集合${p_1+2a，…，p_n+2a，，…中素数的密度对于每个自然$a$，有什么猜测吗？

Question

如果我们改变设置$\mathbb P=\{P_1，…，P_n，…\}$用一些自然数表示所有素数2a美元$获取集合$\mathbb P+2a={P_1+2a，…，P_n+2a$那么我想$\mathbb P+2a美元$包含无限个素数，并且包含无限个合成数。

我想知道有没有关于集合中素数密度的猜测$\mathbb P+2a美元$也就是说，关于极限的已知信息$$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{nop\{p_1+2a，…，p_n+2a\}}{n}$$，其中$否$表示“素数”，即如果美元$那么有套餐吗$否（S）$以集合中的素数给出美元$.

我们可以表示$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{nop\{p_1+2a，…，p_n+2a}{n}=f（a）$，和，我也想知道关于$f美元$例如，这样推断是否合理$f美元$是一个常数函数吗？

更具体地说，有没有任何证据表明我们可以$f（a）=0$每$a\in\mathbb N$也就是说，素数集移位了一些偶数2a美元$给了我们一个“几乎所有”数字都是复合数字的集合？

更一般地说，我也对你所知道的关于这个主题的每一个猜测感兴趣。

Answer 1

修复美元\geq 1$。这是基本的$\mathbb P+2a美元$包含无穷多个复合数——事实上，如果不是这样，那么对于足够大的素数美元$,$p+2a美元$也会是素数，因此也会是$p+4a，p+6a，\dots，p+2pa=p（1+2a）$这显然是荒谬的。

事实上，确实$f（a）=0$-这更困难，但可以使用与证明方法相同的方法来证明布伦定理事实上，这些方法表明，对于某些常数C美元$最多有$C\frac{x}{（\log x）^2}$素数$p<x$这样的话$p+2a美元$是质数，与近似值相比$\压裂{x}{\log x}$下面的素数x美元$总计(素数定理).

现在，正如你可能猜到的$\mathbb P+2a美元$是一个更难的问题。对于每一个美元$这个集合包含无限多素数，称为Polignac猜想而且它是开放的，事实上，没有一个美元$众所周知$\mathbb P+2a美元$包含无限素数（然而，根据Zhang等人的结果，我们知道有无限多这样的素数美元$尤其是有这样一种美元\leq 123$)也不知道是否$\mathbb P+2a美元$每一个都包含一个素数美元$.