（右）索引小于0.30具有ϵ≤0.7和大于0.6对于ϵ≥0.8⁠。请注意R（右）秒我o个w个当耦合强度从ϵ=0.7至0.8。

图5。
图5：。两个耦合振荡器的同步分析。破裂发生率（a）和破裂重叠（b）是耦合强度（ϵ）的函数。（c） 慢（Rslow）和快（Rfast）相位同步指数是耦合强度的函数。
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两个耦合振荡器的同步分析。作为耦合强度函数的破裂发生率（a）和破裂重叠（b）(⁠ϵ⁠). （c） 缓慢的(⁠R（右）秒我o个w个⁠)而且速度很快(⁠R（右）（f）一秒t吨⁠)相位同步指数是耦合强度的函数。

图5。
图5：。两个耦合振荡器的同步分析。破裂发生率（a）和破裂重叠（b）是耦合强度（ϵ）的函数。（c） 慢（Rslow）和快（Rfast）相位同步指数是耦合强度的函数。
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两个耦合振荡器的同步分析。作为耦合强度函数的破裂发生率（a）和破裂重叠（b）(⁠ϵ⁠). （c） 缓慢的(⁠R（右）秒我o个w个⁠)而且速度很快(⁠R（右）（f）一秒t吨⁠)相位同步指数是耦合强度的函数。

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这些观察表明，慢动力学的PS出现于ϵ>0.7⁠这是一个相对快速的过渡。相比之下，以前的实验41具有相位相干的电化学振荡器（含镍溶解）显示PS的耦合强度相对较弱(⁠ϵ≈0.1 – 0.2). 铁的非相相干混沌电溶（无猝灭），在强耦合下观察到类似的快速转变(⁠ϵ≈0.4 – 0.6）。41因此，结果表明，有爆破的混沌铁溶解系统的慢动力学表现出与没有爆破相似的向相位同步的转变，但具有更大的耦合强度。

2.快速动态同步

1.爆破发生率、规律性和重叠

只有当爆破间隔重叠时，快速尖峰振荡的同步才有可能。因此，在分析快速尖峰同步之前，探索快速尖峰发生的频率以及此类突发事件的长度是很有用的。

图5（a）显示了突发间隔的数量除以时间序列的长度。在没有耦合的情况下，这两个振荡器显示出不同的速率，约为0.25和1.0 秒−1⁠这一测量进一步证实了两个振荡器中存在结构异质性，其中一个振荡器产生的突发事件多于另一个振荡器。随着耦合度的增加，振荡器的平均爆裂率首先降低，而耦合度越强，平均爆裂速率越低(⁠ϵ>0.6⁠)再次增加。对于最强的联轴器(⁠ϵ=1⁠)，两个振荡器的爆破率相同，约为0.5 秒−1⁠.

除了爆裂的发生率外，它们的长度也发生了变化。图6（a）显示了爆破长度的直方图。在没有耦合的情况下，两个振荡器的爆破长度为0.13和0.10 s，标准偏差为0.0260.012 s、 分别是。带强耦合[ϵ=1⁠，请参见中的直方图图6（b）]，两个振荡器的平均长度和标准偏差相同，0.08和0.011 s、 分别是。注意，其中一个振荡器的爆破间隔长度现在具有较小的标准偏差，这表明耦合引起的爆破正则化现象。

图6。
图6。两个非耦合[ϵ=0.0，面板（a）]和强耦合[Ͽ=1.0，面板（b）]振荡器的爆破间隔长度直方图。
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两个未耦合的爆破间隔长度直方图[ϵ=0⁠，面板（a）]和强耦合[ϵ=1⁠，面板（b）]振荡器。

图6。
图6。两个非耦合[ϵ=0.0，面板（a）]和强耦合[Ͽ=1.0，面板（b）]振荡器的爆破间隔长度直方图。
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两个未耦合的爆破间隔长度直方图[ϵ=0⁠，面板（a）]和强耦合[ϵ=1⁠，面板（b）]振荡器。

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随着耦合强度的增加，越来越多的爆破间隔重叠。图5（b）显示了作为耦合强度函数的重叠爆破间隔的分数。联轴器强度ϵ≤0.4⁠大多数爆破间隔不重叠（重叠爆破的比例小于0.5）。然而，对于ϵ≥0.8，大多数（大于80%）爆破间隔重叠。

2.快速扣球的同步

即使对于弱耦合，一些突发间隔也会重叠，因此，可以针对每个耦合强度计算同步程度。

图7（a）显示了此类突发间隔的时间序列ϵ=0⁠不存在耦合，并且两个重叠的爆破间隔显示出典型的去同步系统的振荡。相位差[图7（d）]从快速阶段获得[图7（c）]几乎随时间线性增加。然而，在强耦合情况下[ϵ=1⁠,图7（b）,7（e）、和7（f）]，振荡几乎重叠，相位差主要是水平线的倍数2π对应同相同步。

图7。
图7。两个耦合振荡器的快速动态同步。顶行：无[ϵ=0.0，（A）]和强[\1013；=1.0，（b）]耦合的典型爆破重叠。最下面一行：对于ϵ=0.0（c）和（d）以及\1013»=1.0（e）和（f），快速相位及其差异。
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两个耦合振荡器的快速动态同步。顶行：典型的爆破重叠，无[ϵ=0⁠，（a）]和[ϵ=1⁠，（b）]联轴器。最下面一行：快速阶段及其差异ϵ=0（c） 和（d）以及ϵ=1（e） 和（f）。

图7。
图7。两个耦合振荡器的快速动态同步。顶行：无[ϵ=0.0，（A）]和强[\1013；=1.0，（b）]耦合的典型爆破重叠。最下面一行：对于ϵ=0.0（c）和（d）以及\1013»=1.0（e）和（f），快速相位及其差异。
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两个耦合振荡器的快速动态同步。顶行：典型的爆破重叠，无[ϵ=0⁠，（a）]和[ϵ=1⁠，（b）]联轴器。最下面一行：快速阶段及其差异ϵ=0（c） 和（d）以及ϵ=1（e） 和（f）。

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通过收集爆破间隔的相位差，可以计算出每个耦合强度的快速同步指数；看见图5（c）。对于ϵ<0.7⁠，几乎没有同步性(⁠R（右）（f）一秒t吨<0.25⁠)，其行为与ϵ=0案例。然而，对于ϵ≥0.7⁠，几乎所有的爆破间隔都是同步的(⁠R（右）（f）一秒t吨>0.8⁠). 因此，在耦合强度为ϵ=0.7⁠.

3.同步转换：摘要

总之，分析显示了向完全同步过渡的丰富动力。对于弱耦合，ϵ<0.6⁠慢动态和快峰值都不同步，且脉冲间隔不重叠。在ϵ=0.6⁠，快速爆破间隔重叠，没有任何同步性。在ϵ=0.7⁠，快速尖峰同步，而慢振荡不同步。这种状态与慢-快Hindmarsh–Rose振荡器网络的报告类似。25最后，在ϵ=0.8⁠，慢速系统也会同步。

在本节中，关于与25给出了全局耦合振荡器。

1.慢动态同步

图8（a）–8（c）显示无耦合的行为(⁠ϵ=0⁠). 单振荡器时间序列[图8（a）]看起来与用两个振荡器观察到的类似图2（a）：缓慢的混沌行为被快速尖峰脉冲打断。时空灰度图中慢近似的时间序列如所示图8（b）; 没有明显的结构表示空间结构。这个R（右）秒我o个w个所有振荡器对的指数如所示图8（c）; 所有值都很小(⁠R（右）（f）一秒t吨<0.25⁠)这进一步证实了非耦合情况下缺乏同步。

图8。
图8。混沌突发振荡器群的同步。代表振荡器的当前时间序列[左，面板（a）和（d）]，慢近似电流的时空灰度图[中，面板（b）和（e）]，以及慢同步指数矩阵Rslow[右，面板（c）和（f）]。顶行：非耦合振荡器（ϵ=0.0）。最下面一行：强耦合振荡器（ϵ=1.0）。
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混沌突发振荡器群的同步。代表振荡器的当前时间序列[左，面板（a）和（d）]，慢近似电流的时空灰度图[中，面板（b）和（e）]，以及慢同步指数矩阵，R（右）秒我o个w个[右侧，面板（c）和（f）]。顶行：非耦合振荡器(⁠ϵ=0⁠). 最下面一行：强耦合振荡器(⁠ϵ=1⁠)。

图8。
图8。混沌突发振荡器群的同步。代表振荡器的当前时间序列[左，面板（a）和（d）]，慢近似电流的时空灰度图[中，面板（b）和（e）]，以及慢同步指数矩阵Rslow[右，面板（c）和（f）]。上排：非耦合振荡器（ε=0.0）。最下面一行：强耦合振荡器（ε=1.0）。
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混沌突发振荡器群的同步。代表振荡器的当前时间序列[左，面板（a）和（d）]，慢近似电流的时空灰度图[中，面板（b）和（e）]，以及慢同步指数矩阵，R（右）秒我o个w个[右侧，面板（c）和（f）]。顶行：非耦合振荡器(⁠ϵ=0⁠). 最下面一行：强耦合振荡器(⁠ϵ=1⁠)。

关闭模态

耦合最强的行为(⁠ϵ=1⁠)如所示图8（d）–8（f）.时间序列数据[图8（d）]揭示了一个令人惊讶的特征：爆发完全消失，因此，慢动态相当于案例中的原始时间序列。振荡器电流的时空分布图[图8（e）]现在显示了具有非常相似变化的相关结构。同步的高水平进一步得到了R（右）秒我o个w个中的矩阵图8（f）具有较大值(⁠R（右）秒我o个w个>0.6⁠)对于每个振荡器对。因此，振荡与ϵ=1⁠.

这个R（右）秒我o个w个各耦合强度的指数及其平均值如所示图9（b）。对于ϵ≤0.4⁠，平均值R（右）秒我o个w个数值较低（约0.1）；随着耦合度的进一步增加，存在到PS的过渡ϵ=0.6⁠，一些振荡器对失步(⁠R（右）秒我o个w个<0.5⁠)有些是同步的(⁠R（右）秒我o个w个>0.5⁠); 注意，在同步边界处有大量振荡器对；即。，R（右）秒我o个w个≈0.5。这种情况与以下情况类似：ϵ=0.80⁠最后，人口完全同步ϵ=1⁠该同步转变的总体情况与全局耦合、弱非均匀相位相干混沌电化学振荡器观察到的二阶相变类似。42 

图9：。
图9：。突发发生率（a）和慢同步指数（b）是振荡器群耦合强度的函数。虚线表示平均值。
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突发发生率（a）和慢同步指数（b）是振荡器群耦合强度的函数。虚线表示平均值。

图9：。
图9：。突发发生率（a）和慢同步指数（b）是振荡器群耦合强度的函数。虚线表示平均值。
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作为振荡器群体的耦合强度的函数的突发发生率（a）和慢同步指数（b）。虚线表示平均值。

关闭模态

2.快速动态

图9（a）显示了作为耦合强度函数的破裂发生率。只有弱耦合才会发生突发振荡(⁠ϵ=0和0.20），在群体中具有相对较大的异质性。因此，我们看到耦合对快速动力学的主要影响是突发振荡的消失，这也可以看作是耦合诱导的正则化现象：对于强耦合，通过完全消除快速尺度，时间序列的复杂性大大降低。对这种行为的定性解释可能与这样一个事实有关，即在多时间尺度系统的网络中很难实现完全同步。27定性地说，突发振荡的出现需要适时的反馈回路；对于相对较大的非均匀性，强耦合会破坏回路的精细定时，系统无法同时进入相空间区域进行突发振荡。

对表现出混沌慢脉冲和周期快脉冲行为的耦合对和布居电化学振荡器的分析表明，其向完全同步状态的丰富过渡。小波变换方法可以将动力学分为快和慢，并且可以分别为这两个时间尺度构造同步措施。

双振子系统表现出向同步的渐进过渡：首先，爆发间隔重叠，然后快速尖峰振荡同步，最后缓慢混沌动力学同步。对于全局耦合种群，随着耦合强度的增加，快速峰值消失，随后缓慢动力学同步。这种行为上的差异可能与振荡器的动态异质性的影响有关。使用两个电极，相对容易获得类似的混沌爆发动力学，因此，慢子系统和快子系统可以同步。然而，使用25个振荡器时，异质性更强，没有发生突发同步。因此，可以预计，决定因素是异质性的程度，而不是振荡器的数量。一般来说，振荡器可以表现出固有的或正在开发的异质性（金属杂质、电极尺寸）(⁠O（运行）2气泡、点蚀、表面氧化物厚度和孔隙率）；为了更好地表征同步动力学，可能需要控制这些异质性的实验技术。

在之前的研究中，25,27考虑了具有单变量慢动力学的突发振荡系统。在这些研究中，慢子系统的同步（与突发间隔重叠重合）先于快系统的同步。然而，请注意，在所提出的实验系统中，慢子系统是混沌的；18结果表明，在这样一个高维慢子系统中，在没有慢混沌振荡的PS的情况下，可以发生重叠的突发间隔。

该结果对其他系统，尤其是神经振荡系统具有启示意义，其中每个振荡器通常具有一维时间序列，并且存在可以相互作用的多个时间尺度。本文的实验结果也可以为慢时间尺度的突发振荡启动进一步的理论研究，这些慢时间尺度由多个变量控制，因此可以产生复杂的动力学。例如，铁电解中周期性破裂的动力学模型43可以扩展到解释混沌行为或结合自动吸引子状态空间的现象学模型，44和全局矢量场重建45技术可以用来探索实验观测到的同步效应背后的分岔。

L.A.M.获得了国家高级巴齐尔协会（CAPES）的财务支持——财务代码001感谢与Juliana C.Lacerda讨论这项工作。M.O.D.感谢国家环境保护委员会（CNPq）（第302226/2018-4号和第2020/13015-0号拨款）和圣保罗研究基金会（FAPESP）（第2015/25624-2号拨款）的财政支持。E.E.N.M.得到了圣保罗研究基金会（FAPESP）第2015/50122-0号拨款和第307714/2018-7号拨款的支持。I.Z.K.感谢国家科学基金会CHE-1900011的资助。

根据合理要求，可从相应作者处获得支持本研究结果的数据。

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2021
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