本文的主要目的是定义和刻画有界变差随机场，即在有界变分函数空间中具有样本路径的随机场，并研究它们的平均总变差。基于确定性函数方向变化的已知公式，得到了随机场平均总方向变化的简单公式。还表明，具有平稳增量的随机场的平均变化与Lebesgue测度成正比，并且比例常数的表达式称为变化强度，已建立。该表达式特别表明，变化强度仅取决于平稳增量随机场的二维分布族。当限制为随机集时，所得结果给出了随机几何和数学形态学中著名公式的推广。通过计算几种经典平稳随机场和随机集模型的变化强度，即高斯随机场和偏移集、泊松散粒噪声、布尔模型、死叶模型和随机镶嵌，说明了这些一般结果的有趣之处。

我们给出了一大类多维随机模型的正概率无限增长的判据。作为副产品，我们恢复了具有移民过程的临界多类型Galton–Watson的复发和瞬态的必要和充分条件，并显著改善了多类型尺寸依赖Galton–Watson过程的一些结果。

我们考虑Erdős–Rényi图的时变模拟，并研究其关联团复合体的拓扑变化。图的动力学是平稳的，由边决定，边作为连续时间的马尔可夫链独立演化。我们的主要结果是，当边缘包含概率为对=n个^α，其中n个是顶点数和α∈（-1/k个, -1/(k个+1）），然后是归一化过程k个这些动态团复合体的第个Betti数弱收敛于Ornstein–Uhlenbeck过程，如下所示n个→∞.

给出了时间非齐次马尔可夫过程与诱导随机序函数类的比较结果。主要结果说明了两个过程的比较，前提是假设了它们的无穷小生成器的可比性以及一个过程的不变性。相应的证明是基于Banach空间中非齐次演化问题解的一个表示结果，它扩展了文献中已知的结果。基于这种表示，建立了由有界和无界函数类诱导的马尔可夫过程的排序结果。我们给出了时间非均匀扩散、独立增量过程和Lévy驱动扩散过程的各种应用。

二维布朗运动的首次通过时间（FPT）在定量金融中有许多应用。然而，尽管自20世纪60年代以来进行了各种尝试，但几乎没有可用的分析解决方案。通过求解无限楔形中的非齐次修正Helmholtz方程，我们找到了FPT的拉普拉斯变换的解析解；这些拉普拉斯变换可以在数值上反转。FPT问题导致了一类绝对连续但不具有无记忆性质的二元指数分布。我们还证明了当且仅当两个布朗运动之间的相关性为正时，FPT的绝对差密度趋于∞。

我们研究由发射机和接收机的泊松点过程组成的无线网络模型的大偏差原理。对于每个发射机，我们关联一系列可连接的接收机，其信噪比大于某个连接阈值。首先，我们展示了一个大偏差原理，用于经验测量与大盒子中发射机相关联的可连接接收机。其次，利用可连接到原点的接收器形成Cox点过程的观察结果，我们导出了当连接阈值趋于0时这些接收器的重标度过程的大偏差原理。最后，我们展示了如何将这些结果用于开发重要性抽样算法，以大幅降低某些罕见事件（例如用户无法连接）概率估计的方差。

在本文中，我们一致地近似了Cox–Ingersoll–Ross（CIR）过程的轨迹。在随机时间序列中，近似轨迹甚至是精确的。在两者之间，近似值将一致接近精确轨迹。从概念上看，该方法在路径意义上比在某些确定时间网格上对CIR动力学进行的标准甚至精确模拟提供了更好的近似质量。

本文的主题是从队列上的不完全数据估计M/G/∞队列的服务时间分布。目标是估计G公司通过在固定时间间隔上的规则网格点上观察队列长度过程。我们提出了一个估计器，并分析了它在一系列目标服务时间分布上的准确性。导出了最大风险的上界。还考虑了估计到达速率的问题。

我们研究了一个M/G/1型排队模型，该模型具有以下附加特征。即使没有服务要求，服务器也会以固定的速度持续工作。在后一种情况下，它正在积累库存，这可以解释为负工作量。在随机时间，强度ω(x)当库存处于水平状态时x>0，则删除当前库存，并立即将库存降至0。我们研究了ω情况下（正和负）工作量水平的稳态分布(x)为常数，ω(x) =一x关键工具是Wiener–Hopf因子分解技术。当ω(x)是恒定的，不会对服务需求分布做出具体假设。然而，在线性情况下，我们需要一些关于服务需求分布的Laplace–Stieltjes变换的代数假设。在整个论文中，我们还研究了一个与保险风险理论密切相关的模型。

本文研究了盈余过程为二次线性扩散过程的两个保险人之间的随机微分博弈。我们考虑一个退出概率博弈。一家保险公司控制其风险过程，以最小化盈余差在达到较高水平之前达到较低水平（表明该保险公司处于不利的盈余状态）的概率，而另一家保险人的目标是最大化概率。我们通过寻找显式形式的价值函数和纳什均衡策略来求解博弈。

我们详细描述了“从无限中下来”的速度，以描述最终灭绝的生死过程。在关于出生率和死亡率的一般假设下，我们首先确定大整数的连续击中次数的行为。根据过程的平均时间n个+1至n个与平均到达时间相比可以忽略不计n个从∞开始。在第一种情况下，从无穷大下来的速度很快，收敛性很弱。在第二种情况下，从无穷大逐渐下降，大数定律和击中时间序列的中心极限定理成立。通过一个反演过程，我们推断当时间变为0时，这个过程几乎肯定等价于一个非递增函数。我们的结果通过几个例子进行了说明，包括在种群动力学和种群遗传学中的应用。详细研究了死亡率有规律变化的特殊情况。

随机环境中的分支过程已被广泛研究并应用于人口增长系统，以模拟流行病、传染病、癌症肿瘤生长和社交网络流量的传播。然而，埃博拉病毒、结核病感染和禽流感的增长或变化速度在大流行期间的高峰时期随时间而变化，而在濒临灭绝时则以较低的速度增长或变化。我们提出的广义自回归条件环境中的分支过程为分支过程提供了一种新的方法，该方法允许这种时变随机环境以及峰值增长和近灭绝型速率的实例。我们用来说明模型的子分布包括广义泊松、二项式和负二项式积分值GARCH模型。我们建立了环境过程的条件，以保证平均子代数和环境过程的平稳性和遍历性，并提供了可从中导出其方差、自相关和互相关函数的方程。此外，我们还介绍了对这些过程至关重要的基本问题的结果，即生存-消亡二分法、生长行为、非确定消亡的必要和充分条件、亚临界和超临界状态之间相变的表征，以及每个阶段和临界状态下的生存行为。

本文研究随机测度的长期依赖性ℝ^d日通过实例，可以证明，为了一致地定义它，必须小心。因此，我们通过一个相当具体的二阶条件定义了长程相关性，并提供了一个涉及原点附近Bartlett谱的渐近行为的等效公式。然后表明，当附加各向同性假设成立时，定义条件的表述可能不那么严格。最后，我们给出了一个基于高斯随机场的0级漂移集的长程相关随机测度的例子，其中明确导出了相应的谱密度及其渐近性。

我们研究了随机点在d日-具有唯一长轴的三维椭球体。而不是只调查固定数量的n个点作为n个趋向于∞，我们考虑更一般的设置，其中随机点是适当定义的泊松过程的支持。我们的主要结果涵盖了均匀分布点的情况。