组合$\sum_{k=1}^m kn_k=m$

Question

如果$n_k$是非负整数，我们可以用多少种方法求解$$\sum_{k=1}^mkn_k=m！。$$

我甚至不知道答案是否可以写得很好（作为$m$的函数）。任何建议或参考都会有所帮助。

Answer 1

一个解决方案是http://oeis.org/A008290：删除第一列的rencontres个数（n个元素与k个固定点的排列数）：
{1},
{0, 1},
{3, 0, 1},
{8, 6, 0, 1},
{45，20，10，0，1}，
{264, 135, 40, 15, 0, 1},
{1855, 924, 315, 70, 21, 0, 1}
一般来说，你要求拆分m！在m项中，k项是k的倍数。
所以，使用生成函数prod（k=1..m；1/（1-x^k）），得到x^（m！）的系数；
这给出了序列1、2、7、169、91606、2407275335、4592460368601183。。。
限制为我们发现的正系数n_k
使用prod（k=1..m；x^k/（1-x^k））并再次取x^（m！）的系数：
1, 0, 1, 47, 55496, 2080571733, 4441900888487987