李·米科（Lea Miko Versbach）;维克托·林德斯;Klöfkorn，罗伯特;菲利普·伯肯 时空DG-SEM实现的理论和实践方面。 （英语） Zbl 1517.65092号 SMAI J.计算。数学。 9, 61-93 (2023). 摘要：我们讨论了两种时空非连续Galerkin谱元方法（DG-SEM）的形成和实现方法。一种方法是将时间视为一个附加的坐标方向，并将Galerkin程序应用于整个问题。在另一种方法中，线的方法在空间上使用DG-SEM，在时间上使用完全隐式龙格-库塔方法Lobatto IIIC。这两种方法在数学上是等价的，因为它们导致了相同的离散解。然而，在实践中，它们在几个重要方面存在差异，包括用于描述它们的术语、生成软件的结构以及与非线性解算器的交互。讨论了这两种方法的挑战和优点，目的是为从业者提供足够的考虑，以选择要走的道路。此外，还提供了这两种方法的实现，作为进一步开发的起点。数值实验验证了这些代码的理论准确性，并证明了它们的实用性，甚至对于4D问题也是如此。 引用于2文件 MSC公司： 65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65M70型 偏微分方程初值和初边值问题的谱、配置及相关方法 65平方米 涉及偏微分方程的初值和初边值问题的线方法 65升06 常微分方程的多步、Runge-Kutta和外推方法 65F08个 迭代方法的前置条件 65层10 线性系统的迭代数值方法 76N15型 气体动力学（一般理论） 第31季度35 欧拉方程 关键词：时空;间断Galerkin;DG-SEM公司 软件：日晷;FLEXI公司;法国DUNE-FEM;DUNE公司;PETSc公司;UFL公司;阿西莫洛 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.M.Versbach}等人，SMAI J.Compute。数学。9、61-93（2023年；Zbl 1517.65092） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Alns，医学硕士。；Logg，A。；Ølgard，K.B。；罗杰斯，M.E。；Wells，G.N.，《统一形式语言：偏微分方程弱公式的领域专用语言》，ACM Trans。数学。软质。，40, 2 (2014) ·Zbl 1308.65175号 ·doi:10.1145/2566630 [2] 安德森，C。；元首，C。；奥凯森，J.，Assimulo：ODE解算器的统一框架，数学。计算。模拟。，116，26-43（2015）·Zbl 07313385号 ·doi:10.1016/j.matcom.2015.04.007 [3] Arnold，D.N。；布雷齐，F。；Cockburn，B。；Marini，L.D.，椭圆问题间断Galerkin方法的统一分析，SIAM J.Numer。分析。，39, 5, 1749-1779 (2002) ·Zbl 1008.65080号 ·doi:10.1137/S0036142901384162 [4] 巴莱，S。；Abhyankar，S。；M.F.亚当斯。；Benson，S。；Brown，J。；布鲁纳，P。；Buschelman，K。；Constantinescu，E.M。；达尔星。；Dener，A。；埃伊霍特，V。；格罗普，W.D。；哈普拉，V。；Isaac，T。；Jolivet，P。；卡佩夫，D。；考希克，D。；Knepley，M.G。；Kong，F。；克鲁格，S。；May，D.A。；McInnes，L.C.公司。；Mills，R.T。；米切尔，L。；Munson，T。；罗曼，J.E。；鲁普，K。；萨南，P。；萨里奇，J。；B.F.史密斯。；扎皮尼，S。；张，H。；张，H。；Zhang，J.，PETSc网页（2021） [5] 巴莱，S。；Abhyankar，S。；M.F.亚当斯。；Benson，S。；Brown，J。；布鲁纳，P。；Buschelman，K。；Constantinescu，E.M。；达尔星。；Dener，A。；埃伊霍特，V。；格罗普，W.D。；哈普拉，V。；Isaac，T。；Jolivet，P。；卡佩夫，D。；考希克，D。；Knepley，M.G。；孔，F。；克鲁格，S。；May，D.A。；McInnes，L.C.公司。；Mills，R.T。；米切尔，L。；蒙森，T。；罗曼，J.E。；鲁普，K。；萨南，P。；萨里奇，J。；B.F.史密斯。；扎皮尼，S。；张，H。；张，H。；Zhang，J.，PETSc/TAO用户手册，ANL-21/39-3.16版（2021） [6] Bastian，P。；布拉特，M。；Dedner，M。；新泽西州德雷尔。；Engwer，R.Ch.Fritze；Gräser，C。；Grüninger，Ch。；肯普夫博士。；Klöfkorn，R。；Ohlberger，M。；Sander，O.，《沙丘框架：基本概念和最新发展》，Comput。数学。申请。，81, 75-112 (2021) ·Zbl 1524.65003号 ·doi:10.1016/j.camwa.2020.06.007 [7] Bickart，T.A.，隐式Runge-Kutta方法的有效求解过程，SIAM J.Numer。分析。，14, 6, 1022-1027 (1977) ·Zbl 0368.65037号 ·doi:10.1137/0714069 [8] Birken，P.，《非定常可压缩流动问题的数值方法》（2021），CRC出版社·Zbl 1465.76001号 ·doi:10.1201/9781003025214 [9] 伯肯，P。；Gassner，G.J。；Versbach，L.M.，高阶间断Galerkin方法的子单元有限体积多重网格预处理，国际计算机杂志。流体动力学。，33, 9, 353-361 (2019) ·Zbl 07474499号 ·doi:10.1080/10618562.2019.1667983 [10] 吊杆，P.D。；Zingg，D.W.，基于广义和部分算子的高阶隐式时间架构方法，SIAM J.Sci。计算。，37，A2682-A2709（2015）·Zbl 1359.65127号 ·doi:10.1137/15M1014917 [11] 布尔达尔，S。；A.德纳。；Klöfkorn，R.，对流扩散问题的紧致和稳定间断Galerkin方法。，SIAM J.科学。计算。，34263-282（2012年）·Zbl 1251.65137号 ·doi:10.1137/100817528 [12] Butcher，J.C.，隐式Runge-Kutta过程，数学。计算。，18, 85, 50-64 (1964) ·兹伯利0123.11701 ·doi:10.1090/S0025-5718-1964-0159424-9 [13] Butcher，J.C.，《关于隐式Runge-Kutta方法的实现》，BIT，16，3，237-240（1976）·Zbl 0336.65037号 ·doi:10.1007/BF01932265 [14] 卡普兰，P.C。；Haimes，R。；Darmofal，D.L。；Galbraith，M.C.，《四维各向异性网格自适应》，计算-辅助设计。，129102915（2020）·doi:10.1016/j.cad.2020.102915 [15] Carpenter，M.H。；费希尔，T.C。；尼尔森，E.J。；Frankel，S.H.，《Navier-Stokes方程的熵稳定谱配置方案：间断界面》，SIAM J.Sci。计算。，36、5、B835-B867（2014）·Zbl 1457.65140号 ·doi:10.1137/130932193 [16] Carpenter，M.H。；Gottlieb，D.，《任意网格上的谱方法》，J.Compute。物理。，129, 1, 74-86 (1996) ·Zbl 0862.65054号 ·doi:10.1006/jcph.1996.0234 [17] 陈，Z。；Steeb，H。；Diebels，S.，应用于多孔介质单相流动的时空间断Galerkin方法，计算。地质科学。，12, 4, 525-539 (2008) ·Zbl 1155.76038号 ·doi:10.1007/s10596-008-9092-z [18] A.德纳。；Girke，S。；Klöfkorn，R。；Malkmus，T.，《DUNE-FEM-DG模块》，《数值软件档案》，5，1（2017）·doi:10.11588/ans.2017.1.28602 [19] A.德纳。；Klöfkorn，R.，用稳定的间断Galerkin方法求解演化方程的可扩展高效Python框架，Commun。申请。数学。计算。科学。(2021) ·Zbl 1499.65490号 ·doi:10.1007/s42967-021-00134-5 [20] A.德纳。；Klöfkorn，R.，《DUNE-FEM教程》（2022） [21] A.德纳。；Klöfkorn，R。；Nolte，M.，DUNE-FEM模块的Python绑定（2020） [22] A.德纳。；Klöfkorn，R。；诺尔特，M。；Ohlberger，M.，《并行和自适应科学计算的通用接口：抽象原理和DUNE-FEM模块》，计算，90，3-4，165-196（2010）·Zbl 1201.65178号 ·doi:10.1007/s00607-010-0110-3 [23] A.德纳。；诺尔特，M。；A.德纳。；弗莱米什，B。；Klöfkorn，R.，使用通用参考元素构建局部有限元空间，DUNE进展，3-16（2012），Springer·doi:10.1007/978-3642-28589-9_1 [24] Del Rey Fernández，哥伦比亚特区。；希肯，J.E。；Zingg，D.W.，《偏微分方程数值解的同时逼近项的逐部分求和算子综述》，计算。流体，95，171-196（2014）·Zbl 1390.65064号 ·doi:10.1016/j.compfluid.2014.02.016 [25] 迪奥萨迪，L.T。；Murman，S.M.，高阶时空间断Galerkin方法的张量积预条件，J.Compute。物理。，330296-318（2017）·兹比尔1378.76046 ·doi:10.1016/j.jcp.2016.11.022 [26] Dörfler，W。；芬戴森，S。；Wieners，C.，线性一阶双曲发展系统的时空间断Galerkin离散，计算。方法应用。数学。，16, 3, 409-428 (2016) ·Zbl 1360.65234号 ·doi:10.1515/cmam-2016-0015 [27] 费希尔，T.C。；Carpenter，M.H.，非线性守恒律的高阶熵稳定有限差分格式：有限域，J.Compute。物理。，252, 518-557 (2013) ·Zbl 1349.65293号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.06.014 [28] 费希尔，T.C。；Carpenter，M.H。；Nordström，J。；新泽西州亚马列夫。；Swanson，C.，《分裂形式非线性守恒定律的离散守恒有限差分公式：理论和边界条件》，J.Compute。物理。，234353-375（2013年）·Zbl 1284.65102号 ·doi:10.1016/j.jcp.2012.09.026 [29] Franciolini，M。；Murman，S.M.，时空光谱元素非连续-Galerkin解算器的多重网格预处理，AIAA科学技术2020论坛，1314（2020）·doi:10.2514/6.2020-1314 [30] 弗里德霍夫，S。；麦克拉克伦，S。；Borgers，C.，时空松弛和多重网格方案的局部傅里叶分析，SIAM J.Sci。计算。，35、5、S250-S276（2013）·Zbl 1281.65127号 ·数字对象标识代码：10.1137/120881361 [31] 弗里德里希，L。；Schnücke，G。；温特斯，A.R。；Del Rey Fernández，哥伦比亚特区。；Gassner，G.J。；Carpenter，M.H.，双曲守恒律具有逐部分求和性质的熵稳定时空间断Galerkin格式，科学杂志。计算。，80, 1, 175-222 (2019) ·Zbl 1421.35262号 ·doi:10.1007/s10915-019-00933-2 [32] 弗龙廷，C.V。；沃尔特斯，G.S。；F.D.威瑟顿。；Lee，C.W。；威廉姆斯，D.M。；Darmofal，D.L.，《时空有限元方法基础：多面体、插值和积分》，应用。数字。数学。，166, 92-113 (2021) ·Zbl 1475.65120号 ·doi:10.1016/j.apnum.2021.03.019 [33] 甘德，M.J。；Carraro，T。；盖革，M。；科克尔，S。；Rannacher，R.，《50年时间并行时间积分、多重放炮和时域分解方法》，69-113（2015），Springer·Zbl 1337.65127号 ·doi:10.1007/978-3-319-23321-53 [34] 甘德，M.J。；Neumüller，M.，抛物问题的新时空并行多重网格算法分析，SIAM J.Sci。计算。，第38页，第4页，第2173-A2208页（2016年）·Zbl 1342.65225号 ·doi:10.1137/15M1046605 [35] Gassner，G.J.，斜对称不连续伽辽金谱元离散化及其与SBP-SAT有限差分方法的关系，SIAM J.Sci。计算。，35、3、A1233-A1253（2013）·Zbl 1275.65065号 ·doi:10.1137/120890144 [36] Gassner，G.J。；Winters，A.R.，计算流体力学中间断Galerkin方法的一种新的稳健策略：为什么？什么时候？什么？哪里？，前面。物理。，612 (2021) [37] Gersbacher，Ch.，双曲守恒律系统的高阶间断有限元方法和动态模型自适应（2017）·Zbl 1370.65052号 ·doi:10.6094/UNIFR/12838 [38] Gopalakrishnan，J。；Kanschat，G.，《多层不连续Galerkin方法》，数值。数学。，95, 3, 527-550 (2003) ·Zbl 1044.65084号 ·doi:10.1007/s002110200392 [39] 海尔，E。；诺塞特，S.P。；Wanner，G.，《求解常微分方程I》（2009），Springer·Zbl 0789.65048号 ·doi:10.1007/978-3-540-78862-1 [40] 海尔，E。；Wanner，G.，求解常微分方程II，14，xvi+614 p.pp.（2010），Springer·Zbl 1192.65097号 ·doi:10.1007/978-3-642-05221-7 [41] Hemker，P.W。；霍夫曼，W。；Van Raalte，M.H.，《非连续Galerkin离散化多重网格方法的二级傅里叶分析》，SIAM J.Sci。计算。，25, 3, 1018-1041 (2003) ·Zbl 1048.65108号 ·doi:10.1137/S1064827502405100 [42] Hemker，P.W。；霍夫曼，W。；Van Raalte，M.H.，具有线性单元的不连续Galerkin离散化的傅立叶两级分析，Numer。线性代数应用。，11, 5-6, 473-491 (2004) ·Zbl 1164.65498号 ·doi:10.1002/nla.356 [43] 赫塞文，J.S。；Warburton，T.，Nodal间断Galerkin方法：算法、分析和应用（2008），Springer·Zbl 1134.65068号 ·doi:10.1007/978-0-387-72067-8 [44] 希肯，J.E。；Zingg，D.W.，基于逐部分求和有限差分离散化的超收敛函数估计，SIAM J.Sci。计算。，33, 2, 893-922 (2011) ·Zbl 1227.65102号 ·doi:10.1137/100790987 [45] 辛德马什，A.C。；Brown，P.N。；格兰特，K.E。；Lee，S.L。；塞尔维亚人，R。；Shumaker，D.E。；Woodward，C.S.，SUNDIALS：非线性和微分/代数方程求解器套件，ACM Trans。数学。软质。，31, 3, 363-396 (2005) ·Zbl 1136.65329号 ·数字对象标识代码：10.1145/1089014.1089020 [46] 宾夕法尼亚州休斯顿。；Sime，N.，《间断Galerkin有限元方法的自动符号计算》，SIAM J.Sci。计算。，40，3，C327-C357（2018）·兹比尔1397.65268 ·doi:10.1137/17M1129751 [47] Hulbert，G.M。；Hughes，T.Jr，二阶双曲方程的时空有限元方法，计算。方法应用。数学。，84, 3, 327-348 (1990) ·Zbl 0754.73085号 [48] Jameson，A.，非恒定流计算中全隐式Runge-Kutta格式的评估，科学杂志。计算。，73, 2-3, 819-852 (2017) ·Zbl 1397.65104号 ·文件编号：10.1007/s10915-017-0476-x [49] Jay，L.O。；Engquist，B.，《应用和计算数学百科全书》，Lobatto Methods，817-826（2015），Springer·Zbl 1263.65001号 ·doi:10.1007/978-3-540-70529-1_123 [50] 贾亚辛哈，S。；Darmofal，D.L。；新泽西州伯吉斯。；加尔布雷思，M.C。；Allmaras，S.R.，《水库水流的时空自适应方法：公式和一维应用》，计算。地质科学。，22, 1, 107-123 (2018) ·Zbl 1405.86004号 ·doi:10.1007/s10596-017-9673-9 [51] 焦，X。；王，X。；Chen，O.，抛物偏微分方程全隐式Runge-Kutta格式的最优和低记忆近最优预处理，SIAM J.Sci。计算。，43、5、A3527-A3551（2021）·Zbl 07418132号 ·doi:10.1137/20M1387985 [52] O.卡拉卡希安。；Makridakis，C.，非线性薛定谔方程的时空有限元方法：不连续伽辽金方法，数学。计算。，67, 222, 479-499 (1998) ·Zbl 0896.65068号 ·doi:10.1090/S0025-5718-98-00946-6 [53] 卡尼亚达基斯，G。；Sherwin，S.，《计算流体动力学的谱/hp元素方法》（2013），牛津大学出版社·Zbl 1256.76003号 ·doi:10.1093/acprof:oso/9780198528692.0001 [54] 卡西米尔，J。；Versbach，L.M。；伯肯，P。；Gassner，G.J。；Klöfkorn，R.，用于DG-SEM对流扩散的基于有限体积的多重网格预处理程序，第14届WCCM-ECCOMAS大会2020，600（2021）·doi:10.23967/wccm-ecocomas.2020.212 [55] Klaij，C.M。；范德维格特，J.J.W。；van der Ven，H.，可压缩Navier-Stokes方程的时空间断Galerkin方法，J.Compute。物理。，217，2589-611（2006年）·1099.76035兹比尔 ·doi:10.1016/j.jcp.2006.01.018 [56] Klaij，C.M。；van Raalte，M.H。；范德文，H。；van der Vegt，J.J.W.，h-可压缩Navier-Stokes方程时空间断Galerkin离散的多重网格，J.Compute。物理。，227, 2, 1024-1045 (2007) ·Zbl 1126.76031号 ·doi:10.1016/j.jcp.2007.08.034 [57] 科彻，美国。；Bause，M.，波动方程的变分时空方法，J.Sci。计算。，61, 2, 424-453 (2014) ·Zbl 1304.65218号 ·doi:10.1007/s10915-014-9831-3 [58] Kopriva，D.A.，《实施偏微分方程的谱方法》（2009），Springer·兹比尔1172.65001 ·doi:10.1007/978-90-481-2261-5 [59] 科普里瓦，D.A。；Gassner，G.J.，《关于配置型间断Galerkin谱元方法中的求积和弱形式选择》，科学杂志。计算。，44, 136-155 (2010) ·Zbl 1203.65199号 ·doi:10.1007/s10915-010-9372-3 [60] 科普里瓦，D.A。；伍德拉夫，S.L。；Hussaini，M.Y.，用非协调不连续谱元方法计算电磁散射，国际J数值。方法工程，53，1，105-122（2002）·Zbl 0994.78020号 ·doi:10.1002/nme.394 [61] 北克雷斯。；贝克，A。；Bolemann，T。；弗兰克·H。；弗拉德·D。；Gassner，G.J。；辛登朗，F。；霍夫曼，M。；库恩，T。；Sonntag，M.，FLEXI：双曲抛物线守恒律的高阶间断Galerkin框架，计算。数学。申请。，81, 186-219 (2021) ·Zbl 1461.76347号 ·doi:10.1016/j.camwa.2020.05.004 [62] H.O.克莱斯。；谢勒，G。；de Boor，C.，偏微分方程中有限元的数学方面，双曲型偏微分方程的有限元和有限差分方法，195-212（1974），学术出版社·Zbl 0355.65085号 ·doi:10.1016/B978-0-12-208350-1.50012-1 [63] 赖，J。；刘，F。；Anh，V.V。；Liu，Q.，解线性Riesz空间分数阶偏微分方程的时空有限元方法，Numer。算法，1-22（2021） [64] Lehsten，E.，将三阶段Lobatto IIIC纳入Assimulo一揽子计划（2021） [65] Linders，V.，《关于Summation-By-Parts算子的特征值性质》，J.Sci。计算。，93, 82 (2022) ·Zbl 1503.65264号 ·doi:10.1007/s10915-022-02042-z [66] 林德斯，V。；伦德奎斯特，T。；Nordström，J.，关于基于对角范数的逐部分求和形式上有限差分算子的精度顺序，SIAM J.Numer。分析。，56, 2, 1048-1063 (2018) ·Zbl 1448.65192号 ·doi:10.1137/17M1139333 [67] 林德斯，V。；Nordström，J。；Frankel，S.H.，《Runge-Kutta-Summation-By-Parts方法的特性》，J.Compute。物理。，419, 109684 (2020) ·Zbl 07507243号 ·doi:10.1016/j.jcp.2020.109684 [68] 伦德奎斯特，T。；Nordström，J.，《初值问题的SBP-SAT技术》，J.Compute。物理。，270, 86-104 (2014) ·Zbl 1349.65550号 ·doi:10.1016/j.jcp.2014.03.048 [69] Makridakis，C。；Nochetto，R.H.，进化问题高阶耗散方法的后验误差分析，数值。数学。，104, 4, 489-514 (2006) ·兹比尔1104.65091 ·文件编号：10.1007/s00211-006-0013-6 [70] 马苏德·拉纳（Masud Rana，M.）。；豪尔，V.E。；Long，K。；Meek，A。；Milestone，W.，抛物PDE问题隐式Runge-Kutta方法的新块预条件，SIAM J.Sci。计算。，43、5、S475-S495（2021）·Zbl 07418116号 ·doi:10.1137/20M1349680 [71] 米勒，A。；Kopera，医学硕士。；Marras，S。；Wilcox，L.C.公司。；Isaac，T。；Giraldo，F.X.，《利用大气模式NUMA进行PB尺度数值天气预报的强尺度化》，国际期刊《高性能计算》。申请。，33, 2, 411-426 (2019) ·doi:10.1177/1094342018763966 [72] 奈尔·R·D。；鲍，L。；玩具，医学博士。；Klöfkorn，R.，《高阶多尺度全球大气模型》，AIAA航空论坛（2016）·doi:10.2514/6.2016-3888 [73] Neumüller，M.，《时空方法》，20（2013），TU Graz [74] Nievergelt，J.，积分常微分方程的并行方法，Commun。ACM，第7、12、731-733页（1964年）·Zbl 0134.32804号 ·数字对象标识代码：10.1145/355588.365137 [75] Nordström，J。；La Cognata，C.，非线性不可压缩Navier-Stokes方程的能量稳定边界条件，数学。计算。，88, 316, 665-690 (2019) ·Zbl 1405.65107号 ·网址：10.1090/com/3375 [76] Nordström，J。；Linders，V.，《适定和稳定传输问题》，J.Compute。物理。，364, 95-110 (2018) ·Zbl 1395.65052号 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.03.003 [77] Nordström，J。；Lundquist，T.，《按时间分段求和》，J.Compute。物理。，251, 487-499 (2013) ·Zbl 1349.65399号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.05.042 [78] Pazner，W。；Persson，P.-O.，《间断Galerkin流体模拟的分段并行全隐式Runge-Kutta解算器》，J.Compute。物理。，335, 700-717 (2017) ·Zbl 1375.76164号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.01.050 [79] Pazner，W。；Persson，P.-O.，非常高阶间断Galerkin方法的近似张量积预条件，J.Compute。物理。，354, 344-369 (2018) ·兹比尔1380.65067 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.10.030 [80] Ranocha，H.，关于部分时间积分法求和的一些注释，结果应用。数学。，1, 100004 (2019) ·Zbl 1453.65161号 ·doi:10.1016/j.rinam.2019.100004 [81] Ranocha，H。；Schlottke-Lakemper，M。；温特斯，A.R。；Faulhaber，E。；Chan，J。；Gassner，G.J.，《Trixi.jl自适应数值模拟：朱莉娅科学计算案例研究》，《朱莉娅会议论文集》，第1、1、77页（2022年）·doi:10.21105/jcon.00077 [82] Ruggiu，A.A。；Nordström，J.，《关于按部分求和形式的伪谱时间离散化》，J.Compute。物理。，360192-201（2018）·兹比尔1395.65107 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.01.043 [83] Schneid，J.，Lobatto IIIC公式的B-收敛性，数值。数学。，51, 2, 229-235 (1987) ·Zbl 0626.65065号 ·doi:10.1007/BF01396751 [84] Shu，C.-W.，含时对流主导偏微分方程的高阶WENO和DG方法：几项最新发展的简要综述，J.Compute。物理。，316, 598-613 (2016) ·Zbl 1349.65486号 ·doi:10.1016/j.jcp.2016.04.030 [85] Strand，B.，d/dx有限差分近似的部件求和，J.计算。物理。，110, 1, 47-67 (1994) ·Zbl 0792.65011号 ·doi:10.1006/jcph.1994.1005 [86] Sudirham，J.J。；范德维格特，J.J.W。；van Damme，R.M.J.，时间相关区域对流扩散问题的时空间断Galerkin方法，应用。数字。数学。，56, 12, 1491-1518 (2006) ·Zbl 1111.65089号 ·doi:10.1016/j.apnum.2005.11.003 [87] 斯瓦德，M。；Nordström，J.，初边值问题的逐部分求和方案综述，J.Compute。物理。，268, 17-38 (2014) ·Zbl 1349.65336号 ·doi:10.1016/j.jcp.2014.02.031 [88] Tezduyar，T.E。；Takizawa，K.，《实际工程应用中的时空计算：25年历史总结》，《计算》。机械。，63, 4, 747-753 (2019) ·Zbl 1471.76048号 ·doi:10.1007/s00466-018-1620-7 [89] van der Vegt，J.J.W.，时空非连续Galerkin有限元方法，1-37（2006），冯·卡曼流体动力学研究所 [90] 范德维格特，J.J.W。；Rhebergen，S.，hp-multigrid作为对流主导流的高阶间断Galerkin离散的更平滑算法：第一部分：多层分析，J.Compute。物理。，23127537-7563（2012年）·Zbl 1284.65129号 ·doi:10.1016/j.jcp.2012.05.038 [91] 范德维格特，J.J.W。；Rhebergen，S.，hp-Multigrid as Smooter算法，用于对流主导流的高阶间断Galerkin离散。第二部分：Runge-Kutta平滑器的优化，J.Compute。物理。，231, 7564-7583 (2012) ·Zbl 1284.65130号 ·doi:10.1016/j.jcp.2012.05.037 [92] 范德维格特，J.J.W。；van der Ven，H.，无粘可压缩流动的动态网格运动时空间断Galerkin有限元法。I.通用公式，J.计算。物理。，182, 2, 546-585 (2002) ·兹比尔1057.76553 ·文件编号：10.1006/jcph.2002.7185 [93] 范德维格特，J.J.W。；Xu，Y.，非线性水波的时空间断Galerkin方法，J.Compute。物理。，224, 1, 17-39 (2007) ·Zbl 1117.76038号 ·doi:10.1016/j.jcp.2006.11.031 [94] 范德文，H。；van der Vegt，J.J.W.，无粘可压缩流动的动态网格运动时空间断Galerkin有限元法：II。有效通量求积，计算。方法应用。数学。，191, 41-42, 4747-4780 (2002) ·Zbl 1099.76521号 ·doi:10.1016/S0045-7825（02）00403-6 [95] Van Raalte，M.H。；Hemker，P.W.，用间断Galerkin方法离散对流扩散方程的两层多重网格分析，Numer。线性代数应用。，12, 5-6, 563-584 (2005) ·Zbl 1164.65451号 ·doi:10.1002/nla.441 [96] Versbach，L.M.，时空不连续Galerkin谱元方法的有效解算器（2022） [97] Versbach，L.M。；伯肯，P。；林德斯，V。；Gassner，G.J.，线性平流方程DG-SEM的时空多重网格法的局部傅里叶分析（2021） [98] 夏，Y。；刘，X。；罗，H。；Nourgaliev，R.，基于Hermite WENO重构的三阶隐式间断Galerkin方法，用于可压缩Navier-Stokes方程的时间精确解，国际期刊数值。《液体方法》，79，8，416-435（2015）·兹比尔1455.65185 ·doi:10.1002/fld.4057 [99] 亚诺，M。；Darmofal，D.L.，《各向异性单纯形网格自适应的基于优化的框架》，J.Compute。物理。，231, 22, 7626-7649 (2012) ·Zbl 1284.65127号 ·doi:10.1016/j.jcp.2012.06.040 [100] 张，Q。；Shu，C.-W.，对称守恒律系统Runge-Kutta间断Galerkin方法光滑解的误差估计，SIAM J.Numer。分析。，44, 4, 1703-1720 (2006) ·Zbl 1129.65062号 ·数字对象标识代码：10.1137/040620382 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。