为什么每个有限集都是丢番图？[已关闭]

Question

我知道每个有限集都是递归可枚举的，因为我看到一个人可以只对图灵机磁带上某个有限集的每个元素进行编码，然后让机器根据任何输入检查每个成员，以确定集的成员身份。。。。

……然而，我不清楚在丢番图表示领域中如何与此方法类似，尽管Matiyasevich定理向我们保证确实存在这样的方法。（也就是说，一个集合是递归可枚举的，如果它是丢番图。每个有限集合都是递归可枚举的，因此也是丢番图。）

在你的答案中，请给出一个显式方法，通过该方法可以将任何有限集写成丢番图表示。

Answer 1

或者，非常简单地说，给定有限集$S={a_1，\dots，a_k\}$，考虑丢番图方程：$$（n-a_1）\dots（n-a_k）=0$$编辑：然后我们可以将S写成$\{\n\|\\existsx:（n-a_1）\dots（n-a_k）=0\\}$。（谢谢大卫）

Answer 2

如果$k\geq0$和$f$是具有整数系数的$k+1$变量中的多项式，则设$$X（f）={n\in\mathbb Z:\exists X_1，\dots，X_k\in\mathbb Z:f（n，X_1、\dots、X_k）=0\}.$$这是$\mathbb Z$的典型丢番图子集。

显然$X（f）\cup X（g）=X（h）$，其中$h（n，X_1，\dots X_{k+l}）=f（n，X_1，\ dots，X_k）g（n，X _{k+1}，\pots，X_{k+l}）$。因此，$\mathbb Z$的丢番图子集的有限并是丢番图。因此，为了证明有限集是丢番图，那么检查所有$a\in\mathbbZ$的集${a\}$都是丢番画就足够了。

然后设$a\in\mathbb Z$和$f（n）=n-a$。那么显然$\{a\}=X（f）$。