拉格朗日乘数

拉格朗日乘数，也称为拉格朗基乘数（例如，Arfken 1985，p.945），可用于求极值多元函数的受约束，其中和是连续优先的函数部分衍生物上开式集合包含曲线,和在曲线上的任意点（其中是梯度).

对于极值属于存在于，的梯度属于必须与梯度属于。在上图中，以红色显示，蓝色，和和以浅蓝色表示。梯度是一个水平矢量（即，它没有-组件）表示函数增加的方向；对于它垂直于曲线，这是一条直线在这种情况下。如果两个渐变方向相同，则其中一个是倍数()另一个，所以

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这两个向量相等，因此它们的所有分量也都相等，从而得出

(2)

为所有人,...,,其中常数称为拉格朗日乘数。

然后通过求解中的方程式未知数，这是在不反转的情况下完成的，这就是拉格朗日乘子如此有用的原因。

对于多个约束,, ...,

(3)