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Weierstrass椭圆函数

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Weierstrass椭圆函数（或WeiersstrassP（P）-函数，浊音“第页-函数”）是椭圆函数，与雅可比椭圆函数，具有二阶极在z=0。要指定P（z）完全，它的一半周期(ω_1和ω_2)或椭圆不变量(第二代和g3级)必须指定。表示这两种情况P（z |ω_1，ω_2）和P（z；g_2，g_3）分别是。

Weierstrass椭圆函数在Wolfram语言作为Weierstrass公司[u个,{第二组,第三组}].半周期和不变量可以使用沃尔夫拉姆语言命令Weierstrass不变量[{欧米伽1,欧米伽2}]和Weierstrass半期[{第二组,第三组}].Weierstrass椭圆函数的导数实现为Weierstrass-Prime公司[u个,{第二组,第三组}],逆Weierstrass函数实现为逆WeierstrassP[第页,{第二组,第三组}].逆WeierstrassP[{第页,q个},{第二组,第三组}]找到的唯一值u个对于其中p=p（u；g_2，g_3）和q=P^'（u；g_2，g_3）.

WeierstrassP公司

上面的图显示了Weierstrass椭圆函数P（z；g_2，g_3）及其衍生物P^'（z；g_2，g_3）对于椭圆形不变性 g_2=4和g_3=0沿着实轴.

WeierstrassPReIm公司WeierstrassP本体WeierstrassPPrimeReIm公司WeierstrassP基本等高线

上面的图显示了WeierstrassP（P）-函数及其导数椭圆形不变性 （g2，g3）=（4,0）.

具体案例椭圆不变量 第二代和g3级给出了下表中总结的特殊名称（Abramowitz和Stegun1972). The real half-period in the等交比的案例被称为欧米茄2-常数.

第二代g_3案例名称
01等交比的案例
10柠檬状病例
-10假柠檬酸盐案例

Weierstrass椭圆函数定义为

P（z）=1/（z^2）+和^’_（m，n=-infty）^系数[1/（（z-2momega_1-2nomega_2）^2）-1/（（2momega_1+2nomega_）^2
（1）

（Whittaker和Watson 1990年，第434页），其中质数表示省略了分母为零的和中的项。写入欧米伽_（mn）=2momega_1+2nomega_2。然后可以写下

P（z）=z^（-2）+总和^'_（m，n）[（z-Omega_（mn））^（-2]）-Omega（mn。
（2）

收敛速度更快的等效定义是

P（z）=（pi/（2omega_1））^2[-1/3+sum_（n=-infty）^inftycsc^2
(3)

（Whittaker和Watson，1990年，第434页）。P（z）是一个偶数函数自从P（-z）以不同的顺序给出了相同的术语。

的系列扩展P（z）由提供

P（z）=z^（-2）+sum_（k=2）^inftyc_kz^，
(4)

哪里

c_2型=（g2）/（20）
(5)
碳三=（g3）/（28）
(6)

和

ck=3/（（2k+1）（k-3））和（m=2）^（k-2）cmc（k-m）
(7)

对于k> =4（Abramowitz和Stegun，1972年，第635页）。的前几个值c_k（k）对于k> =4依据c_2型和碳三由提供

碳四=1/3c_2^2
(8)
碳五=1/（11）（3c2c3）
(9)
碳六=1/（39）（2c_2^3+3c_3^2）
(10)
碳七=2/（33）c_2^2c_3
(11)
碳八=5/（7293）（11c_2^4+36c_2c_3^2）
(12)
抄送9=（29）/（2717）（c2^3c3+11c3^3）
(13)
c（10）=1/（240669）（242c_2^5+1455c_2^2c_3^2）
(14)

（Abramowitz和Stegun，1972年，第636页）。

Weierstrass椭圆函数描述了如何从圆环体给出一个椭圆曲线到代数形式椭圆曲线.

Weierstrass椭圆函数产生的微分方程可以通过展开函数的原点来找到f（z）=P（z）-z^（-2）.

P（z）-z^（-2）=f（0）+f^'（0）z+1/（2！）f^。。。。
(15)

但是f（0）=0函数是偶数，所以f^'（0）=f^（“”）（0）=0和

f（z）=P（z）-z^（-2）=1/（2！）f^（''）（0）z^2+1/。。。。
（16）

取导数

f^'=-2西格玛^'（z-Omega_（mn））^（-3）
(17)
f^（“”）=6西格玛^'（z-Omega_（mn））^（-4）
(18)
f^（“”）=-24西格玛^'（z-Omega_（mn））^（-5）
(19)
f^（（4））=120西格玛^'（z-Omega_（mn））^（-6）。
(20)

所以

f^（“”）（0）=6西格玛^欧米茄_（mn）^（-4）
(21)
f ^（（4））（0）=120西格玛^欧米茄_（mn）^（-6）。
(22)

接通电源，

P（z）-z^（-2）=3Sigma^'欧米茄_（mn）^。
(23)

定义椭圆不变量

第二代=60西格玛^欧米茄_（mn）^（-4）
(24)
g3级=140西格玛^欧米茄_（mn）^（-6），
(25)

然后

P（z）=z^（-2）+1/（20）g_2z^2+1/（28）g_3z^4+O（z^6）
（26）
P^'（z）=-2z^（-3）+1/（10）g_2z+1/7g_3z^3+O（z^5）。
(27)

现在立方体(26)和正方形(27)

P^3（z）=z^（-6）+3/（20）g_2z^
(28)
P^'^2（z）=4z（-6）-2/5g_2z（-2）-4/7g_3+O（z^2）。
(29)

拍摄(29)减去4×(28)取消z^（-6）条款，给予

P^'^2（z）-4P^3（z）=（-2/5-3/5）g_2z^（-2）+（-4/7-3/7）g_3+O（z^2）
（30）
=-g_2z^（-2）-g_3+O（z^2）
(31)

给

P^'^2（z）-4P^3（z）+g_2z^（-2）+g_3=O（z^2）。
(32)

但是，从(◇)

P（z）=z^（-2）+1/（2！）f^（''）（0）z^2+1/4f^。。。，
(33)

所以P（z）=z^（-2）+O（z^2）和(◇) 可以写入

P^'^2（z）-4P^3（z）+g_2P（z）+g_3=O（z^2）。
(34)

但Weierstrass椭圆函数在原点是解析函数，因此在所有点都与原点一致。没有其他地方有奇点可能发生，因此此函数是椭圆函数没有奇点.签署人刘维尔的椭圆函数定理，因此它是一个常量。但作为z->0,O（z^2）->0，所以

P^'^2（z）=4P^3（z）-g_2P（z）-g_3
(35)

（Whittaker和Watson，1990年，第436-437页）。

微分方程的解

y^'^2=4y^3-g_2y-g_3
(36)

因此，由y=P（z+α），提供该数字ω_1和ω_2满足定义椭圆形不变性.根据微分方程的根编写微分方程电子1,电子2、和电子3,

y^'^2=4y^3-g_2y-g_3=4（y-e_1）（y-e_2）（y-e_3）
(37)

（Rainville 1971年，第312页），

2ln（y^'）=ln4+sum_（r=1）^3ln（y-r）
(38)
（2y^（''））/（y^'）=y^’sum_（r=1）^3（y_r）^（-1）
(39)
（2y^（''））/（y^'^2）=sum_（r=1）^3（y_r）^（-1）
(40)
2（y^'^2y^（''）-y^
(41)
（2y^（''））/（y^'^3）-（4y^[''）^2）/（y^'^4）=-sum_（r=1）^3（y_r）^（-2）。
(42)

现在接受(◇) 除以4加[(◇) 除以4]数量的平方，

（（y^（''））/（2y^'^3）-（y^2（''）^2）/（y^''^4））+（y^2'）/（4y^4'））=-1/4sum_（r=1）^3（y_r）^（-2）+1/（16）[总和_（r=1）^3
(43)
（3y^（''）^2）/（4y^'^4）-（y^[''））/（2y^''^3）=3/（16）总和_（r=1）^3（y_r）^（-2）-3/8副产品_（r=1）^3。
(44)

右边的术语是施瓦西（Schwarzian）导数.

这个导数Weierstrass椭圆函数的由提供

P^'（z）=d/（dz）P（z）
(45)
=-2sum_（m，n）1/（（z-Omega_（mn））^3）
(46)
=-2z^（-3）-2sum^'_（m，n）（z-Omega_（mn））^（-3.）。
(47)

这是一个奇函数它本身是一个极点为3的椭圆函数z=0. The积分由提供

z=int_（P（z））^系数（4t^3-g_2t-g_3）^（-1/2）dt。
(48)

二阶导数满足

P^（''）（1/2兆_1）=2（e_1-e_2）（e_1-e_3）
(49)

（《使徒行传》1997年，第23页）。

复制公式如下。

P（2赫兹）=lim_（y->z）P（y+z）=1/4 lim_
(50)
=1/4lim_（h->0）[（P（z）-P^'（z+h））/（P（z）-P（z+h））]^2-2P（z
(51)
=1/4{[lim_（h->0）（P^'（z）-P^'（z+h
（52）
=1/4[（P^（''）（z））/（P^'（z）]^2-2P（z）
(53)

（《使徒行传》1997年，第24页）。

一般加法定理如下所示。鉴于

P^'（z）=AP（z）+B
(54)
P^'（y）=AP（y）+B
(55)

零年和z（z）哪里z≢+/-y（mod 2omega_1,2omega_2），找到第三个零泽塔.考虑P^'（zeta）-AP（zeta，zeta）-B.这有一个三级磁极zeta=0，但零之和(=0)等于椭圆形功能，所以z+y+zeta=0和zeta=-z-y.

P^'（-z-y）=AP（-zy-y）+B
(56)
-P^'（z+y）=AP（z+y）+B。
(57)

组合(◇), (◇), 和(◇) 给予

[P（z）P^'（z）1；P（y）P^'（y）1；P+y）-P^'（z+y）1][A；-1；B]=[0；0；0]，
(58)

所以

|P（z）P^'（z）1；P（y）P^'（y）1；P（z+y）-P^'（z+y）1|=0。
(59)

定义u+v+w=0哪里u=z和v=y给出了对称形式

|P（u）P^'（u）1；P（v）P^'（v）1；P（w）P^'（w）1|=0
(60)

（Whittaker和Watson 1990年，第440页）。要显式获取表达式，请再次从开始

P^'（zeta）-AP（zeta，zeta）-B=0，
(61)

哪里zeta=z，y，-z-y.

P^'^2（zeta）-[AP（zeta，zeta）+B]^2=0。
（62）

但是来自(◇),P^（'2）（zeta）=4P^3（zeta，所以

4P^3（zeta）-A^2P^2（zeta。
(63)

解决方案P（zeta）=z由提供

4z^3-A^2z^2-（2AB+g_2）z-（B^2+g_3）=0。
(64)

但根的总和等于系数的平方项，所以

P（z）+P（y）+P（z+y）=1/4A^2
(65)
P^'（z）-P^'（y）=A[P（z）-P（y）]
(66)
A=（P^'（z）-P^'（y））/（P（z）-P（y）
(67)
P（z+y）=1/4[（P^'（z）-P^'（y））/（P（z）-P（y）]
(68)

（Whittaker和Watson，1990年，第441页）。

半周期恒等式包括

x个=P（1/2兆_1）
(69)
=P（-homega_1+omega_1）
(70)
=e_1+（（e_1-e_2）（e_1-e_3））/（P（-1/2omega_1）-e_1）
(71)
=e1+（（e1-e2）（e1-e_3））/（x-e1）。
(72)

乘法运算，

x^2-e_1x=e_1x-e_1^2+（e_1-e_2）（e_1-e_3）
(73)
x^2-2e_1x+[e_1^2-（e_1-e_2）（e_1-e_3）]=0，
(74)

它给出了

P（1/2兆_1）=1/2{2e_1+/-平方（4e_1^2-4[e_1^2-（e_1-e_2）（e_1-e_3）]）}
(75)
=e_1+/-sqrt（（e_1-e_2）（e_1-e_3））。
(76)

摘自Whittaker和Watson（1990年，第445页），

P^'（1/2omega_1）=-2sqrt（（e_1-e_2）（e_1-e_3））。
(77)

功能是同种类的,

P（lambdaz|lambdaomega_1，lambdaomega_2）=lambda^（-2）P（z|omega_1，omega_2）
（78）
P（λ达斯；λ^（-4）g_2，λ^（-6）g_3）=λ^_（-2）P（z；g_2，g_3。
(79)

要反转函数，请找到2亿_1和2亿2属于P（z |ω_1，ω_2）当给出时P（z；g_2，g_3）.让电子1,电子2、和电子3成为这样的根（e_1-e_2）/（e_1-e_3）不是真实的数 >1或<0.确定半衰期比率 陶从

（e1-e2）/（e1-e_3）=（θ_4^4（0|tau））/。
(80)

现在选择

A=（sqrt（e_1-e_2））/（θ_4^2（0|tau））。
(81)

只要g_2^3=27克3，则周期为

2omega_1=piA
(82)
2omega_2=（皮图）/A。
(83)

Weierstrass椭圆函数可以表示为雅各比椭圆函数通过

P（u；g_2，g_3）=e_3+（e_1-e_3）ns^2（usqrt（e_1-e_3），sqrt（（e_2-e_3）/（e_1-e_3）），
(84)

哪里

P（ω_1）=电子1
(85)
P（ω_2）=电子2
(86)
P（ω_3）=-P（-omega_1-omega_2）=e_3，
(87)

和椭圆不变量是

第二代=60和（m，n）欧米茄（mn）^（-4）
(88)
g3级=140（m，n）欧米茄（mn）^（-6）。
(89)

在这里，欧米伽_（mn）=2momega_1-2nomega_2.

Weierstrass椭圆函数的加法公式可以推导如下（Whittaker和Watson 1990，第444页）。

P（z+omega_1）+P（z）+P。
(90)

使用

P^（'2）（z）=4product_（r=1）^3[P（z）-e_r]，
(91)

所以

P（z+ω_1）=-P（z）-e_1+1/4（4产品_（r=1）^（3）[P（z）-e_r]）/（[P（z）-e_1]^2）
（92）
=-P（z）-e_1+（[P（z）-e_2][P（z）-e_3]）/（P（z）-e_1）。
(93)

使用sum_（r=1）^（3）e_r=0,

P（z+ω_1）=e_1+（[-2e_1-P（z）][P（z）-e_1]）/（P（z
(94)
=e_1+（-P（z）（e_1+e_2+e_3）+e_2e_3+2e_1^2）/（P（z）-e_1）。
(95)

但是sum_（r=1）^（3）e_r=0和

2e_1^2+e_2e_3=e_1 ^2-e_1（e_2+e_ 3）+e_2_3=（e_1-e_2）（e_1-e_3），
(96)

所以

P（z+omega_1）=e_1+（（e_1-e_2）（e_1-e_3））/（P（z）-e_1）。
(97)

Weierstrass椭圆函数的周期如下所示。何时第二代和g3级是真实的和g_2^3-27g_3^2>0，然后电子1,电子2、和电子3是真实的并定义为那个e1>e2>e3.

ω_1=int（e1）^系数（4t^3-g2t-g3）^（-1/2）dt
(98)
ω-3=-iint_（-infty）^（e3）（g3+g2t-4t^3）^
(99)
ω_2=-欧米茄1-omega_3。
(100)

Weierstrass椭圆函数的根满足

e_1=P（ω_1）
(101)
e_2=P（ω_2）
(102)
e_3=P（ω_3），
（103）

哪里ω_3=-ω_1-omega_2.这个电子墨水秒是根属于4t^3-g_2t-g_3和不相等，因此e_1=e_2=电子3它们可以从关系中找到

e_1+e_2+e_3=-a_2=0
(104)
e2e_3+e3e_1+e1e_2=a1=-1/4g2
(105)
e_1e_2e_3=-a0=1/4克3。
(106)

另请参见

椭圆曲线,椭圆函数,艾森斯坦级数,椭圆形不变式,等谐波情况,半周期,半周期比率,雅各比椭圆函数,Lemnicate手机壳,欧米茄2常量,伪柠檬酸盐案例,Weierstrass Sigma函数,魏尔斯特拉斯Zeta函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassP/,http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassPPrime/,http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassHalfPeriods网站/,http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/InverseWeierstrassP/

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《Weierstrass椭圆函数及相关函数》第18章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第627-6711972页。阿波斯托·T·M·。“魏尔斯特拉斯P（P）函数，“P（P）在原点附近，满足“”微分方程通过P（P）,"“艾森斯坦级数和不变量第二代和g3级，“”数字电子1,电子2、和电子3“和”歧视者三角洲“§1.6-1.11英寸模块化数论中的函数和狄里克莱级数，第二版。纽约：Springer-Verlag，第9-14页，1997年。勃列日涅夫，Y.V。“统一化：关于燃烧侧曲线y^2=x^5-x”，2001年12月9日。http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.艾希勒，M.和Zagier，D.“Weierstrass的零点P（P）-功能。"数学。安。 258, 399-407, 1982.费舍尔，G.（编辑）。板129-131英寸数学比尔班德大学博物馆模型。布伦瑞克，德国：Vieweg，第126-1281986页。Huang，J.“积分表示调和格和。"数学杂志。物理。 40, 5240-5246, 1999.雷恩维尔，电气工程师。特殊功能。纽约：切尔西，1971年。Tölke，F.“斯佩齐耶魏尔斯特拉P（P）-Funktionen公司。“通道4英寸Praktische公司Funktionenlehre，zweiter乐队：Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche富克提翁。柏林：Springer-Verlag，第115-244页，1966年。特尔克，F、。Praktische公司Funktitionlenlehre，fünfter乐队：Allgemeine Weierstraßsche Funktitonen undAbleitungen nach dem参数。Theta-Funktionen与双线性Entwicklungen积分。柏林：Springer-Verlag，1968年。E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。伍兹，F.S。“功能p（u）第160节高级微积分：一门专门针对应用型学生需求的课程数学。马萨诸塞州波士顿：Ginn，第381-382页，1926年。

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Weierstrass椭圆函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Weierstrass椭圆函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassEllipticFunction.html

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