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动态系统中模型误差的机器学习框架。 (英语) Zbl 07750994号

摘要:动力系统数据信息预测模型的开发在许多学科中都有广泛的兴趣。我们提出了一个统一的框架,用于混合机械和机器学习方法,从噪声和部分观测数据中识别动力学系统。我们将纯数据驱动学习与包含不完善领域知识的混合模型进行了比较,将假设真值模型与不完善机制模型之间的差异称为模型误差。我们的公式与所选的机器学习模型无关,在连续时间和离散时间设置中都有,并且与表现出大量记忆的模型错误和无记忆的错误都兼容。
首先,我们从学习理论的角度研究了无记忆线性(w.r.t.参数依赖)模型误差,定义了超额风险和泛化误差。对于遍历连续时间系统,我们证明了超额风险和泛化误差都有界于上述项,这些项随指定训练数据的时间间隔T的平方减小。
其次,我们研究了受益于记忆建模的场景,证明了两类连续时间递归神经网络(RNN)的普遍逼近定理:假设模型误差由有限维隐藏变量控制,两者都可以学习记忆相关的模型误差,观测变量和隐藏变量构成了一个连续时间的马尔科夫系统。此外,我们将一类RNN与水库计算联系起来,从而将记忆相关误差的学习与最近使用随机特征在Banach空间之间进行监督学习的工作联系起来。
给出了数值结果(Lorenz’63和Lorenz‘96多尺度系统),以比较纯数据驱动和混合方法,发现混合方法数据需求更少,参数效率更高。我们还发现,虽然连续时间帧允许对不规则采样的鲁棒性和理想的域解释性,但离散时间帧可以提供类似或更好的预测性能,特别是当数据采样不足且无法识别定义真正动态的向量场时。最后,我们用数字演示了如何利用数据同化从有噪声的部分观测数据中学习隐藏的动力学,并说明了用这种方法表示记忆以及训练这种模型的挑战。

MSC公司:

65升05 常微分方程初值问题的数值方法
68立方英尺 知识表示
37A30型 遍历定理、谱理论、马尔可夫算子
37M10个 动力系统的时间序列分析
37米25 遍历理论的计算方法(不变测度的近似、Lyapunov指数的计算、熵等)
41A30型 其他特殊函数类的近似
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