完全Tannakian子范畴与基本群的满射

Question

让$（\mathcal{T}，w）$成为田地上的中立坦那基人类别千美元$，带有基本组G美元$、和$w美元$纤维函子。

让$（\mathcal{S}，w|_{\mathcal{S}}）$是一个完整的Tannakian子范畴（即在张量积、直和、对偶和商下闭合）以及取子对象/子商。通过以下方式表示其基本组H美元$.

在“Deligne、Pierre和J.S.Milne”Tannakian类别中。“数学讲义（2012）”，命题2.21，据说自然同态$G\右箭头H$非常平坦（尤其是阴沉）。他们的证明是同义反复的，我无法理解同义反复。

作者推断这一主张的方式是，论证了基础代数上的诱导映射（取$G=\text{Aut}^{\otimes}（w）\longrightarrow\text{Aut}^}\otimes}（w'）=H$)，地图

$$\text{Aut}^{\otimes}（w'）^{\vee}\longrightarrow\text{Aut}^{\opimes}（w）^{\ vee}$$显然是内射的。虽然我理解这个暗示的结论，但我想解释一下为什么会出现这种情况，或者另一种说法。

请提供参考。

Answer 1

定理：同态$G\右箭头H$仿射群方案结束千美元$忠实平坦当且仅当函子$代表（H）\右箭头代表（G）$是完全忠实的，并且在拍摄子对象时基本图像是闭合的。

回想一下，域上仿射群方案的同态是忠实平坦的当且仅当余代数上的映射是内射的。

对于千美元$-代数美元$（不一定是交换的），我们让百万美元（A，k）$表示左边的类别美元$-模的有限维千美元$.

让$f\冒号A\右箭头B$是的同态千美元$-代数。使用$f美元$，我们可以将十亿美元$-模块作为美元$-模块和百万美元$作为子类别属于百万美元（A，k）$.

引理：假设十亿美元$是有限维的千美元$.同态$f\冒号A\右箭头B$是满射的当且仅当百万美元（亿美元）$是一个的完整子范畴百万美元（A，k）$在取子模下闭合。

证明：如果$f美元$是surpjective，然后是子类别百万美元（亿美元）$当然有声明的属性。相反，让我们$\bar{A}$表示美元$在里面十亿美元$。那么$\bar{A}$是一个美元$-子模十亿美元$，因此也是十亿美元$-子模块。因为它包含身份元素1美元$属于十亿美元$，等于十亿美元$.

让$f\冒号C\右箭头D$是的同态千美元$-煤布拉斯。使用$f美元$,我们可以认为C美元$-余模作为D美元$-余模和$Comodf（C）$作为一个子类别$Comodf（D）$.

引理：同态$f\冒号C\右箭头D$是内射的当且仅当如果$Comodf（C）$是的完整子类别$Comodf（D）$在获取子对象下关闭。

证明：如果C美元$是有限维的千美元$，这源于之前应用于的引理$f^{\vee}\冒号D^{\ve}\右箭头C^{\v}$.一般情况案例，我们可以写加元$作为工会$C=\bigcup C_{i}$有限维的千美元$-子代数，以及相应的$Comodf（C）=\bigcup_{i} Comodf公司（C_{i}）$.现在是C美元$以下是$C_｛i｝$.