×
Aleksandr Krivoshein;埃琳娜·列贝德娃;尤尔根·普雷斯汀

周期函数的方向不确定性原理。 （英语） Zbl 1430.42008年

多维系统。信号处理。 30，第3期，1489-1515（2019）.
方向运算符\（\mathcal{A} _L（_L）f（x）=e^{2\pi i langle L，x\rangle}f（x{B} _L（_L）f（x）=\frac{i}{2\pi}\frac{\partial f}{\parial L}（x）\）分别定义在\（L^2（\mathbb{T}^d）\）和\（H^1（\mathbb{T{^d）\）上，当\（f（x。主要的不确定性不等式（定理3）表明，对于（L\in\mathbb{Z}^d）和\（f\在H^1（\mathbb{Z}^d）中，乘积\[\mathrm（马特姆）{UP}_L（向上）^{\mathbb{T}^d}f=\frac{1}{\|L\|_2^4}\左（\frac{\|f\|_{\mathbb{T{^d}^4}{|langle\mathcal{A} cf（_L），\，f范围|^2}-1\右）\左（\frac{\|\mathcal{B} cf（_L）\|_｛\mathbb｛T｝^d｝^2｝｛\|f\|_｛\mathbb｛T｝^d｝^2｝-\frac｛|\langle\mathcal{B} cf（_L），\，f\rangle|^2}{\|f\|_{\mathbb{T}^d}^4}\右），\]其中，\（\|\cdot\|_{\mathbb{T}^d}\）表示\（\mathbb{T}^d）上的\（L^2）范数，它也可以表示为\（\mathcal）方差的乘积{A} _L（_L）f\）和\（\mathcal{B} _（_L）f\），等于\[\左（\frac{（\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}|c_k|^2）^2}{|\sum_}k\in\ mathbb}Z}^d}c_{k-L}\上划线{c} k（_k）|^2} -1\右）\left（\frac｛\sum_｛k\in\mathbb｛Z｝^d｝\langle L，k\rangle ^2 | c_k | ^2｝｛\sum_｛k\in\mathbb｛Z｝^d｝| c_k | ^2｝-\左（\frac{\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\langle L，k\rangle^2|c_k|^2}{\sum_{k\in \mathbb{Z}^d}|c_k |^2{right）^2\right）\]并在下面以\（1/4）为界。
如图所示，\（\mathrm{UP}_L（向上）^{\mathbb{T}^d}f\）在移位、调制和常数乘法下是不变的；如果（p_n（x）=（1+cos2\pi\langle L，x\rangle）^n\）（（n\in\mathbb{n}）），则{UP}_L（向上）^{\mathbb{T}^d}p_n=\frac{1}{4}+O\bigl（\frac}{n}\bigr）（\（n\to\infty\））；对于Dirichlet核（D_n（x）=sum_{k=-n}^Ne^{2\pi i\langlek，x\rangle}）（（N）一个正多指数）一个有{向上}_L^{\mathbb{T}^d}d_N\to\infty\）作为\（|N|\to\infty \）；还有Fejér内核\（F_n（x）=\sum_{k\in\mathbb{T}^d，\max\{|k_j|\}\leqn}\left（1-\frac{max\{| k_j| \}}{n}\right）e^{2\pi i\langlek，x\rangle}\），一个有\（\mathrm{UP}_L（向上）^{\mathbb{T}^d}F_n\到\压裂{（d+1）^2（d+2）^2}{6d（d+3）（d+4）}\）。
将结果与（mathbb{T}^n）的先前（无方向）不确定性不等式进行比较，因为S.S.Goh先生和T.N.T.古德曼【应用计算。哈蒙。分析16，第1期，19-43（2004；Zbl 1036.94529号)].
最后，由于H.劳胡特【高级计算数学22，第1期，1–20页（2005年；Zbl 1069.42001号)]是广义的。（S\subset\mathbb{Z}^d）中的线程是子集（U={k，k+L，dots，k+mL\}）。定理4说明了集（S）内系数支持的单位范数三角多项式的最小角方差是\（tan^2\frac{\pi}{m_0+1}\），其中\（m_0\）是\（S\）中最长线程的长度。傅里叶系数方差最小多项式为（c_k=\sin（\pi j/（m_0+2）），（k=k_0+（j-1）L\）。
作为这些结果的结果，一些很好局部化的多元周期Parseval小波框架是并对其不确定度产品进行了量化。
审核人：约瑟夫·拉基（拉斯克鲁斯）

MSC公司：

42B05型 傅里叶级数和多变量系数
42立方厘米 涉及小波和其他特殊系统的非三角调和分析
42C25型 正交级数的唯一性和局部化
47B47码 换向器、导数、初等运算符等。

关键词：

测不准原理;不确定度积;周期函数;离散信号;小波

引文：

Zbl 1036.94529号;Zbl 1069.42001号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Krivoshein}等人，《多维系统》。信号处理。30，第3号，1489--1515（2019；Zbl 1430.42008）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Abramowitz，M.和Stegun，I.A.（1964年）。数学函数手册，包括公式、图形和数学表。，华盛顿特区应用数学丛书：美国政府出版局·Zbl 0171.38503号
[2] Breitenberger，E.（1985）。角度观测值的不确定性度量和不确定性关系。物理基础，15（3），353-364·doi:10.1007/BF00737323
[3] Cohen，L.（1995）。时频分析：理论与应用。新泽西州上马鞍河：普伦蒂斯·霍尔。
[4] Dang，P.（2015）。周期信号在频率方面更严格的不确定性原则。应用科学中的数学方法，38（2），365-379·Zbl 1361.94024号 ·doi:10.1002/mma.3075
[5] Dang，P.，Deng，G.-T.，&Qian，T.（2013）。更尖锐的不确定性原理。《功能分析杂志》，265（10），2239-2266·Zbl 1284.42019年 ·doi:10.1016/j.jfa.2013.07.023
[6] Dang，P.，Qian，T.，&Chen，Q.（2017）。单位球面上信号的不确定性原理和相位-振幅分析。应用克利福德代数进展，27（4），2985-3013·兹比尔1386.94025 ·doi:10.1007/s00006-017-0808-9
[7] Dang，P.，Qian，T.，&Yang，Y.（2016）。欧氏空间中信号相位导数的超强不确定性原理。数学分析与应用杂志，437（2），912-940·兹比尔1366.94092 ·doi:10.1016/j.jmaa.2016.01.039
[8] Dang，P.，&Wang，S.（2017年）。正方形上定义的图像的不确定度原则。应用科学中的数学方法，40（7），2475-2490·Zbl 1420.94011号 ·doi:10.1002/mma.4170
[9] Folland，G.B.（1989）。相空间中的谐波分析。，《数学研究年鉴》，新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社·Zbl 0682.43001号
[10] Folland，G.B.和Sitaram，A.（1997年）。测不准原理：数学调查。傅里叶分析与应用杂志，3（3），207-238·Zbl 0885.42006号 ·doi:10.1007/BF02649110
[11] Goh，S.S.和Goodman，T.N.T.（2004）。不确定性原理和渐近行为。应用和计算谐波分析，16（1），19-43·Zbl 1036.94529号 ·doi:10.1016/j.acha.2003.10.01
[12] Goh，S.S.和Michelli，C.A.（2002年）。希尔伯特空间中的测不准原理。傅里叶分析与应用杂志，8（4），335-374·Zbl 1027.47028号 ·doi:10.1007/s00041-002-0017-2
[13] Goh，S.S.和Teo，K.M.（2008）。周期函数紧小波框架的扩张原理。应用和计算谐波分析，25（2），168-186·兹比尔1258.42031 ·doi:10.1016/j.acha.2007.10.004
[14] Krivoshein，A.V.和Lebedeva，E.A.（2015）。康托并元群的测不准原理。数学分析与应用杂志，423（2），1231-1242·Zbl 1304.43004号 ·doi:10.1016/j.jma.2014.140.043
[15] Krivoshein，A.V.、Protasov，V.U.和Skopina，M.A.（2016年）。多元小波框架。，新加坡工业和应用数学：Springer·Zbl 1366.42001号
[16] Lebedeva，E.A.和Prestin，J.（2014）。周期小波帧和时频定位。应用和计算谐波分析，37（2），347-359·Zbl 1294.42008年 ·doi:10.1016/j.acha.2014.02.002
[17] Meerkoetter，K.（2017年）。多维离散信号的不确定性关系。多维系统与信号处理，28（2），389-406·Zbl 1387.94043号 ·doi:10.1007/s11045-015-0346-3
[18] Meinardus，G.和Schumaker，L.L.（1967年）。函数逼近：理论和数值方法（第1版）。，柏林自然哲学史普林格丛书：普林格·Zbl 0152.15202号 ·doi:10.1007/978-3-642-85643-3
[19] Narcowich，F.J.和Ward，J.D.（1996年）。散射数据的\[m\]m球面上的非平稳小波。应用和计算谐波分析，3（4），324-336·Zbl 0858.42025号 ·doi:10.1006/acha.1996.0025
[20] Prestin，J.和Quak，E.（1995年）。三角Hermite算子的时频局部化。C.K.Chui和L.L.Schumaker（编辑），近似理论VIII，第2卷：小波和多级近似（第343-350页）。世界科学出版公司·Zbl 0930.42018号
[21] Prestin，J.和Quak，E.（1999）。周期不确定性原理和多分辨率分析的最佳函数。《爱丁堡数学学会学报》（系列2），42，225-242·Zbl 0930.42019号 ·doi:10.1017/S0013091500020216
[22] Price，J.F.和Sitaram，A.（1988年）。局部紧群的局部不确定性不等式。美国数学学会学报，308（1），105-114·Zbl 0659.43004号 ·doi:10.1090/S0002-9947-1988-0946433-5
[23] Rauhut，H.（2005）。最佳时间局部化三角多项式和小波。计算数学进展，22（1），1-20·Zbl 1069.42001号 ·doi:10.1007/s10444-005-7411-7
[24] Ricaud，B.和Torrésani，B.（2014）。不确定性原理和一些信号处理应用综述。计算数学进展，40（3），629-650·Zbl 1330.94023号 ·doi:10.1007/s10444-013-9323-2
[25] Schrödinger，E.（1930）。关于海森堡测不准关系。《普鲁士科学院院刊》（第296-303页）。
[26] Selig，K.（2002）。重新审视不确定性原则。ETNA公司。《数值分析电子交易》，第14期，第165-177页·Zbl 1046.47021号
[27] Stein，E.M.和Weiss，G.L.（1971）。欧氏空间上的傅里叶分析导论。，数学丛书，新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社·Zbl 0232.42007号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。