J·Bümlein，J。;萨拉涅斯，M。;施耐德，C。 费曼积分中的超几何结构。 （英语） Zbl 1526.33008号 安。数学。Artif公司。智力。 91，第5号，591-649（2023）. 小结：为了在微扰量子色动力学（QCD）中进行精确计算，必须根据特殊函数和常数的紧凑表达式解析计算高度复杂的发散多环费曼积分的巨表达式（数GB大小）。在本文中，我们导出了新的符号工具，以获得QCD中的大规模计算机理解。在这里，我们利用了一个事实，即单尺度和多尺度费曼积分中的超几何结构出现在一类广泛的拓扑中。使用逐部分积分关系，必须计算相关的主积分或标量积分。为此，设计一种自动方法似乎很有用，它可以识别与相应的更高超越函数相关的各个（偏）微分方程。我们通过多值形式泰勒级数展开系数的相关递归来求解这些方程。膨胀系数可以使用任一软件包确定西格玛在线性差分方程的情况下，或在偏线性差分方程式的情况下应用启发式方法。在当前的上下文中，出现了一种新的和类型，即Hurwitz调和和及其广义版本。代码HypSeries系列描述了将微分方程类转化为解析级数展开式。还考虑了具有Pochhammer符号的有理解和有理函数解的偏差分方程，其代码溶剂部分LDE是设计的。考虑了广义超几何函数、Appell-、Kampéde Fériet-、Horn-、Lauricella Saran-、Srivasta-和Exton型函数。我们用例子来说明这些算法。 引用于2文件 MSC公司： 33层10 特殊函数的符号计算（Gosper和Zeilberger算法等） 33C20美元 广义超几何级数，（{}_pF_q\） 33C65个 Appell、Horn和Lauricella函数 33E30型 微分方程、差分方程和积分方程的其他函数 80年第30季度 费曼积分与图；代数拓扑与代数几何的应用 关键词：（多元）超几何级数;级数扩展;费曼积分;符号求和;偏线性微分方程;偏线性差分方程 软件：评估MultiSums;SIGMA公司;单一;Hypexp公司;X夏季;gfun公司;雷杜泽;数字Exp;琥珀色;谐波和;HYPERDIRE公司;HypSeries系列;单数的;OreSys公司;MB渐近;MB解析;溶剂部分LDE;嵌套金额;SumProduction公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Blümlein}等人，《数学年鉴》。Artif公司。智力。91，第5号，591--649（2023；Zbl 1526.33008） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Hamberg，R：二阶胶子对物理量的贡献，莱顿大学博士论文（1991） [2] 达维迪切夫，AI；Kalmykov，MY，Massive Feynman图和二项式逆和，Nucl Phys B，699，3-64（2004）·Zbl 1123.81388号 ·doi:10.1016/j.nuclephysb.2004.08.020（文件编号：10.1016/j.nuclephysb.2004.08.020） [3] 比伦鲍姆，I。；Blümlein，J。；Klein，S.，二环大规模算子矩阵元素和渐近值Q2≫m2下的非极化重味生成，Nucl。物理学。B.、780、40-75（2007年）·doi:10.1016/j.nuclphysb.2007.04.030 [4] Kalmykov，M.、Bytev，V.、Kniehl，B.A.、Moch，S.O.、Ward，B.F.L.、Yost，S.A.：超几何函数和Feynman图。arXiv:2012.14492。In:Blümlein，J.，Schneider，C.（编辑）《反微分与费曼振幅的计算》（Springer，Heidelberg）（2021）·兹比尔1489.33010 [5] Klein，F.，Vorlesungenüber die hypergeometrische Funktitonen，《1893/94年冬季梅斯特》，《数学与科学杂志》，第39卷（1933年），柏林：斯普林格出版社，柏林·Zbl 0007.12202号 ·doi:10.1007/978-3-642-67888-2 [6] Bailey，WN，广义超几何级数（1935），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥 [7] Slater，LJ，广义超几何函数（1966），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0135.28101号 [8] Appell，P.，Kampéde Fériet，J.：超几何和超几何函数，多几何D’Hermite [9] Appell，P.，Les fonctions hypergéométriques de plusieur variables（1925年），巴黎：高瑟维拉斯，巴黎 [10] Kampéde Fériet，J.，La fonction hypergéométrique（1937年），巴黎：Gauthier-Villars，巴黎 [11] 坎佩·德·弗雷特（Kampéde Fériet，J.），《高等学府变量》（Les functions hypérgeométriques d’Ordre SuperieuráDeux Variables），巴黎科学院，173489-491（1921） [12] Borngässer，L.：《超几何》Funktitonen zweier Veränderlichen，论文，P.h.D，（TU Darmstadt）（1933）·Zbl 0007.41203号 [13] 霍恩，J.：超几何体Funktitonen zweier Veränderlichen。《数学年鉴》，第105卷（1931年），第381-407页；111 638-677 (1933) ·Zbl 0012.30403号 [14] Exton，H.，四变量的某些超几何函数，Bull。社会数学。格里斯（Grè，ce）。N.S.，第13卷，第104-113页（1972年）·Zbl 0259.33005号 [15] Exton，H.，《多重超几何函数和应用》（1976），奇切斯特：埃利斯·霍伍德，奇切斯特尔·Zbl 0337.33001号 [16] Exton，H.，《超几何积分手册》（1978），奇切斯特：Ellis Horwood，奇切特·Zbl 0377.33001号 [17] Schlosser，M.J.：多重超几何级数：Appell级数及其以外。收录：Schneider，C.，Blümlein，J.（编辑）《量子场论中的计算机代数：积分、求和和和特殊函数》，第305-324页，（施普林格，维恩）[arXiv:1305.1966]（2013）·兹比尔1310.33013 [18] 阿纳斯塔西奥，C。；手套，EWN；Oleari，C.，使用负维方法的标量单圈积分，Nucl。物理。，b572307-360（2000年）·Zbl 0956.81053号 ·doi:10.1016/S0550-3213（99）00637-9 [19] 阿纳斯塔西奥，C。；手套，EWN；Oleari，C.，负维方法在无质量标量箱积分中的应用，Nucl。物理。，B565、445-467（2000）·Zbl 0956.81053号 ·doi:10.1016/S0550-3213（99）00636-7 [20] 斯里瓦斯塔瓦，HM；卡尔森，普华永道，多重高斯超几何级数（1985），奇切斯特：埃利斯·霍伍德，奇切斯特尔·Zbl 0552.33001号 [21] Lauricella，G.，Sulle funzioni ipergeometriche a pióvariabilie，Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo，7，S1，111-158（1893）·doi:10.1007/BF03012437 [22] Saran，S.，三变量超几何函数，Ganita。，5, 77-91 (1954) ·Zbl 0058.29602号 [23] Saran，S.，三变量超几何函数的变换，Acta。数学。，93, 293-312 (1955) ·Zbl 0064.30902号 ·doi:10.1007/BF02392525 [24] Erdélyi，A.（编辑）《高等超越函数》，第1卷，贝特曼手稿项目（1953年），纽约：McGraw-Hill，纽约·Zbl 0051.30303号 [25] Kotikov，AV，微分方程法。大规模费曼图计算的新技术，Phys。莱特。，B254158-164（1991）·doi:10.1016/0370-2693（91）90413-K [26] Z·伯尔尼。；Dixon，LJ；Kosower，DA，维调节单圈积分，Phys。莱特。，B302299-308（1993）·Zbl 1007.81512号 ·doi:10.1016/0370-2693（93）90400-C [27] Remiddi，E.，费曼图振幅微分方程，新墨西哥州。Cim.公司。，A1101435-1452（1997）·doi:10.1007/BF03185566 [28] Gehrmann，T。；Remiddi，E.，二环四点函数微分方程，Nucl。物理。，b580485-518（2000年）·Zbl 1071.81089号 ·doi:10.1016/S0550-3213（00）00223-6 [29] Ablinger，J。；贝林，A。；Blümlein，J。；De Freitas，A。；冯·曼特乌费尔，A。；Schneider，C.，通过计算机代数计算大规模算子矩阵元素的三环梯形和V拓扑，Comput。物理学。社区。，202, 33-112 (2016) ·Zbl 1348.81034号 ·doi:10.1016/j.cpc.2016.01.002 [30] Kotikov，A.V.：N=4超对称Yang-Mills中最大超越性的性质。In:Diakonov，D.（ed.）量子场论的精髓，第150-174页，[arXiv:1005.5029]（1991） [31] Henn，JM，《维正则化中的多圈积分变得简单》，Phys。修订稿。，110, 251601 (2013) ·doi:10.103/物理通讯.110.251601 [32] Ablinger，J。；Blümlein，J。；Marquard，P。；拉纳，N。；Schneider，C.，一阶可分解单变量微分方程组的自动求解，Nucl。物理学。B.，939，253-291（2019）·Zbl 1409.81080号 ·doi:10.1016/j.nuclphysb.2018.12.010 [33] 拉格朗日（Lagrange，J.）：《自然环境下的新生命与繁殖》（Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son），《陶林氏混合菌》（Miscellanea Taurinensis），t.II，1760-1761；Oeuvres t.I，第263页（1760/61） [34] Gauß，C.F.：Theorya attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum均质方法从头计算，Commentationes societas scientiarum Gottingensis recentiores，Vol III Werke Bd.V pp 5-7（1813） [35] Green，G.：《电磁学数学理论论文》，诺丁汉，[绿皮书，第1-115页]（1828） [36] 奥斯特罗格拉德斯基，M.（发表时间：1828年11月5日；出版时间：1831年）《圣佩特斯堡科学研究院院刊》，第6期，第1期，第129-133页（1831） [37] Chetyrkin，KG；Tkachov，FV，《分部积分：计算4个循环中Beta函数的算法》，，，Nucl。物理学。B.，192，159-204（1981）·doi:10.1016/0550-3213（81）90199-1 [38] Laporta，S.，用差分方程高精度计算多回路Feynman积分，国际期刊Mod。物理学。A.，15，5087-5159（2000）·Zbl 0973.81082号 ·doi:10.1142/S0217751X00002159 [39] Marquard，P.，Seidel，D.：破碎机算法，未出版 [40] Studerus，C.，Reduze-C++中的Feynman积分约简，计算。物理学。社区。，181, 1293-1300 (2010) ·Zbl 1219.81133号 ·doi:10.1016/j.cpc.2010.03.012 [41] von Manteuffel，A.，Studerus，C.：Reduze 2-分布式Feynman积分约化，arXiv:1204330，（2012） [42] Bostan，A.，Chyzak，F.，de Panafieu，埃及：两种解耦算法的复杂性估计。摘自：《2013年国际社会科学院院刊》，波士顿[arXiv:1301.5414]（2013）·Zbl 1360.68919号 [43] Zürcher，B.：Abbildungen，《理性规范》von pseudo-lineen Abbildungen，硕士论文，Mathematik，ETH Zürich（1994） [44] Gerhold，S.：线性Ore算子方程的解耦系统，硕士论文，RISC，J.Kepler Universityv Linz（2002） [45] Janet，M.，《Sur les sysèmes d’équations aux dérivées partielles》，《数学与应用杂志》8 ser，3，65-152（1920） [46] Schwarz，F.：对称群的Janet基。收录于：Buchberger，B.，Winkler，F.（编辑）Gröbner Bases and Applications，课堂讲稿系列，第251卷，（伦敦数学学会，伦敦），第221-234页（1998年）·Zbl 1024.34027号 [47] 升压，EE；Davydychev，AI，《计算大规模费曼积分的方法》，Theor，Math。物理。，89, 1052-1063 (1991) [48] Davydychev，AI，具有不同质量的大规模N点Feynman图的一般结果，J.Math。物理。，33, 358-369 (1992) ·数字对象标识代码：10.1063/1.529914 [49] 布罗德赫斯特，DJ；弗莱舍，J。；Tarasov，OV，《带质量的双环两点函数：任意维的渐近展开和泰勒级数》，Z Phys C.，60，287-302（1993）·doi:10.1007/BF01474625 [50] Berends，FA；布扎，M。；Böhm，M。；Scharf，R.，特定大规模多回路自能积分的闭合表达式，Z.Phys。C.，63，227-234（1994）·doi:10.1007/BF01411014 [51] Bauberger，S。；Berends，FA；Böhm，M。；Buza，M.，《大质量双回路自能图的分析和数值方法》，Nucl。物理学。B.、434、383-407（1995）·doi:10.1016/0550-3213（94）00475-T [52] 弗莱舍，J。；Jegerlehner，F。；Tarasov，OV，一维单圈标量积分的新超几何表示，Nucl。物理学。B.，672303-328（2003）·Zbl 1058.81605号 ·doi:10.1016/j.nuclphysb.2003.09.004 [53] Watanabe，N。；Kaneko，T.，利用递归关系对超几何级数进行单圈积分，J.Phys。Conf.序列号。，523, 012063 (2014) ·doi:10.1088/1742-6596/523/1/012063 [54] Blümlein，J。；Phan，科赫；Riemann，T.，作为时空维d的亚纯函数的标量单圈顶点积分，《物理学报》B，48，2313（2017）·doi:10.5506/APhysPolB.48.2313 [55] Phan，科赫；Riemann，T.，作为时空维d中亚纯函数的标量1-圈Feynman积分，物理学。莱特。B.，791，257-264（2019）·Zbl 1411.81094号 ·doi:10.1016/j.physletb.2019.02.044 [56] Bauberger，S。；博姆，M。；Weiglein，G。；Berends，FA；Buza，M.，弱电标准模型中两回路自能的计算，Nucl。物理学。B.程序。补遗，37，2，95-114（1994）·doi:10.1016/0920-5632（94）90665-3 [57] Ablinger，J。；Blümlein，J。；Hasselhuhn，A。；克莱因，S。；施耐德，C。；Wißbrock，F.，夸克局部算符矩阵元素的大规模三回路梯形图，Nucl。物理学。B.，864，52-84（2012）·兹比尔1262.81184 ·doi:10.1016/j.nuclphysb.2012.06.007 [58] Salvy，B。；Zimmermann，P.，GFUN:一个用于操作一个变量中生成函数和完整函数的Maple包，ACM Trans数学软件，20163-177（1994）·Zbl 0888.65010号 ·数字对象标识代码：10.1145/178365.178368 [59] Mallinger C.，C.：一元完整函数和序列的算法操作和变换。林茨J.开普勒大学RISC硕士论文（1996） [60] Kauers，M.，Paule，P.：符号计算中的混凝土四面体、文本和专著（Springer Wien）（2011）·Zbl 1225.00001号 [61] Schneider，C.，《符号求和辅助组合学》，塞姆·洛塔尔。组合，56，1-36第B56b条（2007年）·Zbl 1188.05001号 [62] Schneider，C.：简化不同字段中的多个和。收录：Schneider，C.，Blümlein，J.（编辑）量子场论中的计算机代数：积分、求和和和特殊函数。符号计算的文本和专著（施普林格，维恩）第325-360页[arXiv:1304.4134]（2013）·Zbl 1276.81004号 [63] Schneider，C.：代数，项表示，符号求和的标准差分环理论arXiv:2102.01471。In:Blümlein，J.，Schneider，C.（编辑）《反微分与费曼振幅的计算》（Springer），海德堡（2021）·Zbl 1484.81078号 [64] Schneider，C.，《求解π∑-扩张中参数化线性差分方程的分母界集合》，蒂米索拉大学学报。材料信息。，42, 163 (2004) ·Zbl 1112.68139号 [65] Schneider，C.，用不定嵌套和和乘积求解参数化线性差分方程，J.Differ equations Appl。，11, 799-821 (2005) ·Zbl 1087.33011号 ·doi:10.1080/12361900138262 [66] Schneider，C.，寻找π∑-域中参数化线性差分方程多项式解的次数界，应用。代数。工程师通信计算。，16, 1-32 (2005) ·Zbl 1101.39001号 ·doi:10.1007/s00200-004-0167-3 [67] 南非阿布拉莫夫；Bronstein，M。；佩特科夫舍克，M。；Schneider，C.，《关于π∑*-场扩展中线性常差分方程的有理解和超几何解》，J.Symbolic。计算。，107，23-66（2021）·Zbl 1483.12005年 ·doi:10.1016/j.jsc.2021.01.002 [68] Vermaseren，JAM，调和和，梅林变换和积分，国际期刊Mod。物理学。A.，2037-2076年第14期（1999年）·Zbl 0939.65032号 ·doi:10.1142/S0217751X99001032 [69] Blümlein，J。；Kurth，S.，Harmonic和和和Mellin变换为两个循环顺序，Phys。D版，60014018（1999）·doi:10.1103/PhysRevD.60.014018 [70] Ablinger，J。；Blümlein，J。；Schneider，C.，分圆多项式生成的调和和和多对数，J.Math。物理。，52, 102301 (2011) ·Zbl 1272.81127号 ·数字对象标识代码：10.1063/1.3629472 [71] 莫赫，S。；尤尔，P。；Weinzierl，S.，《嵌套和，超越函数的展开和多尺度多回路积分》，J.Math。物理。，43, 3363-3386 (2002) ·Zbl 1060.33007号 ·doi:10.1063/1.1471366 [72] 魏泽尔，S.，超越函数的符号展开，计算。物理学。社区。，145, 357-370 (2002) ·Zbl 1001.65025号 ·doi:10.1016/S0010-4655（02）00261-8 [73] 莫赫，S。；Uwer，P.，XSummer：《形式、计算中的超越函数和符号求和》。物理学。社区。，174, 759-770 (2006) ·Zbl 1196.68332号 ·doi:10.1016/j.cpc.2005.12.014 [74] Huber，T。；Maitre，D.，HypExp：一个围绕积分值参数展开超几何函数的Mathematica包，Compute。物理学。社区。，175122-144（2006年）·Zbl 1196.68326号 ·doi:10.1016/j.cpc.2006.01.007 [75] Huang，ZW；Liu，J.，NumExp:超几何函数的数值ε展开，计算。物理学。社区。，184, 1973-1980 (2013) ·Zbl 1344.33001号 ·doi:10.1016/j.cpc.2013.03.016 [76] Huber，T。；Maitre，D.，HypExp 2，关于半整数参数的超几何函数展开，计算。物理学。社区。，178, 755-776 (2008) ·兹比尔1196.81024 ·doi:10.1016/j.cpc.2007.12.008 [77] 卡尔米科夫，MY；病房，BFL；Yost，SA，关于参数整值广义超几何函数的全阶ε展开，JHEP。，11, 009 (2007) ·Zbl 1245.33007号 ·doi:10.1088/1126-6708/2007/11/009 [78] 字节V，VV；卡尔米科夫，MY；Kniehl，BA，HYPERDIRE，超几何函数微分还原：广义超几何函数pFp−1，F1，F2，F3，F4，Compute的基于数学的微分还原包。物理学。社区。，184, 2332-2342 (2013) ·doi:10.1016/j.cpc.2013.05.009 [79] 字节V，VV；卡尔米科夫，MY；Moch，SO，超几何函数微分还原（HYPERDIRE）：基于MATHEMATICA的广义超几何函数的微分还原包：三变量FD和FS-Horn型超几何函数，计算。物理学。社区。，185, 3041-3058 (2014) ·Zbl 1348.33001号 ·doi:10.1016/j.cpc.2014.07.014 [80] 格雷纳特，D。；Sesma，J.，广义超几何函数ε展开的新方法，计算。物理学。社区。，185, 472-478 (2014) ·Zbl 1348.33005号 ·doi:10.1016/j.cpc.2013.10.001 [81] 格雷纳特，D。；塞斯玛，J。；Vulvert，G.，《Pochhammer和倒数Pochhamer符号的导数及其在Appell和Kampéde Fériet函数ε展开中的使用》，J.Math。物理。，554430501（2014）·Zbl 1292.81102号 ·doi:10.1063/1.4870619 [82] Itzykson，C。；Zuber，J-B，量子场论（1980），纽约：McGraw-Hill，纽约·Zbl 0453.05035号 [83] ET惠塔克；沃森，GN，《现代分析课程》（1927），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥 [84] Barnes，EW，广义超几何级数的变换，数学季刊，41136-140（1910） [85] Mellin，H.，Abrißeiner einheitlichen伽马和超几何理论Funktitonen，数学。年鉴，68，3，305-337（1910）·doi:10.1007/BF01475775 [86] Czakon，M.，Mellin-Barnes积分的自动解析延拓，计算机。物理学。社区。，175, 559-571 (2006) ·Zbl 1196.81054号 ·doi:10.1016/j.cpc.2006.07.002 [87] 斯米尔诺夫，A。；Smirnov，V.，《关于多重Mellin-Barnes积分奇点的解析》，《欧洲物理学》。J.，C62，445-449（2009）·Zbl 1188.81090号 ·doi:10.1140/epjc/s10052-009-1039-6 [88] 斯米尔诺夫，弗吉尼亚州，壳体双箱上尺寸正则无质量的分析结果，物理。莱特。B.、460、397-404（1999）·doi:10.1016/S0370-2693（99）00777-7 [89] Tausk，JB，《带四个壳腿的非平面无质量双环费曼图》，Phys。莱特。B.，469225-234（1999）·Zbl 0987.81500号 ·doi:10.1016/S0370-2693（99）01277-0 [90] Pochhammer，L.，《欧拉陈积分理论》，数学。安，35，495-526（1890）·doi:10.1007/BF02122658 [91] Kratzer，A。；Franz，W.，Transzendente Funktitonen（1960年），莱比锡：Geest Portig，莱比西·Zbl 0093.07101号 [92] Blümlein，J。；克莱因，S。；施耐德，C。；Stan，F.，《费曼积分的符号求和方法》，J.Symb。计算。，47, 1267-1289 (2012) ·Zbl 1242.81005号 ·doi:10.1016/j.jsc.2011.12.044 [93] Gluza，J。；Kajda，K。；Riemann，T.，AMBRE:一个用于构造Feynman积分的Mellin-Barnes表示的Mathematica包，Comput。物理学。社区。，177, 879-893 (2007) ·Zbl 1196.81131号 ·doi:10.1016/j.cp.2007.07.0001 [94] Gluza，J。；Kajda，K。；Riemann，T。；Yundin，V.，《欧几里德运动学中张量Feynman积分的数值计算》，《欧洲物理学》。J.C.，71，1516（2011）·doi:10.1140/epjc/s10052-010-1516-y [95] Dubovyk，I.，Gluza，J.，Somogyi，G.：Mellin-Barnes积分：粒子物理应用入门，物理课堂讲稿，1008乐队，（柏林斯普林格），[arXiv:2211.13733]（2023）·Zbl 1503.81006号 [96] Zhdanov，开；Tsikh，AK，利用多维剩余研究多重Mellin-Barnes积分。Sib，数学。J.，39281-298（1998年）·Zbl 0944.3203号 [97] 帕萨雷，M。；A.奇克。；Zhdanov，O.，多维Jordan剩余引理及其在Mellin-Barnes积分中的应用，数学方面，E 26233-241（1994）·Zbl 0832.32011号 ·doi:10.1007/978-3-663-14196-98 [98] 巴黎，RB；Kaminski，D.，《渐近与Mellin-Barnes积分》（数学及其应用百科全书，第85卷）（2001年），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0983.41019号 [99] 帕萨雷，M。；阿拉斯加州齐克；Cheshel，AA，多重Mellin-Barnes积分作为具有多个模的Calabi-Yau流形的周期，Teor。材料Fiz。，109N3，381-394（1996）·Zbl 0957.32006号 [100] Friot，S。；Greynat，D.，《关于Mellin-Barnes积分的收敛级数表示》，J.Math。物理。，53, 023508 (2012) ·Zbl 1274.81169号 ·doi:10.1063/1.3679686 [101] Davydychev，AI；Grozin，AG，m（c）对b-夸克色磁相互作用和双质量壳上双圈积分的影响，Phys。D版，59，054023（1999）·doi:10.1103/PhysRevD.59.054023 [102] 比伦鲍姆，I。；Weinzierl，S.，《无质量双环两点函数》，《欧洲物理学》。《J.C.》，32，67-78（2003）·1099.81534兹比尔 ·doi:10.1140/epjc/s2003-01389-7 [103] Halliday，IG；Ricotta，RM，负维积分，1。费曼图，物理。莱特。B.，193，241-246（1987）·doi:10.1016/0370-2693（87）91229-9 [104] 邓恩，GV；Halliday，IG，负维整合。2.路径积分和费米子等价，Phys。莱特。B.，193，247-252（1987）·doi:10.1016/0370-2693（87）91230-5 [105] 邓恩，GV；Halliday，IG，负维振子，Nucl。物理学。B.、308、589-618（1988）·doi:10.1016/0550-3213（88）90579-2 [106] 里科塔，R.M.：场论中的负维。收件人：Falomir，H.，Ferreira，P.L.，Gamboa Saravi，R.E.，Schaposnik，F.A.（编辑）J.J.Giambiagi Festschrift，世界科学，新加坡350-366（1990） [107] 铃木，AT；Schmidt，AGM，使用NDIM，Eur.Phys绘制了双回路自能图。《J.C.》，第5卷，第175-179页（1998年）·doi:10.1007/s100529800815 [108] 铃木，A.T.，施密特，A.G.M.：大规模四点函数的负维积分。1.标准溶液[arXiv:hep-th/9707187] [109] 铃木，A.T.，施密特，A.G.M.：大规模四点函数的负维积分。2.新解决方案[arXiv:hep-th/9709167] [110] 铃木，AT；Schmidt，AGM，《求解两个循环顶点积分的简单方法》，Phys。D版，58，047701（1998）·doi:10.1103/PhysRevD.58.047701 [111] 铃木，A.T.，施密特，A.G.M.：无质量壳外二环三点顶点的解[arXiv:hep-th/9712104] [112] 铃木，AT；Schmidt，AGM，《重新审视负维整合》，J.Phys。A.，318023-8039（1998）·Zbl 0954.81055号 ·doi:10.1088/0305-4470/31/39/015 [113] 铃木，AT；施密特，AGM；Bentin，R.，探测负维积分：双环协变顶点和单环光锥积分，Nucl。物理学。B.，537，549-560（1999）·Zbl 0948.81608号 ·doi:10.1016/S0550-3213（98）00613-0 [114] 铃木，AT；加拿大AGM施密特。《物理学杂志》。，78, 769-777 (2000) ·doi:10.1139/p00-058 [115] 铃木，AT；施密特，AGM，负维积分方案中张量结构的费曼积分，《欧洲物理》。《J.C.》，第10卷，第357-362页（1999年）·doi:10.1007/s100529900074 [116] 铃木，AT；西班牙桑托斯；Schmidt，AGM，负维之间的单圈N点等价，Mellin-Barnes和Feynman积分参数化方法，J.Phys。A.，36，11859-11872（2003）·Zbl 1047.81033号 ·doi:10.1088/0305-4470/36/47/012 [117] 冈萨雷斯，I。；Moll，VH，用括号法定义积分。第1部分，高级申请。数学。，45, 50-73 (2010) ·Zbl 1190.33003号 ·doi:10.1016/j.aam.2009.11.003 [118] Gonzalez，I.，Moll，V.H.，Straub，A.：括号法。第2部分。示例和应用，[arXiv:1004.2062]·Zbl 1207.33006号 [119] 冈萨雷斯，I。；Moll，VH，用括号法定义积分。第1部分，高级申请。数学。，45, 50-73 (2010) ·Zbl 1190.33003号 ·doi:10.1016/j.aam.2009.11.003 [120] Gonzalez，I.，Kohl，K.，Jiu，L.，Moll，V.H.：括号方法的扩展。第1部分，arXiv:1707.08942·Zbl 1373.33006号 [121] 冈萨雷斯，I。；Jiu，L。；莫尔，VH，括号法的扩展。第2部分，开放。数学。，18, 983-995 (2020) ·兹比尔1492.33011 ·doi:10.1515/人-2020-0062 [122] Ananthanaarayan，B。；巴尼克，S。；Friot，S。；Ghosh，S.，N重Mellin-Barnes积分的多重级数表示，物理学。修订稿。，127, 15, 151601 (2021) ·doi:10.1103/PhysRevLett.127.151601 [123] Ananthanarayan，B.，Banik，S.，Friot，S.，Pathak，T.：关于括号的方法[arXiv:2112.09679] [124] 冈萨雷斯，I。；康德拉舒克，I。；莫尔，VH；Recabarren，LM，Mellin-Barnes积分和括号方法，《欧洲物理学》。《J.C.》，第82、1、28页（2022年）·doi:10.1140/epjc/s10052-021-09977-x [125] Ablinger，J。；Blümlein，J。；克莱因，S。；Schneider，C.，《欧几里德运动学中张量费曼积分的数值计算》，Nucl。物理学。程序。补遗，205-206，110-115（2010）·doi:10.1016/j.nuclphysbps.2010.08.028 [126] Blümlein，J.，Hasselhuhn，A.，Schneider，C.：大规模问题的多流域评估，PoS（RADCOR2011）032[arXiv:1202.4303] [127] Schneider，C.，《量子场论中环路积分的现代求和方法：软件包Sigma、EvaluateMultiSums和SumProduction》，J.Phys。Conf.序列号。，523, 012037 (2014) ·doi:10.1088/1742-6596/523/1/012037 [128] Kreattehaler，C.，Schneider，C.：涉及绝对值的二项式双和的评估。摘自：Pillwein，V.，Schneider，C.（编辑）《算法组合学：枚举组合学、特殊函数和计算机代数》，（施普林格，维也纳）第249-296页（2020年）·Zbl 07293168号 [129] Karr，M.，《有限项求和》，J.ACM。，28, 305-350 (1981) ·Zbl 0494.68044号 ·doi:10.1145/322248.322255 [130] Schneider，C.：《不同领域的符号求和》，RISC博士论文，约翰内斯·开普勒大学，林茨技术报告第01-17页（2001） [131] Schneider，C.，简化π∑-扩张中的和，J.代数。申请。，6, 415-441 (2007) ·Zbl 1120.33023号 ·doi:10.1142/S0219498807002302 [132] Schneider，C.：找到最佳嵌套求和表示的符号求和方法。收录：Carey，A.、Ellwood，D.、Paycha，S.、Rosenberg，S.（编辑）动机、量子场论和伪微分算子。克莱数学论文集第12卷（美国数学学会）第285-308页[arXiv:0904.2323]（2010）·兹伯利1225.33031 [133] Schneider，C.，参数化伸缩证明了和的代数独立性，[arXiv:http://arxiv.org/abs/0808.2596]安·库姆。，14, 533-552 (2010) ·Zbl 1232.33034号 ·doi:10.1007/s00026-011-0076-7 [134] Schneider，C.：不同场中精细参数化望远镜的快速算法。在：Gutierrez，J.，Schicho，J.，Weimann，M.（编辑）《计算机代数与多项式，代数与数论的应用》，计算机科学讲义（LNCS）8942，第157-191页[arXiv:13077887]（2015）·Zbl 1434.39004号 [135] Schneider，C.，《符号求和的精细差分场理论》，J.Symbolic。计算。，43, 611-644 (2008) ·Zbl 1147.33006号 ·doi:10.1016/j.jsc.2008.01.01 [136] Schneider，C.，《符号求和的差环理论》，J.Symb。计算。，72, 82-127 (2016) ·Zbl 1328.12015年 ·doi:10.1016/j.jsc.2015.02.002 [137] Schneider，C.，《求和理论II：Rπ∑*-扩张和算法方面的特征》，J.Symb。计算。，80, 616-664 (2017) ·Zbl 1403.12002号 ·doi:10.1016/j.jsc.2016.07.028 [138] Kauers，M.，Schneider，C.：偏线性差分方程的分母界。In：程序。ISSAC’10第211-218页（2010年）·Zbl 1321.68536号 [139] Kauers，M.，Schneider，C.：多元线性差分方程的改进分母边界算法。In：程序。ISSAC’11第201-208页（2011年）·Zbl 1323.39009号 [140] Gauß，CF，Disquisitiones generales circa seriem infinimam 1+αβ/1γ，pars previor，Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores 2（1813）转载于Werke，3123-162（1876） [141] Paule，P.：相邻关系和创造性伸缩。In:Blümlein，J.，Schneider，C.（编辑）《反微分与费曼振幅的计算》（Springer，Heidelberg（2021））·Zbl 1482.33016号 [142] 南非阿布拉莫夫；Petkovšek，M.，《关于多元超几何项的结构》，《应用进展》。数学。，29, 386-411 (2002) ·兹伯利1057.33017 ·doi:10.1016/S0196-8858（02）00022-2 [143] Ore，O.，Sur les functions hypergéométriques de plusieurs variables，Comptes。雷杜斯。阿卡德。科学。巴黎。，189, 1238-1240 (1929) [144] Ore，O.，《函数的形式》（Sur la forme des functions hypergéométriques de plusieurs variables），J.Math。纯净。申请。，9, 9, 311-326 (1930) [145] 佐藤，M。；Shintani，T。；Muro，M.，《预齐次向量空间理论（代数部分）》，名古屋。数学。J.，120，1-34（1990）·2014年7月15日Zbl ·doi:10.1017/S0027763000003214 [146] Chen，S.，Feng，R.，Fu，G.，Li，Z.：关于相容理性函数的结构。In：程序。ISSAC’11第91-98页（2011年）·Zbl 1323.68590号 [147] 马蒂亚塞维奇，YV，希尔伯特第十问题（1993），剑桥：麻省理工学院出版社，剑桥·Zbl 0790.03009号 [148] 维耶特，F.：歌剧数学（重印：博纳文图雷和亚伯拉罕·埃尔泽维里乌姆，莱顿，1646）（1579） [149] Jean-Baptiste le Rond d'Alembert:《数学小品》，第五卷（巴黎，切斯·布里亚松）第171-182页（1768） [150] A.Hurwitz，Z.数学。与物理有关。，27, 86-101 (1882) [151] Ablinger，J。；Blümlein，J。；Schneider，C.，《广义调和和和多对数的分析和算法方面》，J.Math。物理。，54, 082301 (2013) ·Zbl 1295.81071号 ·数字对象标识代码：10.1063/1.4811117 [152] Ablinger，J。；Blümlein，J。；拉布，CG；Schneider，C.，《二项式迭代和及其相关的迭代积分》，J.Math。物理。，55, 112301 (2014) ·Zbl 1306.81141号 ·doi:10.1063/1.4900836 [153] Ablinger，J。；Blümlein，J。；Schneider，C.，由二次型导出的字母上的迭代积分，Phys。版本D.，103，096025（2021）·doi:10.1103/PhysRevD.103.096025 [154] Ablinger，J。；Blümlein，J。；Schneider，C.，《广义调和、分圆和二项式和及其多对数和特殊数》，J.Phys。Conf.序列号。，523012060（2014）·doi:10.1088/1742-6596/523/1/012060 [155] Ablinger，J.：软件包和谐和：嵌套和的计算机代数和分析方面，PoS第019卷[arXiv:1407.6180]（LL2014） [156] Ablinger，J.：与粒子物理学相关的调和和的计算机代数工具箱，文凭论文，JKU Linz，arXiv:101011.1176（2009） [157] Ablinger，J.：《粒子物理中特殊函数的计算机代数算法》，JKU Linz博士论文。arXiv:1305.0687（2012） [158] Ablinger，J.：完整序列的逆梅林变换，PoS（LL2016）067；发现并证明无穷二项式和恒等式，实验数学26[arXiv:1507.01703]（2017） [159] Ablinger，J.：使用Kovacic算法计算完整序列的逆梅林变换，PoS（RADCOR2017）001[arXiv:1801.01039]（RADCOR 2017） [160] Ablinger，J.：计算完整序列逆梅林变换的改进方法，PoS（LL2018）063；J Blümlein，调和和和Mellin变换到重量w=5的结构关系，第180卷。[arXiv:0901.3106]（2009年） [161] Ablinger，J.：《发现和证明无限二项和恒等式》，《实验数学》第26期[arXiv:1507.01703]（2017）·Zbl 1365.05009号 [162] Ablinger，J.：发现并证明无限Pochhammer和恒等式，arXiv:1902.11001（2019）·Zbl 1486.05024号 [163] 雷米迪，E。；Vermaseren，JAM，Harmonic多对数，国际期刊Mod。物理学。A.，15725-754（2000）·Zbl 0951.33003号 ·doi:10.1142/S0217751X00000367 [164] Abramov，SA，《有理函数求和》，Zh。维奇塞尔。材料Fiz。，11, 4, 1071-1075 (1971) ·Zbl 0243.65076号 [165] Abramov，SA，线性微分方程和多项式系数差分方程的有理解，苏联。计算。数学。数学。物理学。bf.，29，6，7-12（1989）·Zbl 0719.65063号 ·doi:10.1016/S0041-5553（89）80002-3 [166] Abramov，S.A.，Petkovšek，M.：关于线性偏微分方程和（q-）差分方程的多项式解。In:程序。，CASC，第1-11页（2012年）·Zbl 1373.68458号 [167] Blümlein，J.，调和和和相关量之间的代数关系，计算。物理学。社区。，159, 19-54 (2004) ·Zbl 1097.11063号 ·doi:10.1016/j.cpc.2003.12004 [168] Ablinger，J。；Schneider，C.，（分圆）调和和生成的序列的代数独立性，Ann.Comb。，22, 213-244 (2018) ·兹伯利1444.11153 ·doi:10.1007/s00026-018-0381-5 [169] Schläfli，L.，Ueber die allgemeine Möglichkeit der conformen Abbildung einer von Geraden begrenzten ebenen Figur in eine Halbebene，J Reine Angew Math，78，63-80（1874） [170] Erdé，lyi，A.：生产Whittakerscher Funktionen的集成技术。尼乌。架构（architecture）。威斯克。20, 1-34 (1939) [171] Saran，S.，某些超几何方程的解，Proc。美国国家科学院。科学。印度教派。A.，21，404-408（1955） [172] 潘迪，RC，《关于某些超几何变换》，J.Math。机械。，113-118年12月（1963年）·Zbl 0112.04602号 [173] Srivastava，HM，三变量超几何函数，Ganita。，15, 97-108 (1964) ·Zbl 0163.08203号 [174] Srivastava，HM，表示三重超几何函数的一些积分，Rend。循环。马特·巴勒莫。，16, 2, 99-115 (1967) ·Zbl 0167.34802号 ·doi:10.1007/BF02844089 [175] Dhawan，GK，三变量超几何函数，Proc。美国国家科学院。科学。印度教派。A.，40，43-48（1970）·Zbl 0232.33003号 [176] Srivastava，HM，关于某些超几何微分方程的注记，Mat.Vesnik。，9, 24, 101-107 (1972) ·Zbl 0246.33007号 [177] Exton，H.，关于一类超几何微分系统（II），Funkcial。埃克瓦奇。，16, 189-194 (1973) ·Zbl 0286.33006号 [178] Samar，MS，《一些定积分》，Vijnana Parishad Anusandhan Patrika，16，7-11（1973）·Zbl 1195.33199号 [179] Exton，H.，《三变量超几何函数》，J.Indian Acad。数学。，4, 113-119 (1982) ·Zbl 0509.33002号 [180] Decker，W.，Greuel，G.-M.，Pfister，G.，Schönemann，H:奇异4-2-0-用于多项式计算的计算机代数系统。http://www.singular.uni-kl.de(2019) [181] 考尔斯，M。；Levandovskyy，V.，Mathematica和Singular之间的接口，技术报告29，SFB F013（2006），奥地利：约翰内斯·开普勒大学，奥地利林茨 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。