每一个Hamming权重都有素数吗？

Question

每个汉明重量都有质数吗？也就是说，对于每个整数$n\in\mathbb｛Z｝_{>0}$有一个素数是n美元$不同的权力$2$?

在这种情况下汉明重量数字的是$1$s的二进制展开式。

已经考虑了许多这类问题，但可能不是用这种语言。例如，“有无限多吗费马素数?对应于这样一个问题：“是否有无限多个完全不同的素数具有汉明权重？”$2$?“另外一个相关的问题是是否存在无穷多梅森素数.

这些例子说明了一类这样的问题：“是否存在无穷多个素数，而这些素数恰好是n美元$两种不同的力量？”

因为这个问题对$n=2$如果是这样的话，我在这里提出的问题要弱得多。

众所周知$n\leq 1024美元$有这样一个素数。

最小的素数列在整数序列在线百科全书中A061712号.

这些素数中最小的零的数目列在A110700个。具有给定汉明权重的数字中的零的数量是衡量该数字大小的合理指标。OEIS的推测比我提出的问题更有力。

是否有一个定理可以确保每个$n\in\mathbb美元｛Z｝_{>0}$?

Answer 1

Fedja是绝对正确的：这已经被证明，足够大n美元$由德莫塔、毛杜伊特和里瓦特创作。

虽然乍一看，这个问题和其他著名的素数开放问题一样毫无希望，但很容易解释为什么情况并非如此。之间的数字$1$和$N:=2^{2n}$，数字和精确的比例n美元$是一个常数$\sqrt{\log N}$因此，这些数字相当“稠密”，素数理论中有一种称为双线性和方法（或类型I/II和方法）的技术，原则上允许人们认真考虑在这样的集合中寻找素数。这就是德莫塔、毛杜伊特和里瓦特所做的。

我不相信他们的方法目前已经被推到（例如）显示以1000000为基数写时有无穷多个不带0的素数。

让我也注意到，它们以一种非常奇怪的方式依赖于这些数字表示函数的某些特定属性，特别是它们的傅里叶系数的绝对值之和，这个值出奇地小。也就是说，他们并不是把这些海明集当作“典型”的密度集来对待$1/\sqrt{\log N}$.

我想人们可能还会提到弗里德兰德和伊瓦涅克的一篇著名论文，https://arxiv.org/abs/math/9811185在这项工作中，他们证明了形式的素数无穷多$x^2+y^4$。此序列具有密度$c/N^{1/4}$数量最多为N美元$，因此，使双线性形式方法发挥作用所需的分析非常困难。稍晚，希思·布朗调整了他们的想法以应对$x^3+2y^3$在某种意义上，这可能是已知无穷多个素数的最稀疏的显式序列（当然，除了像这样愚蠢的序列s_n美元$等于第一个素数大于$2^{2^n}$).

最后，让我添加以下内容：证明这一点，对于一些固定的n美元$，有无穷多个素数，它们是n美元$二次幂-这几乎可以肯定是一个公开的问题，与梅森素数等问题的难度相同。

Answer 2

在这方面，虽然不是很高深：Wagstaff，二进制表示中固定数量为1位或0位的素数，《实验数学》10（2001），267-273。

eudml链路，http://www.emis.de/journals/EM/restricted/10/10.2/wagstaff.ps

Answer 3

素数分布的标准启发法表明，每个汉明权重$h\ge3$应该有无限多个素数。如果这是真的，再加上2有1的重量，3有2的重量，你会得到一个肯定的答案。用当前的“技术”很可能无法将这些启发式转化为证据。因此，本·格林的回答中所描述的证据是存在的，这是非常令人惊讶的。

启发式的细节。固定吊坠重量$h\ge 3$。让我们看看哈明权重$h$的整数，形式为$2^n+\sum_{j=1}^{h-2}2^{a_j}+1$，其中$0<a_1<\cdots<a{h-2}<n$。有$n-1\choose｛h-2｝$这样的整数，并且它们中的每一个是复合的概率是$1-1/n\log2$。如果（BIG If）这些概率是独立的，那么你期望它们全部合成的概率非常小，并且你期望无限多（甚至所有足够大）$n$都有这种形式的素数。

Answer 4

这不是答案，而是观察结果。

让n美元$是一个整数，并且H（n）美元$它的汉明重量。

$H（n）\le1+\max（\{H（d）|\d\{rm除数\}n-1\}）$

特别是对于美元$大于2的素数

$H（p）\le1+\max（\{H（d）|\d\{rm正确\除数\of}\p-1\}）$

它可以提出解决这个问题和相关问题的方法。