莱斯科·普拉斯科塔;瓦西尔科夫斯基（Wasilkowski，Grzegorz W.）。;赵亚西 用奇点逼近函数的自适应能力。 （英语） Zbl 1198.65262号 数学。计算。 77，第264号，2309-2338（2008）. 小结：考虑基于有限个样本的近似函数。我们表明，在处理分段光滑函数时，自适应算法要比非自适应算法强大得多。更具体地说，让\（F_r^1）是标量函数类\（F:[0，T]\to\mathbb{r}\），其阶导数在除一个未知奇点外的任何点上都是连续的。我们提供了一种自适应算法\（\mathcal{A} _n（n）^{\mathrm{ad}}）最多使用\（f）的\（n）个样本，并且其关于“合理”函数类的最坏情况\（L^p）错误（\（1\leqp<infty））（\ mathcal{F} _r（r）^1\子集F_r^1\）与\（n^{-r}\）成比例。另一方面，使用\（n\）样本的任何非自适应算法的最坏情况误差充其量与\（n^｛-1/p｝\）成比例。为了在最坏情况下获得自适应优势，只需限制一个奇异点。幸运的是，即使对于由分段（C^{r}）光滑函数组成的非常一般的类（F_r^\infty），自适应也可以在渐近设置中重新发挥作用，每个函数都有有限个奇点。对于任何（f_r^\infty中的f），我们的自适应算法都近似于（f），误差收敛到零的速度至少与（n^{-r}）一样快。我们还证明了非自适应方法的收敛速度不能比（n^{-1/p}）好，即要慢得多。如果误差是在（L^ infty）范数中测量的，则上述结果不成立，因为对于具有未知不连续性的函数，没有任何算法会产生小的（L^\ inffy）误差。然而，我们强烈认为，当处理奇异函数时，（L^ infty）范数是不合适的，应该使用Skorohod度量。我们表明，当近似误差在Skorohod度量中测量时，我们的自适应算法保持其正特性。也就是说，关于\（\mathcal的最坏情况错误{F} _r（r）^1）等于\（Theta（n^{-r}）\），并且\（F_r^\infty）的渐近设置中的收敛性是\（n^}-r}\）。数值结果证实了我们算法的理论性质。 引用于16文件 MSC公司： 65年20月 数值算法的复杂性和性能 65D05型 数值插值 41A10号 多项式逼近 41A25型 收敛速度，近似度 关键词：函数近似;取样;奇点;自适应算法 软件：CADRE公司;QUADPACK公司;算法145 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Plaskota}等人，数学。计算。77，编号2642309--2338（2008；Zbl 1198.65262） 全文： 内政部 参考文献： [1] Francesc Arandiga、Albert Cohen、Rosa Donat和Nira Dyn，分段光滑函数的插值和逼近，SIAM J.Numer。分析。43（2005），第1号，41-57·Zbl 1092.65004号 ·doi:10.1137/S0036142903426245 [2] Kendall E.Atkinson，《数值分析导论》，第二版，John Wiley&Sons，Inc.，纽约，1989年·Zbl 0718.65001号 [3] N.S.Bahvalov，凸函数类上线性算子逼近方法的最优性。维奇岛。Mat.i Mat.Fiz公司。11（1971），1014-1018（俄语）。 [4] 帕特里克·比林斯利（Patrick Billingsley），《概率测度的收敛》（Convergence of probability measures），约翰·威利父子公司（John Wiley&Sons，Inc.），纽约-伦敦-悉尼，1968年·Zbl 0944.60003号 [5] Emmanuel J.Candès和David L.Donoho，曲线的新紧框架和分段对象的最优表示²；奇点，Comm.Pure Appl。数学。57（2004），第219-266号·Zbl 1038.94502号 ·doi:10.1002/cpa.10116 [6] Philip J.Davis和Philip Rabinowitz，《数值积分方法》，学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich的子公司，出版商]，纽约-朗顿，1975年。计算机科学和应用数学·Zbl 0304.65016号 [7] C.de Boor，《CADRE:数值求积的算法》，《数学软件》，201-209页，学术出版社，纽约，1971年。 [8] Ingrid Daubechies，《小波十讲》，CBMS-NSF应用数学区域会议系列，第61卷，工业和应用数学学会，宾夕法尼亚州费城，1992年·Zbl 0776.42018号 [9] David L.Donoho、Martin Vetterli、R.A.DeVore和Ingrid Daubechies，《数据压缩与谐波分析》，IEEE Trans。通知。理论44（1998），第6期，2435-2476。信息理论：1948-1998年·Zbl 1125.94311号 ·数字对象标识代码：10.1109/18.720544 [10] Shmuel Gal和Charles A.Michelli，评估功能的最佳顺序和非顺序程序，适用分析。10（1980），第2期，105–120·Zbl 0445.65010号 ·doi:10.1080/00036818008839292 [11] A.N.Kolmogorov，关于Skorohod收敛，Teor。Veroyatnost公司。i Primenen公司。1（1956），239–247（俄语，带英语摘要）·Zbl 0074.34102号 [12] Arnold R.Krommer和Christoph W.Ueberhuber，计算集成，工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城，1998年·Zbl 0903.65019号 [13] J.N.Lyness，自适应Simpson求积程序注释，J.Assoc.Compute。机器。16（1969），483–495·Zbl 0175.16103号 ·数字对象标识代码：10.1145/321526.321537 [14] W.M.McKeeman，算法145，辛普森规则自适应数值积分，通信ACM 5（1962），第604页。 [15] H.N.Mhaskar和J.Prestin，《多项式框架：快速教程》，近似理论XI:Gatlinburg 2004，Mod。数学方法。，纳什博罗出版社，布伦特伍德，田纳西州，2005年，第287–318页·兹比尔1077.42028 [16] 埃里希·诺瓦克（Erich Novak），《数值分析中的确定性和随机误差界》，《数学讲义》，第1349卷，施普林格-弗拉格出版社，柏林，1988年·Zbl 0656.65047号 [17] 埃里希·诺瓦克（Erich Novak），《论适应的力量》（On the power of adaption），《J.Complexity 12》（1996），第3期，199-237·Zbl 0870.65042号 ·文件编号：10.1006/jcom.1996.0015 [18] K.R.Parthasarathy，度量空间上的概率测度，《概率与数理统计》，第3期，学术出版社，纽约-朗登出版社，1967年·Zbl 0153.19101号 [19] Robert Piessens、Elise de Doncker-Kapenga、Christoph W.U.berhuber和David K.Kahaner，QUADPACK，计算数学中的Springer系列，第1卷，Springer-Verlag，柏林，1983年。用于自动集成的子程序包·Zbl 0508.65005号 [20] Leszek Plaskota，噪声信息和计算复杂性，剑桥大学出版社，剑桥，1996年·Zbl 0923.65101号 [21] Leszek Plaskota和Grzegorz W.Wasilkowski，《自适应》允许有效集成具有未知奇点的函数Numer。数学。102（2005），第1期，第123–144页·Zbl 1083.65031号 ·doi:10.1007/s00211-005-0640-3 [22] 安东尼·拉尔斯顿（Anthony Ralston）和菲利普·拉比诺维茨（Philip Rabinowitz），《数值分析第一课程》（A first course in numerical analysis），第二版，麦格劳-希尔图书公司（McGraw-Hill Book Co.），纽约-奥克兰-博戈塔出版社，1978年。国际纯数学和应用数学系列·Zbl 0408.65001号 [23] John R.Rice，自适应求积的元算法，J.Assoc.Compute。机器。22 (1975), 61 – 82. ·Zbl 0368.65012号 ·数字对象标识代码：10.1145/321864.321870 [24] 克劳斯·里特（Klaus Ritter），数值问题的平均案例分析，数学讲义，第1733卷，施普林格-弗拉格出版社，柏林，2000年·Zbl 0949.65146号 [25] Krzysztof A.Sikorski，非线性方程的最优解，牛津大学出版社，牛津，2001年·Zbl 1090.65051号 [26] A.V.Skorohod，随机过程的极限定理，Teor。Veroyatnost公司。i Primenen公司。1（1956），289–319（俄语，英文摘要）·Zbl 0074.33802号 [27] G.M.特洛伊，线性问题的渐近设置，未发表的博士论文，1980年。（另见[28，第2节，第10章]。） [28] J.F.Traub、G.W.Wasilkowski和H.Woźniakowski，《基于信息的复杂性》，计算机科学和科学计算，学术出版社，马萨诸塞州波士顿，1988年。由A.G.Werschulz和T.Boult出资·Zbl 0654.94004号 [29] J.F.Traub和A.G.Werschulz，复杂性与信息，Lezioni Lincee。[Lincei讲座]，剑桥大学出版社，剑桥，1998年·Zbl 0917.68094号 [30] 乔·弗雷德·特劳布（Joe Fred Traub）和H.Woźniakowsi，《优化算法的一般理论》，学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich，出版商]，纽约-朗登出版社，1980年。ACM专题系列。 [31] G.W.Wasilkowski，《变化基数的信息》，《复杂性2》（1986），第3期，204–228·Zbl 0615.94004号 ·doi:10.1016/0885-064X（86）90002-6 [32] Grace Wahba，观测数据的样条模型，CBMS-NSF应用数学区域会议系列，第59卷，工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城，1990年·Zbl 0813.62001号 [33] Arthur G.Werschulz，微分和积分方程的计算复杂性，牛津数学专著，克拉伦登出版社，牛津大学出版社，纽约，1991年。基于信息的方法；牛津科学出版物·Zbl 0754.65129号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。