V（V） 拉迪米尔·沃沃德斯基（ladimir Voevodsky）刚坐在闪闪发光的桌子旁，准备在新泽西州普林斯顿著名的高等研究院（Institute for Advanced Study）举行晚宴，就打翻了空酒杯，把酒杯翻转到杯柄上，并把酒杯放在杯沿上，这向服务员发出了一个信号：他不会喝醉了。 他并不总是那么节制，但2013年秋天，Voevodsky正在进行一些严肃的工作。
该研究所成立于1930年，被称为“数学和理论物理的地球殿堂”，是各种严格的智力研究的中心。 爱因斯坦的老房子就在拐角处。 在停车场，一辆汽车的保险杠上贴着一张书呆子的贴纸，上面写着“不要相信你想的一切”——这很可能是直接针对沃沃德斯基的。 因为在过去十年左右的专业灵魂探索过程中，他意识到数学家的工作是5%的创造性洞察力和95%的自我验证。 晚宴期间的一项最新发现进一步证实了这一点：他犯了一个大错误。
B类 1966年出生于莫斯科的沃沃德斯基对数学产生了浓厚的兴趣，最初是因为他想理解物理，后来因为他意外地爱上了抽象代数。 他不喜欢学术界的礼节，也忽视了上课，就像他所说的，他被莫斯科国立大学“土生土长”了。 1989年共产主义倒台后，他从技术上从未完成过他的本科数学学位，这并不重要。 他与他的上级，即数学家尤里·沙巴特（Yuri Shabat）和米沙·卡普兰诺夫（Misha Kapranov）一起工作和出版，建立了自己的资历。 他和卡普兰诺夫都热衷于发展新的更高维对象和类别的数学，并于1990年发表了一项重要成果。
考虑到卡普拉诺夫的建议，沃沃德斯基发现自己被哈佛大学的研究生录取了，甚至没有申请过。 他1992年的博士论文标志着代数几何一系列思想的开始，10年后，他获得了菲尔兹奖，即所谓的诺贝尔数学奖。 而在前一年，即2001年，在他36岁的时候，他成为了该研究所的全职教授，该研究所是最受尊敬的学术圣地（自1998年以来一直是该研究所长期成员）。
但在路上他遇到了一个颠簸。 1998年，美国数学家卡洛斯·辛普森发表了一篇论文，指出沃沃德斯基和卡普兰诺夫1990年的结果可能存在错误。 多年来，沃沃德斯基一直在仔细研究细节，但没有取得多大进展。 他仍然相信结果是正确的。 然后，在2013年秋季，随着树叶变色，夏天让位给了秋天，他取得了突破。 差不多吧。 他确认了错误。 重要的结果不再那么重要了。
“这显然是错误的。主要定理是错误的，”他说。 他解释道：“并不是证明中有一些漏洞。而是主要定理显然是错误的。”错误在于没有质疑显而易见的事实。 “我们已经证明，一个断言在所有困难的情况下都是正确的，但在简单的情况下却被证明是错误的。我们从来没有费心去检查。”在确认错误时， 他在其官方出版物列表中的原始引文中添加了一个补遗——“警告：卡洛斯·辛普森（Carlos Simpson）证明本文的主要定理是错误的。”
但即使是在解决问题和作出赔偿时，更广泛的影响也让他感到不安。 这一错误在犯下四分之一个世纪后得到了证实。 这是他第二次在发表的作品中发现错误。在一篇被广泛阅读和讨论并在不断发展的领域中反复应用的论文中，出现了另一个错误。 幸运的是，这是一个较小的错误，很容易路由。 Voevodsky通过构建一条不同的路径来修正所有同样有趣和重要的定理。
对大多数人来说，电脑只是一种工具，就像吸尘器一样。 对我来说，它就像一个同事。
利润率不错，大约60篇论文中有两处错误。 尽管如此，他还是感到不安。 沃沃德斯基本人很快就注意到，这显然不是一场意外，在一次关于他在这几年中至少遇到了十几次困境的演讲中，他决心表达自己的担忧。 这是一篇复杂的论文。 这些报纸的读者基本上变得懒惰了。 “一个可信作者的技术论点很难检查，而且看起来与已知的正确论点相似，几乎从未被详细检查过。”
在大尺度上，数学的含义是什么？
“我很担心，”他说。 担心，害怕。 大约在他确认错误的同时，他也在研究一些新的、令人兴奋的东西，他称之为“二元理论”，类似于他和卡普兰诺夫一直在探索的高维数学。这在技术上是复杂的、创新的。 但他追求梦想的热情消失了，因为他无法知道自己可能不会犯错误。 而且，正如他刚刚了解到的那样，没有人会认真检查。 这些担忧扼杀了他的创造力。 “我不再做由好奇心驱动的研究。因为我的好奇心引导我去的领域，价值、兴趣和美丽的领域，我没有工具去探索。”
无论如何，这一点也不确定。 根据Voevodsky自己的洞察力与验证率，他每花一个小时在一个想法上，就需要花19个小时来确保它是正确的。 或更多。 “见解越新颖，”他说，“在以后的自我验证中就越需要付出代价。”。
沃沃德斯基决定，他唯一能继续进行的方法是雇佣一名“校对助理”，这是一种电脑程序，可以防止他在错误的道路上走得太远。 自2003年以来，他一直在研究计算机辅助数学形式化的前景。 他说，这个错误“就像是给我的一个小礼物，让我的论点更加有力。”
正如他所描述的那样，与校对助理一起工作的经历有点像玩电子游戏。 他正在和电脑比赛。 他指示它尝试这个，尝试那个，甚至可以指示它尝试已知错误的东西，只是为了看看会发生什么。 他说：“这是非常互动的。”。 “这可能很有趣、很刺激，而且有点上瘾。”当他犯错误时，他输入的所有断言，行和行，都会在他眼前消失（尽管他将工作保存在一个名为“剩菜”的文件中）。
这样一来，一旦沃沃德斯基证明了一些事情，他就确信这是真的。 他不怀疑争论中是否有任何错误，也不担心如何说服同事。 校对助理提供真实性印章。
V（V） 欧沃茨基被认为是这一领域的先驱，但证据助理的概念已经存在了一段时间。 第一个是1968年的“自动化”。 随着时间的推移，一个庞大的校对助手生态系统逐渐形成，有无数种设置，计算机被用作模拟传统数学的工具。 计算机本质上是教人如何做数学，用公理编程，并要求用逻辑定律推导证明。
另一种方法是部署计算机以寻求全新的数学、新方法和程序。 例如，罗格斯大学数学家多伦·泽尔伯格（Doron Zeilberger）引用了他的合著者沙洛什·B·埃哈德（Shalosh B.Ekhad）的名字，他给自己的各种计算机起了一个名字，自20世纪80年代以来发表了许多论文。 “对大多数人来说，”泽尔伯格说，“电脑只是一个工具，就像吸尘器。对我来说，它就像一个同事。”他希望它的效果是革命性的。 他说：“传统数学是基于严格形式证明的概念，我认为这将是过时的。”。 “我认为，由于计算机功能如此强大，它们开辟了新的前景，而证明一切如此严格的旧议程并不像以前那样令人兴奋。”
在发现的实际时刻，你实际上停止了思考。 像一个艺术家一样，你与一些远远超出逻辑、思维和计算的东西联系在一起。
还有纯粹主义者，老保守主义者。 普林斯顿大学数学家约翰·霍顿·康韦（John Horton Conway）表示：“我对计算机证明不感兴趣。”。 “我更喜欢思考。”他指出，具有讽刺意味的是，他的官方头衔是IBM赞助的约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）应用和计算数学教授——“我整天坐在那里计算，但我不使用电脑。”
康威以发现数学对称的康威群、得名的超现实数字和细胞自动机生命游戏而闻名。 他酷爱娱乐数学，热衷于四色图定理，但1976年，在数学家肯尼思·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）的要求下，它成为计算机证明的第一个定理，并于 《纽约时报》 作为“一项重大的智力成就”，他对结果并不像其他人那样感兴趣。 他也喜欢修改开普勒关于在三维空间中填充球体的最大密度的猜想，但1998年托马斯·海尔（Thomas Hales）用线性规划解决了这个问题，康威对此感到不满。 对康威来说，电脑扼杀了喧嚣。 虽然他不是一个评判者。 他不介意别人使用电脑。 “这不是我。”
不同冲程： Doron Zeilberger（左）经常将他的电脑列为论文的合著者。 另一方面，约翰·霍顿·康韦（右）则认为计算机是一种时尚杀手。 Doron Zeilberger/Siobhan Roberts 历史上，纯粹主义者并不总是如此冷静地看待这个问题。 四色猜想的计算机证明引起了争议，大多数数学家拒绝接受它：计算机+数学=冗余。 正如伯克利大学教授爱德华·弗兰克尔所说 《纽约时报》 2013年阿佩尔去世后，“就像一个里程碑式的最高法院案件一样，证据的遗产仍然存在，并引发了激烈的辩论。”
从广义上讲，反对使用计算机的论点是对失去人类要素：直觉和理解的哀悼。 因为电脑这么说而承认某件事是真的并不等同于知道 为什么？ 这是真的。 有人可能会认为，这类似于依赖互联网上对威尼斯奥秘的综合评论，而不是去那里挥霍水上出租车，亲身体验神奇。 但是，同样的难题也出现在基于以前的结果而不是从头开始的工作中。
《计算机》的作者弗兰克尔说：“计算机很好，通常比人类要好得多，因为它们的设计初衷是这样的。” 爱与数学 “这就是计算……但我们必须认识到，数学研究不是关于数字或计算。它是关于寻找看似断开的事物之间的联系，是关于看不见的事物。这可以 不 仅通过计算即可实现。 作为一名专业数学家，我可以告诉你，数学发现对我们来说是一种洞察力。 在发现的实际时刻，你实际上 停止思考 像艺术家一样，你连接到的东西远远超出了逻辑、思维和计算。 这就是数学的美。”
沃沃德斯基本人也很小心地区分计算机应该或不应该使用的各种方式。 “许多人不理解使用计算机进行计算、计算机生成的证明和计算机辅助证明之间的区别，”他说。 “计算机生成的证明是很少教给我们的证明。人们有一种正确的看法，即如果我们采用计算机生成的证据，那么我们就会失去数学中的所有优点——数学是一门精神学科，数学是有助于形成纯粹心灵的东西。”
错误发生的更广泛文化和实践是威胁数学基础和未来的更大障碍。
但他说，渐渐地，计算机在数学中的应用被认为是不可避免的。 在计算和计算方面，特别是在未来几代人中，它已经相当普遍，即使没有得到充分承认。 Frenkel同意这一观点，并表示使用计算机验证证据是一种预期的趋势，也是一种受欢迎的趋势。 随着高耸入云的数学事业达到新的高度，伴随着更为复杂和神秘的塔楼峰顶，每个从业者都深入到即使是同一领域的同事也无法理解的细节中，计算机将是推动企业发展的必要条件， 鉴定结构的完整性&一个细节如此复杂、规模如此庞大的结构，仅靠人工裁判进行裁决将不再可行。
Voevodsky甚至更进一步，他认为证明助手的作用以及计算机的使用，超出了避免错误的孤立实际情况。 因为更广泛的错误发生文化和实践是威胁数学基础和未来的更大障碍。 错误可能是对正确证明某事所涉及的真正内容的某种忽视的表现。 他说，错误可以激发“直接的不诚实行为，即声称已经证明了某些事情，而实际上并没有做到。这是当今数学中的一股强大力量。”
他认为：“没有人会故意做得比自己做得差。”。 但是，如果一位数学家必须在不仔细研究证明的所有细微差别的情况下尽早出版，或者在稍后出版和允许竞争对手领先之间做出选择，那么诱惑就是忽略细节，牺牲证明的质量，然后立即出版。 “然后，如果你读了别人的论文，而其中的细节更少，你会想，‘好吧，如果这是今天的正常情况，那么我就正常了，下次再写更少的细节。’ 你的学生看了你的证明，知道事情就是这样做的，然后他绕了一圈，诚实地认为自己做的是对的。 “这是一个逐渐下滑的过程，是“标准的瓦解”。证明助理将数学家推向了另一个方向。
此外，即使有错误，也很少有启发性。 即使是康威，他喜欢到处炫耀自己的错误，让别人看到他的不完美，他也抗议说，他从未遇到过任何形式或形式的有利错误。 沃沃德斯基驳斥了这样一种观点，即错误的数学转向可能就像在纽约市迷路，在一个宏伟的隐藏花园里绊倒一样。 “好吧，首先你必须在曼哈顿，否则你可能会发现一些不太理想的东西。”
因此，这些天，Voevodsky在他的证明助手之间来回奔波，一行一行地严格地列出定义和定理，以及他用铅笔和纸画图表和勾画想法的更传统的努力。 他说：“与校对助理一起工作，提醒了我什么是真正的校对。”。 “当我用手写写数学时，它使我重新能够提供更详细的证明。”每当他想用捷径说出这样的话时， 这一证明与那一证明类似 或 这很简单… 或 这很明显… -他不得不问自己， 在我可靠的助手的陪伴下，我能摆脱这种不可靠的推理吗？
“显然不是。”
Siobhan Roberts是一位以多伦多为基地的作家。 她的新书， 天才在发挥：约翰·霍顿·康威的好奇心， 将于今年7月由Bloomsbury出版。
