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在数学中,错误不是以前的样子。

计算机不能发明,但他们正在改变这个领域。

Vladimir Voevodsky刚坐在闪闪发光的桌子前,在Siobhan Roberts著名的学院里设宴款待。

Vladimir Voevodsky刚坐在闪闪发光的桌子上,在新泽西普林斯顿著名的高级研究所举行了一个晚宴,他翻倒了空酒杯,把碗倒在了茎上,把杯子放在Rim-A的信号上,让侍者说他不会吸。他并不总是那么节俭,但2013岁的Voevodsky正处于一些严肃的工作中。

该研究所成立于1930,被称为“数学和理论物理学的世俗殿堂”,是所有严谨的智力调查的中心。爱因斯坦的老房子就在拐角处。在停车场里,一辆汽车运动着一个蹩脚的保险杠贴纸,上面写着“不要相信你所想的一切”——这很可能直接针对沃沃茨基。因为在过去十年左右的一些专业的灵魂搜寻过程中,他开始意识到数学家的工作是5%个创造性洞察力和95%个自我验证。这只是在晚宴上发现的一个新的发现:他犯了一个大错误。


1966莫斯科的Orn,Voevodsky最初对数学产生了兴趣,因为他想了解物理学,后来因为他意外地爱上了抽象代数。他不喜欢学校的手续,不去上课,他说,他是从莫斯科大学来的。1989共产主义垮台后,他从没有从技术上完成本科数学学位。他建立了自己的资历和他的上级,即数学家Yuri Shabat和Misha Kapranov出版。他和Kapranov分享了开发新的高维对象和类别的数学的热情,他们在1990发表了一个重要的结果。

根据Kapranov的建议,Voevodsky发现自己被哈佛大学的研究所录取,甚至没有申请。他的1992篇博士论文标志着代数几何学中的一系列思想的开始,10年后他获得了菲尔德奖章,即所谓的诺贝尔数学奖。而在前一年,在2001,36岁的时候,他就成为了研究所的全职教授,最受尊敬的知识庇护所(1998岁以后成为一名长期会员)。

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但在路上他遇到了一个颠簸的道路。1998,美国数学家Carlos Simpson发表了一篇论文,指出在Voevodsky和卡普拉诺夫的1990个结果中可能存在错误。多年来,沃沃茨基仔细审查细节而没有取得很大进展。他仍然相信结果是正确的。然后,在2013秋天,树叶变颜色,夏天变为秋天,他取得了突破。各种各样的。他证实了错误。重要的结果不再那么重要了。

“这显然是错误的。主要定理是不正确的,“他说。“并不是说证据有一定的差距。主要定理显然是错误的。他解释说,这个错误是无法质疑显而易见的。“我们已经证明,在所有的疑难案件中,断言确实是正确的,但在简单的情况下证明是错误的。我们没有费心去检查。“在确认错误时,他在他的官方出版物列表中加了一个补遗”警告:Carlos Simpson的主要定理被证明是错误的。

但即使在清理问题和作出修改,更广泛的影响,使他不安。这个错误是在它被承诺的四分之一世纪之后被证实的。这是他第二次在出版的作品中发现错误。在一篇被广泛阅读和讨论并反复应用于不断发展的领域的论文中,又出现了另一个错误。幸运的是,这是一个较小的错误,很容易路由。Voevodsky通过构造一条不同的路径来修正所有有趣和重要的定理。

对大多数人来说,计算机只是一种工具,就像真空吸尘器。对我来说,它就像一个同事。

利润率不差,大约60篇论文中有两个错误。尽管如此,他还是觉得麻烦。这显然不是偶然的,正如Voevodsky自己很快注意到的那样,在谈到他在过去几年中被给予的至少十几次的困境时,他决心传达他的关心。这是一篇复杂的论文。这些报纸的读者基本上变得懒惰。“一个值得信赖的作者的技术论证,很难核实,看起来与已知的论点相似,几乎没有被详细地检查过。”

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“我非常担心,”他说。担心,害怕。在他确认错误的同时,他也在研究一些新的东西,并激发他称之为“2理论”的东西,类似于他和Kapranov一直在探索的高维数学。它在技术上是复杂的和创新的。但是他对追求它的热情消失了,因为没有办法知道他可能不会犯错误。而且,正如他刚刚了解到的,没有人会用任何勤奋来检查。这些忧虑扼杀了他的创造力。“我不再做好奇心驱使的研究。因为我的好奇心引导我的领域,价值和兴趣和美丽的领域,我没有工具去探索。

反正也不确定。根据Voevodsky自己对查证比率的洞察力,他每花一个小时花在一个想法上,他需要花19个小时来确保它是正确的。或更多。“洞察力越是原始,”他说,“以后自我验证就要付出更多的代价。”价格太高了。

Voevodsky决定,他唯一的方法是使用一个“证明助理”-一个计算机程序,将阻止他在错误的道路上走得太远。自2003以来,他就一直在研究计算机辅助数学形式化的前景。他说,这个错误对我来说就像一个小礼物,使我的论点更有力。

像他描述的那样,和一个证明助理一起工作有点像玩电子游戏。他在用电脑猛击。他指示它尝试这个,尝试他甚至可以指示它尝试一些已知的错误,只是为了看看会发生什么。“这是非常互动的,”他说。“这可能是有趣的,令人兴奋的,而且有点上瘾。”当他犯了一个错误时,他输入的所有断言,线条,线条和线条,在他眼前消失了(尽管他把工作保存在一个名为“剩饭”的文件里)。

这样,一旦Voevodsky证明了什么,他就知道这是真的。他不怀疑在争论中是否有任何错误,他不担心如何说服他的同事。证明助理提供了真实性的印记。


V奥沃茨基被认为是这一领域的先驱,但证明助理的概念已经存在了一段时间。第一个“Automath”的日期是1968。随着时间的推移,一个庞大的证明助手生态系统不断发展,各种各样的设置使得计算机被用作模仿传统数学的工具。计算机本质上是教人如何做数学,用公理编程,并要求用逻辑定律推导证明。

另一种方法是部署计算机,以寻求发现新的数学,新的方法和程序。例如,拉特格斯数学家多伦·泽尔伯格曾引用了他的合著者Shalosh B. Ekhad,他沿途用各种各样的电脑给他命名,他从20世纪80年代以来发表了大量论文。“对大多数人来说,”Zeilberger说,“计算机只是一个工具,就像真空吸尘器。”对我来说,这就像是一个同事。“他希望这种效果是革命性的。“传统数学是基于严格形式证明的概念,我认为这将是过时的,”他说。“我认为,既然计算机如此强大,它们就打开了新的前景,而如此严谨地证明一切的旧议程并不像以前那么激动人心。”

在发现的实际时刻,你实际上停止了思考。像艺术家一样,你连接到远远超出逻辑、思维和计算之外的东西。

然后还有纯粹主义者,老守卫。普林斯顿数学家约翰·何顿·康威说:“我对计算机的证明不感兴趣。”“我更喜欢思考。”他讽刺地说,他的官方头衔是由IBM赞助的应用和计算数学系的约翰·冯·诺依曼教授“我整天坐着计算,但我不使用电脑来做。”

考平是最著名的发现康威集团在数学对称,适当命名的超现实数,和细胞自动机游戏的生活。他热衷于娱乐数学,他热衷于四彩色地图定理,但在1976,它成为第一个定理证明的计算机在数学家Kenneth Appel和Wolfgang Haken的祈求和欢呼。纽约时报作为“一个主要的智力壮举”——他对结果不那么感兴趣,因为他本来可能不是这样。他也喜欢用Keple猜想来描述三维空间中球的最大密度,但是当Thomas Hales在1998使用线性规划求解时,康威就不满意了。对考平来说,电脑可以消除嗡嗡声。虽然他不是一个可以判断的人。他不介意别人使用电脑。“那不是我。”

不同的笔划:Doron Zeilberger(左)经常把他的电脑列为他的论文的合著者。另一方面,约翰·何顿·康威(右)认为计算机是一个嗡嗡叫的杀手。多伦·泽尔伯格/ Siobhan Roberts

历史上,纯粹主义者并不总是这样平静地看待这个问题。四色猜想的计算机证明引起了争议,大多数数学家拒绝接受它:计算机+数学= VBBOTEN。正如伯克利教授Edward Frenkel所说纽约时报Appel在2013去世时,“就像一个里程碑式的最高法院案,证据的遗产仍然感到和激烈辩论。”

广义地说,反对使用计算机的论点是对人类因素的损失的哀叹:直觉和理解。承认某事是真的,因为计算机说的和知道的不一样。为什么?这是真的。人们可能会认为,这类似于依靠互联网对威尼斯神秘事物的评论,而不是去那里,挥舞着水上的士,体验自己的魔力。但同样,同样的难题出现在以前的结果上,而不是从头开始工作。

“计算机是好的,通常比人们在设计的时候要好多了,”Frenkel说。爱与数学. “那就是计算……但是我们必须认识到数学研究不是数字或计算。它是关于发现事物之间的联系,这些事物似乎是脱节的,是关于看不可见的。可以仅通过计算实现。作为一个专业数学家,我可以告诉你数学发现是我们的洞察力。在实际的发现时刻,你实际上停止思考. 像艺术家一样,你连接到远远超出逻辑、思维和计算之外的东西。这就是数学的美。”

Voevodsky本人很小心地辨别计算机应该或不应该使用的各种方式。他说:“很多人不理解使用计算机进行计算、计算机生成的证明和计算机辅助的证明之间的区别。”“计算机生成的证据是很少教我们的证据。有一种正确的认识,如果我们走向计算机生成的证明,那么我们就失去了数学数学作为精神学科的全部好处,数学是帮助形成纯净心灵的东西。

更广泛的文化和实践如何发生错误是一个更大的路障威胁着数学的基础和未来。

但他说,计算机在数学中的应用将越来越被人们所接受。在计算和计算方面,特别是在未来的几代人中,如果公认的话,它已经相当普及了。弗兰克尔同意,使用计算机验证证据是一种预期和欢迎的趋势。由于高耸的数学企业达到了新的高度,具有更复杂和神秘的塔尖峰,每一个从业者钻研细节,即使在同一领域中也无法被同事理解,计算机将有必要推进企业,并验证结构的完整性——结构如此复杂,规模如此之大,以至于仅仅由人类裁判的裁决将不再可行。

Voevodsky进一步指出,证明助理的作用和计算机的使用通常超出了避免错误的孤立的实际事例。因为更广泛的文化和实践如何发生错误是一个更大的路障威胁着数学的基础和未来。错误可能是对对正确地证明某事真正涉及的东西的忽视。错误,他说,可以激励“直接声称不证明事实上没有做过的事情的不诚实。这是当今数学的一大力量。”

他认为:“没有人故意做得比一个人做的差。”但是,如果一个数学家必须在出版前选择,而不需要通过证据的所有细微差别,或出版后,允许竞争对手取得领先,那么诱惑就是逃避细节,牺牲证明的质量并出版。“然后,如果你读别人的论文,甚至更少的细节,你会想,‘如果这就是今天的正常情况,那么我就正常了,下一次写的细节就更少了。”然后,你的学生看着你的证明,然后知道事情是如何完成的,然后学生就完全诚实地思考他做的是正确的事情。“这是一个逐渐的滑倒——一个“标准的消解”。

此外,错误很少,如果有的话,启发性的。即使是考平,他喜欢炫耀这种奇特的错误,让别人看到他的不完美,但他抗议他从未遇到过任何形式或形式上的错误。Voevodsky驳斥了一个错误的观点,认为一个错误的数学转向可能就像在纽约迷路,偶然发现一个美丽的隐蔽花园。“嗯,首先你必须在曼哈顿,否则你会发现一些不太理想的东西。”

所以这些日子,Voevodsky在他的证明助手之间来回穿梭,严格地逐行地排列定义和定理,以及他用铅笔和纸更传统的努力,绘制图表和草拟想法。他说:“和一个证据助理一起工作,提醒我什么是真正的证据。”“当我用手写数学时,我又能提供更详细的证明。”每当他想抄近路说什么时,这个证明类似于那个证明。这很简单…这是显而易见的…他被迫问自己,在我可靠的证明助手的陪伴下,我是否能够逃脱如此不合理的推理?

“显然不是。”

Siobhan Roberts是一位多伦多作家。她的新书,游戏中的天才:约翰·何顿·康威的好奇心灵将于今年七月由Bloomsbury出版。

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