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亚伦·伯特伦;迈克尔·塞迪斯

关于代数曲线对称乘积的量子上同调。 （英语） Zbl 1050.14052号

杜克大学数学。J。 108，第2期，329-362（2001）.
本文致力于研究光滑投影曲线（C）的第d次对称幂的（小）量子上同调环。考虑到实（3）流形的Seiberg-Witten-Floer上同调（C乘以S^1）和（C）适当的（d）次对称幂的（普通）上同调之间的同构，在量子上同调的背景下考虑这种变化特别有趣，其中指数（d）取决于自旋（C）Seiberg-Write理论中选择的（C\times S^1）结构[S.K.公司。唐纳森，公牛。美国数学。Soc.，新Ser。33，第1期，45–70页（1996年；Zbl 0872.57023号)]. 确实可以预期，对称幂（C_d）上的量子乘法对应于Seiberg-Witten-Floer上同调的自然乘积[S.Piunikhin公司,D.Salamon，D.萨拉蒙。和M.施瓦茨，in：接触和辛几何，Publ。牛顿研究所8171-200（1996；Zbl 0874.53031号)]. 在Donaldson的语言中，这种对应关系可以通过说（QH^*（C_d））是Seiberg-Write理论中量子范畴的基环来表示。
考虑到小量子上同调，本文的中心目标是（C_d）的亏格零点Gromov-Writed不变量。这些是通过代数几何方法计算的，即使用Brill-Noether理论的思想。更准确地说，Bertram和Thaddeus考虑了Abel-Jacobi映射{日语}_d（C） \）并查看纤维尺寸恒定的地层。然后利用Harris-Tu公式对这些地层的计数几何进行了研究，该公式用于确定变种的Chern数[J.哈里斯和L.Tu公司，发明。数学。75, 467–475 (1984;Zbl 0542.14015号)]，适用于\（\text）上合适的局部自由滑轮{日语}_d（C） \）。
作者得到的结果是多方面的和显著的；我们将在此处列出最相关的内容：
–根据量子上同调的一般理论，（C_d。
-确定了量子积中（q）和（q^2）系数的显式公式。
–设\（g\）为\（C\）的亏格。如果（d<g-1）和（e>（d-3）/（g-1-d）或如果（d>g-1）或（e>1），则量子乘积中的系数为零。“判别值”（d=g-1）特别有趣：它是一个相对版本的Aspinwall-Morrison计算，Gromov-Writed不变量用Calabi-Yau中的正规丛计算有理曲线[附言。Aspinwall公司和D.R.公司。莫里森、Commun。数学。物理学。151，第2期，245–262页（1993年；Zbl 0776.53043号)].
这些事实一起完全确定了在所有情况下\（C_d\）上的量子乘积，除了区间\（[（3/4）g，g-1）\中的\（d\）和\（QH^*（C_d）\）的表示，通过生成元和关系式得到了在较弱的低势\（d\）而不是在\（[（4/5）g-3/5，g-1））。这个演示是对经典麦克唐纳演示的变形（H^*（C_d））[I.G.公司。麦当劳《拓扑》1319–343（1962；Zbl 0121.38003号)]. 此外，在特定情况下\（C＝｛\mathbb P｝^1），\（QH^*（｛\mathbb P｝^1）_d）的Bertram-Thaddeus表示与\（QH^*（｛\mathbb P｝^d）\）的众所周知的表示一致。
论文的最后一部分描述了与Givental关于五次三重Gromov-Writed不变量的工作的类比[答：B。吉文塔尔，国际数学。Res.不。1996年，第13期，第613–663页（1996年；Zbl 0881.55006号)]. 重点是，Givental的等变Gromov-Writed不变量公式可以看作是射影丛中完全交集的Gromov-Write不变量的通用公式，如果（d\leq 2g-2），则（d\）次对称幂（C_d）可以自然地实现为a（{mathbb P}^{g-1}）中的完全交集-捆绑在\（\text上{日本}_{2g-1}（C）\）。
这篇论文还包含了对量子上同调的基本概念和曲线对称幂的经典代数几何的一个非常简洁的介绍，并通过一些准时的参考文献进行了丰富。
审核人：多梅尼科·菲奥伦萨（罗马）

引用于11文件

MSC公司：

14号35 Gromov-Writed不变量、量子上同调、Gopakumar-Vafa不变量、Donaldson-Thomas不变量（代数几何方面）
14H51型 曲线上的特殊因子（正方形，Brill-Noether理论）

关键词：

量子上同调;Gromov-Writed不变量;代数曲线的对称积;Brill-Noether理论

引文：

Zbl 0872.57023号;Zbl 0874.53031号;Zbl 0542.14015号;Zbl 0776.53043号;Zbl 0121.38003号;兹比尔0881.55006
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Bertram}和\textit{M.Thaddeus}，杜克数学。J.108，第2号，329--362（2001；Zbl 1050.14052）
全文： 内政部 arXiv公司

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