关于Connell序列的推广
摘要：我们引入了Connell序列的一个推广这取决于两个参数: 模量米和连续行长度差第页。我们展示了它的关系使用多边形数，检查其极限行为，并找到一个表达式一般来说。
1.简介
1959年伊恩·康奈尔[1]介绍给公开了一个奇怪的序列，现在以他的名字命名
1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ...
(A001614号在中在线整数序列百科全书)，其中第一个奇数后面是接下来的两个偶数，然后是接下来的三个奇数，依此类推。
Lakhtakia和Pickover[3]安排了这个序列作为有限子序列的串联，
| 后续编号： |
子序列： |
| 1 |
1 |
| 2 |
2, 4 |
| 3 |
5, 7, 9 |
| 4 |
10, 12, 14, 16 |
| ... |
... |
其中n个第个子序列包含n个元素，最后一个是n个2.所以如果我们允许c（n）表示这个n个那么康奈尔序列的第个元素
哪里T型n个= n个(n个+ 1)/ 2表示n个第个三角形数。Lakhtakia和Pickover[3]用（1）表示
从而解释了Connell序列的极限行为。相同的作者指出（2）可以直接从的公式c（n）由Connell提供[1]
| c（n）=2n个-地板（（1+平方米( 8n个-7
)) / 2 ) . | (3) |
史蒂文斯
[4]定义了一个广义康奈尔k个-序列C类k个对于整数k>= 2（其中经典 康奈尔序列成为特例C类2).在本文中我们通过附加另一个参数进一步推广了Connell序列史蒂文斯的序列C类k.
2.带参数的广义Connell序列
对于固定整数米>=2 和第页>=1我们构造一个序列跟随:取第一个与1（mod）同余的整数米)（即1本身），然后是下一个1+第页与2（mod）同余的整数米), 然后是下一个1+2第页整数与3（mod）一致米), 等等。如果米=2和第页=1（最小可能的情况）我们有康奈尔序列。 这是正式的定义。
| 定义1：让米>=2和r>（r）=1 是整数。我们表示为C类m、 第页（n）这个n个第带参数广义Connell序列的项米和第页, 或者，简单地说康奈尔(
m，r）-序列.序列定义如下： 1.序列由串联子序列构成S公司1,S公司2,…，每个长度有限。 2.子序列S公司1 由元素1。 3.如果n个第个子序列S公司n个以元素结尾e（电子），然后是(n个+1） 第个子序列S公司n+1以元素开头e（电子）+1 . 4.如果S公司n个包括t吨 元素，然后S公司n+1包括t吨+第页元素。 5.每个子序列都不递减同一子序列中的两个连续元素是米.
|
序列C类k史蒂文斯的[4]是顺序C类 k、，1 . 何时(米，米) = ( 3 , 2 )我们获得C类3, 2
:
| n个 |
S公司n个 |
| 1 |
1 |
| 2 |
2, 5, 8 |
| 三 |
9, 12, 15, 18, 21 |
| 4 |
22, 25, 28, 31, 34, 37, 40 |
| ... |
... |
最后的元素1、8、21、40、，...在子序列中看起来是八角数字，E类n个= n个(3n个-2 ). 这个n个第个子序列S公司n个正好包含2n个-1个元素，来自标识1+3+...+(2n个-1) = n个2 我们获得
C类3,2(n个2) = E类n个.
正如康奈尔序列将三角数与正方形联系起来一样（见（1）），顺序C类3,2 关联正方形到八角数字。三角形数、正方形和八角形数字都是多边形数。
3.与多边形数的关系
| 定义2：对于整数k>= 3, 这个n个第个k-正方数是P（P）k(n个) = n个( (k-2)n个-k+ 4 ) / 2 . |
我们将证明广义Connell之间的关系序列和多边形数。考虑一下顺序C类m、 第页.通过归纳法（见定义1中的条件2和4），S公司n个 正好包含(n个- 1 )第页+1个元素。因此，要达到n个第个子序列S公司n个，我们必须准确计数
|S公司1| + |S公司2| + ... + |S公司n个| = P（P）第页+2(n个)
序列的元素C类m、 第页.因此的最后一个元素S公司n个是C类m、 第页(P（P）第页+2(n个) ) .因此S公司n个+1开始（参见条件定义1的第3条）C类m、 第页(P（P）第页+2(n个)）+1，和，自|S公司n个+1| =编号+1，结束时（见定义1的条件5）
元素C类m、 第页(P（P）第页+2(n个) ) + 1 +米(编号+ 1 ) .但最后一个元素也是可以表达的作为C类m、 对(P（P）第页+2(n个 + 1 ) ) .因此，假设归纳假说C类m、 第页(P（P）第页+2(n个) ) =P（P）先生+2(n个)，我们获得
C类m、 对(P（P）第页+2(n个 + 1 ) ) = P（P）先生+2(n个) + 1 +米(编号+ 1 ) = P（P）先生+2(n个+ 1 ) ,
因此通过归纳我们得到了所有正整数n个,
|
C类m、 第页(P（P）第页+2(n个) ) = P（P）先生+2(n个) .
| (4) |
（1） 是（4）的特例，当(米，第个) = ( 2 , 1 ).正如我们在第2节中所述，C类3,2(P（P）4(n个) ) =P（P）8(n个) .另一个示例如下所示C类3,1 (A033292号):
| n个 |
S公司n个 |
| 1 |
1 |
| 2 |
2, 5 |
| 3 |
6, 9, 12 |
| 4 |
13, 16, 19, 22 |
| ... |
... |
这里是五边形数字P（P）5(n个)=n个( 3n个-1）/2在每个子序列的末尾。
值得注意的是，由于所有元素第页，共页S公司n个与…一致n个（修订版米),我们获得了多边形数的以下性质:P（P）先生+2(n个)与…一致n个（修订版米).
4.限制行为
我们将决定的行为C类m、 第页(n个) /n个作为n个跟随拉克塔基亚和皮克沃走向无限[3],通过计算limn个
C类m、 第页(n个)/n个来自（4）。让n个成为正整数。有一个积极的j、，和一个固定的我这样的1<=我<=1 +瑞吉，用于其中n个=P（P）第页+2(j个) +我. 因此C类m、 第页(n个)属于子序列S公司j个+1.作为C类m、 第页(P（P）第页+2(j个)）是的最后一个元素S公司j个，我们有定义1和（4） C类m、 对(n个) = C类m、 第页(P（P）第页+2(j个) +我)
= C类m、 第页(P（P）第页+2(j个) ) + 1 + (我- 1 )米
= P（P）先生+2(j个) + 1 + (我- 1 )米。
因此，由于1<=i<=1+瑞吉和n个=P（P）第页+2(j个) +我我们有A<=Cm、 第页(n个) /n≤B哪里
A类=( P（P）先生+2(j个) + 1 ) /(P（P）第页+2(j个) + 1 +瑞吉),
B=(P（P）先生+2(j个) + 1 +jmr公司) / (P（P）第页+2(j个) + 1 ) .
回顾定义2，验证A类 和B类两者都收敛到极限米 作为j个趋向无穷大。因此
|
林n个 C类m、 第页(n个) /n=米。
| (5) |
5.直接公式
查找公式C类m、 第页(n个) 我们修改了Korsak的[2]证明（3）。定义顺序T型通过
T型(n个) = 锰-碳m、 第页(n个) .
我们假设n个>1并写入n个=P（P）第页+2(j个) +我确切地
如第4节所示。然后经过一些代数运算，我们发现T型(n个) = (j个+1 )(米- 1 ),所以j个+ 1 = T型(n个) / (米-1).自 n>=P第页+2(j个) + 1 ,
瑞吉2- (第页- 2)j个- ( 2n个- 2 ) <= 0,中的一个二次不等式j个这意味着
j个+ 1 <= ( 3第页-2+平方米（8第页(n个-1 )+ (第页- 2 )2) ) / 2k,
因此j个+1=地板（（3第页-2+平方米（8第页(n个-1 ) + (第页- 2 )2) ) / 2k) .
因此
T型(n个) = (米-1）地板（（3第页- 2+平方（8第页(n个-1 ) + (第页- 2 )2) ) /2k) ,
等等
|
C类m、 第页(n个) =纳米-(米-1）地板（（3第页-2+平方米（8第页(n个-1 ) + (第页- 2 )2) ) / 2k) .
| (6) |
工具书类
[1] 阿默尔。数学。每月,66，没有。8（1959年10月），724.初等问题E1382。
[2] 阿默尔。数学。每月,67，没有。4（1960年4月），第380页。初等问题E1382的解答。
[3]A.Lakhtakia和C.Pickover康奈尔序列J.娱乐数学。,v.25，no.2（1993），90-92。
[4]史蒂文斯， G.A类康奈尔顺序整数序列的J，v.1，条款98.1.4.
（与序列有关A001614号,A033292号,A045928号,A045929号,A045930型.)
1999年2月9日收到；发布于整数序列杂志,1999年3月16日。
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