计算基本位字符串

发布时间：通过约翰

如果一个比特串不是一个较小比特串的多个副本的重复，则称其为基元。例如，101101不是原语，因为它可以分解为字符串101的两个副本。在Python表示法中，可以通过"101"*2另一方面，字符串11001101是基本的。（它包含非原始的子字符串，但字符串作为一个整体不能分解为单个字符串的多个副本。）

对于给定的n个，让我们计算长度有多少个基本位字符串n个。打电话给这个（f）(n个). 有2个n个长度的位串n个、和（f）(n个)这些是原始的。例如，有（f）（12） 长度为12的基本位字符串。非原语字符串由原语字符串的副本组成：两个长度为6的原语字符串副本，三个长度为4的原语串副本，等等。这表示

2^{12}=f（12）+f（6）+f

一般来说

2^n=sum_{d\midn}f（d）

这里的和是所有正整数的和d日那道鸿沟n个.

不幸的是，这个公式是落后的。它给出了一个众所周知的公式，2n个，作为我们试图计算的所有事情的总和。这个莫比乌斯反演公式这正是我们需要改变这个公式的地方，这样新事物就在左边，旧事物的总和就在右边。它告诉我们

f（n）=sum{d\midn}\mu\left（\frac{n}{d}\right）2^d

其中μ是Möbius函数。

我们可以计算（f）(n个)使用Python，如下所示：

来自sympy.theory import mobius，除数定义num_primitive（n）：返回和（mobius（n/d）*2**d用于除数（n）中的d）

SymPy的最新版本0.7.6带有一个函数莫比乌斯用于计算Möbius函数。如果您使用的是SymPy的早期版本，您可以使用自己的莫比乌斯功能：

来自sympy.theory进口保理商定义mobius（n）：指数=因子（n）.values（）lenexp=len（指数）m=0，如果lenexp==0 else max（指数）如果m>1，则返回0，否则返回（-1）**lenexp

的版本莫比乌斯SymPy 0.7.6附带的可能更高效。例如，如果发现平方因子，它可以提前停止因子分解过程。

相关的:应用数论

关于“计算基本位字符串”

  1. 乔·泰伯

    你也可以重新排列第一个公式，得到f（n）的递归公式。

    2^n=和{f（d），d|n}
    2^n=f（n）+和{f（d），d|n；d<n}
    f（n）=2^n-和{f（d），d|n；d<n}

    基本情况是素数n，其中f（n）只是2^n。

  2. 以下是SymPy代码：

    定义评估（cls，n）：如果n.is_integer：如果n.is_positive不为True：raise ValueError（“n应为正整数”）其他：引发TypeError（“n应为整数”）如果n.is_prime：返回S.NegativeOneelif n是S。一：返回S.Oneelif n.is_集成器：a=因子（n）如果有（对于a.values（）中的i，i>1）：返回S.Zeroreturn S.NegativeOne**长度（a）

    看起来效率不高。据我所知，SymPy的factorint（）不支持流因子。这将是一个有用的功能，尽管它只在处理素数因子非常大的数字时才起作用（例如，factorint（）中的算法在进入Pollard rho算法之前对素数进行了2^15的试探性除法）。

    SymPy函数的一个优点是它以符号方式工作，也就是说，您可以将符号值放入mobius（n）中，并对其进行操作，然后替换它们

  4. 约翰

    我认为您的mobius（）函数中有一个错误。

    mobius（12）应该为0，但代码返回1

    我认为它不应该查找min（指数），而应该只查找任何（指数>1）。

  7. 赖安

    几个月前，StackOverflow上有一个关于确定字符串是否原始的问题，但我找不到它。它基本上复制了字符串，并检查了它的所有循环模式，看看是否有重复的。不过，很容易找到他们的号码！

  8. http://oeis.org/A027375“长度为n的非周期二进制字符串的数量；以及基元周期为n的二进制序列的数量”
    0, 2, 2, 6, 12, 30, 54, 126, 240, 504, 990, 2046, 4020, 8190, 16254, 32730, 65280, 131070, 261576, 524286, 1047540, 2097018, 4192254, 8388606, 16772880, 33554400, 67100670, 134217216, 268419060, 536870910, 1073708010, 2147483646, 4294901760

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