减少残留系统在原生动物体内的分布

Question

设$R{p_k\#}$是约化剩余系统模$p_k\#$中的元素集。

设$|R_{p_k\#}|$为该集合中的元素数。

如果$p_i<p_k$和$p_i$除以$|R_{p_k\#}|$，是否会得出以下结论：

$\frac{|R_{p_k\#}|}{p_i}$中的$元素，包含在$1$和$\frac之间$

$\frac{|R_{p_k\#}|}{p_i}$中$\frac{p_k\#}$和$\frac-{2p_k\#}{p_i}$之间的$\frac:{p_k$

$\点$

$\frac{|R_{p_k\#}|}{p_i}$中$\frac{（p_k-1）p_k\#}{p_i}$和$\frac:{$

例如：

$R_{7\#}=\left\{1，11，13，\dots，209\right\}$和$|R_{7-#}|=48$

$3<7$和$3$将$|R_{7\#}|=48$与：

在$1$和$\frac{210}{3}=70$之间有$16$元素，它们是：$\left\{1，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67\right\}$

在$70$和$140$之间有$16$元素，它们是：$\left\{71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、121、127、131、137、139\right\}$

在$140$和$210$之间有$16$元素，它们是：$\left\{143149151157163167169173179181187191193197199209\right\}$

总是这样吗？如果不是，你能提供一个不正确的例子吗？如果是，你能提供理由吗。

谢谢，

-拉里

Answer 1

$p_i$的反例除$|R_{p_k\#}|$：2310的约化残数系统中有480个元素（使用Euler的totient函数计算）。7除以480是不正确的；这意味着，还原残渣系模一元系的元素至少有时分布稍不均匀；然而，Jacobsthal函数表明，约化剩余系统模一元数的连续元素之间的间隙有时会与平均间隙偏差很大；这有时会将原本均匀分布的元素推到一边，形成密集残留物区域和稀疏残留物区域，通常紧挨着。

如果它们像你所相信的那样均匀分布，孪生素数猜想、德波利纳克猜想和哈代-利特伍德k-tuple猜想将很容易被证明是正确的，我们将在证明黎曼假设方面取得巨大进展。目前，通过研究基元数的模属性来探讨这些思想与这些证明非常接近，但我们的理解似乎缺少一些细节，或者我们还没有与这些概念联系起来。

编辑：正如评论中所述，这个答案忽略了这样一个事实，即只有当$p_i$除以$\phi（p_k\#）$（Euler的totient函数）时，才会提出索赔。我很想知道别人会想出什么答案；我个人认为，对素数及其约化残数系统的研究将带来关于素数分布的最有趣的结果。我将对此进行一段时间的挖掘，因为我希望任何读到这篇文章的人也会这么做。

Answer 2

我相信答案是肯定的。

以下是我的论点：

1. 设$p_i$，$p_k$是任意两个素数，这样$i<k$

2. 设$R_x$是约化剩余系统模$x$，其中$|R_x|$是$R_x中的元素数$

3. 假设$p_i$除以$|R_{p_k\#}|$

4. 让$\varphi（x）$成为Euler的totient函数，这样我们就有了$\varpi（p_k\#）=|R_{p_k\#}|$

5. $\varphi（\frac{p_k\#}{p_i}）=\frac{\varphi（p_k\#）}{p_i-1}$

6. 所以$p_i$将$\varphi（\frac{p_k\#}{p_i}）除以$

7. 使用中发现的相同分析这个答案对于前面的一个问题，约化剩余类模$\frac{pk\}{pi}$的元素被等分为同余类模$pi$。

8. 因此，可以得出结论：$\frac{p_k\#}{p_i}$的约化剩余类的$\frac{p_i-1}{p_pi}$也相对于$p_k\#$是素数。