节点不同颜色的数量

Question

考虑一棵树，其中每个节点有2个子节点，总共有7个节点。所以树的最大级别是2。每个节点可以是白色或黑色。如果一种颜色即将通过更改左子树和右子树进入另一种颜色，则两种颜色是等价的。

对应的置换群是什么？不同颜色的总数是多少？

现在我想用波利亚的理论来解决这个问题。但我甚至不知道哪个置换群属于这个问题。感谢您的任何帮助。

Answer 1

你的树看起来像

1/\2   3/ \ / \4 5 6 7

Pólya计数定理的相关置换群是置换群，其中我们说“如果两个颜色与其中一个置换相关，那么它们是等价的”。

因此，在这种情况下，相关的排列是交换其中一个内部节点的左右子压力的排列，即，$$\开始{align}x&=（23）（46）（57）&\text{（交换1的子级）}\\y&=（45）&\text{（交换2的子级）}\\z&=（67）&\text{（交换3的子级）}\end{align}$$以及所有可以写成这些的乘积的排列。

因此，第一步是弄清楚这些$x$、$y$和$z$产生的是哪一个筹码。你可以简单地通过计算群元素的所有可能乘积来实现，直到你找不到更多的乘积为止，但是用代数的方法来处理它会更快，并观察到这些关系$$x^2=y^2=z^2=e\qquad yx=xz\qquad zx=xy\qquad-zy=yz$$（很容易检查）意味着组中的每个元素都可以写成$$x^iy^jz^k\qquad i，j，k\in\{0,1\}$$

所以有8个元素可以系统地列举出来，然后应用Pólya定理。

Answer 2

不带Pólya的计数

我认为这比用Pólya定理解决这个特殊问题更容易：让$a_n$是一棵具有$n$级的树的不同颜色的数目。（具体来说，您正在寻找$a_3$）。

显然，我们有$a_1=2$。

对于$a_{n+1}$，我们可以用$2$的方式选择根节点的颜色。对于这些方法中的每一种，子树可以是等价的（在$a_n$ways中），也可以是不同的（在$\binom中{an}2=\压裂{a_n（a_n-1）}2$道）。所以我们有$$a{n+1}=2\左（a_n+\压裂{a_n（a_n-1）}2\右）=a_n$$

那么找到$a_3$只需重复两次：

$$\开始｛align｝a_1&=2\\a_2&=2\cdot3=6\\a_3&=6\cdot7=42\end｛align｝$$

这些数字构成序列A007018号在整数序列在线百科全书中，给出了它们的一些其他组合含义。

Answer 3

我想使用波利亚枚举定理。这当然需要改进，就像这里一样我们正在列举循环索引中的所有排列$Z（Q_n）$的置换群$Q_n美元$排列这些根的顶点上的完全无序二叉树n美元$水平。邀请读者提供一个循环指数公式，该公式根据排列的循环结构，而不是计算所有排列。

以下是一些周期指数：这是三个级别的周期指数。$$Z（Q_3）=1/8 \，｛a_｛1｝｝｝^｛7｝+1/4 \，｛a_｛1｝｝｝^{5} 一个_{{2}}\\+1/8，{a{{1}}}^{3}{a{2}}}^{2}+1/4，a{{1}}{a{2}}^{3}+1/4\，a{1}a{2{}}a{4}$$

这是四个级别的索引：$$Z（Q_4）={\压裂{{a{{1}}^{15}}{128}}+1/32\，{a{1}{}^{13} 一个_{{2}}+{\裂缝{3\，{a{{1}}^{11}{a{2}}^}{64}}+1/16\，{a{1}{}}^{9} {a{{2}}}^{3}\\+1/32\，{a{1}}}^{9} 一个_{{2}}a{4}}+{\压裂{9\，{a{{1}}^{7}{a{2}}^{4}}{128}}+1/16\，{a}}^}7}{a_{{2}}}^{2} 一个_{{4}}\\+1/32\，{a{1}}^{5}{a{2}}}^}5}+1/32_，{a_{{1} }}^{5}{a{2}}^{3} 一个_{{4}}+1/32\，{a{1}}}^{3}{a{2}}}^{6}+1/16\，{a{{1}}^{3}{a{2}}}^{4} 一个_{{4}}\\+1/16\，a{1}}{a_{{2} }}^{7}+1/32\，{a{1}}}^{3}{a{2}}}，a{{1}}{a{2}}^{5} 一个_{{4}}+1/16\，a{1}}{a{2}}}^{3}{a}{4}}}^{2} \\+1/8\，a_｛｛1｝｝a_｛2｝｝｛a_｛4｝｝^｛3｝+1/8\，a_｛1｝｝a_｛2｝｝a{{4}}a{8}}$$

循环指数$Z（第5季度）$也可以计算。
以下是摘录：$$\cd个+{压裂{5\，{a{{1}}}^{5}{a{2}}^}{5}{a{4}}}^{4}{512}}+{压裂_{{1} }}^{5}{a{2}}^{7} 一个_{{4}}a{8}}{256}}+{\压裂{a{1}}}^{3}{a_{{2} ｝^｛2｝｛a_｛4｝｝｝^{4} 一个_{{8}}{64}}+{\压裂{a{1}}{a{2}}}^{5}{a}{4}}}^{5} }{64}}\\+1/32，a{{1}}a{2}}{a{4}}^{3}{a}{8}}}^}2}+1/32_{{1} }{a{{2}}^{9}{a{4}}^{3}+1/32\，a{1}{a}{2}{}}^}{3}{a_{4}{}^{4} 一个_{{8}}+{\压裂{{a{1}}}^{29}一个_{{2}}}{4096}}\\+{\压裂{7\，{a{1}}}^{27}{a{{2}}}^{2}{8192}}+{\frac{{a{1}}}^{25}{a{2}neneneep}^{3}}{512}}+{\裂缝{59\，{a{{1}}^{23}{a{2}}^}{16384}}+{\裂缝{11\，{a{1}{}}^{21}{a{2}}^{5}}{2048}}+{\压裂{a{1}}}^{25}一个_{{2}}a{4}}{4096}}+{\压裂{3\，{a{{1}}^{23}{a{2}}}^{2} 一个_{{4}}}{2048}}\\+{压裂{15\，{a_{{1}}^{21}{a{2}}^{3} 一个_{{4}}}{4096}}+{\压裂{13\，{a{1}}}^{19}{a_{{2}}}^{4} 一个_{{4}}{2048}}+{\压裂{3\，{a{1}}^{19}{a{2}}}^}{2}{a}{4}}}^{2} {4096}}\\+{压裂{43\，{a{1}}^{17}{a{2}}}^{5} 一个_{{4}}}{4096}}+{压裂{7\，{a{{1}}^{17}{a{2}}^}{3}{a}{4}}}^{2}{2048}}+{压裂_｛｛1｝｝｝^{17} 一个_{{2}}{a{4}}^{3}}{1024}}+\cdots公司$$

这将产生以下顺序$$Z（Q_n）（B+W）_{B=1，W=1}=Z（Q-n；2,2,2，\ldot）$$（最多两种颜色的颜色）：2，6，42，1806，3263442美元$$这让我们想到OEIS A007018公司正如公认答案的作者所发现的那样。

对于三个水平的特例，我们得到了替代的循环指数$$1/8\，\左（B+W\右）^{7}+1/4\，\右（B+W \右）${5}\左（{B}^{2} +{W}^{2}\右）+1/8\，\左（B+W\右）^{3}\左（{B}^{2]+{W{^{2} \右）^{2}\\+1/4\，\左（B+W\右）\左（{B}^{2{+{W}^{2]\右）^{3}+1/4\，\左（B+W\右）\左（{B}^{2}+{W}^{2]\右）\左（{B}^{4}+{W}^{4]\右）$$

根据数量展开详细分类黑白节点的$${B}^{7}+3\，{B}^{6} W公司+7\，{B}^{5}{W}^{2}+10\}^{4} +7\，{B}^{2}{W}^{5}+3\，B{W}^{6}+{W}#7}$$

例如，上的系数$B^6瓦$是三，因为有三个节点的轨道。

对于上的系数$B^5宽^2$我们得到了七种可能性：

1. 根节点，二级节点
2. 根节点，三级节点
3. 二级上的两个节点
4. 一个节点位于第二层，一个节点与第二层相邻三
5. 第二层有一个节点，第二层没有与之相邻的一个节点三
6. 三级有两个兄弟姐妹
7. 第三层有两个非卖品。

这是用于此计算的Maple代码，在算法上非常出色straighforward：列举保持两个值的所有可能组合节点的子树按顺序排列或翻转，计算自同构结果，并将其计入对周期指数。

宠物自动循环：=进程（src，aut）本地numa，numsubs；当地标记、pos、cycs、cpos、clen；numsubs:=[seq（src[k]=k，k=1..nops（src））]；numa:=子（numsubs，aut）；marks:=数组（[seq（true，pos=1.nops（aut））]）；周期：=[]；位置：=1；而pos<=nops（aut）do如果标记[pos]，则谱号：=0；cpos：=位置；而马克斯标记[cpos]：=假；cpos:=numa[cpos]；谱号：=谱号+1；od；cycs：=[op（cycs），clen]；fi；位置：=位置+1；od；返回mul（a[cycs[k]]，k=1..nops（cycs））；结束；宠物品种标识：=proc（多边形，ind）本地subs1、subs2、polyvars、indvars、v、pot、res；res:=ind；polyvars：=指数（poly）；indvars:=指数（ind）；对于indvars中的v dopot：=op（1，v）；子1：=[seq（polyvars[k]=polyvars[k]^pot，k=1..nops（聚合物）]；subs2：=[v=subs（subs1，poly）]；res:=子（subs2，res）；od；雷斯；结束；bf_build_tree：=proc（级别、卷曲、标签、翻转）局部左、右；如果curlev=水平，则return[标签]；fi；左：=bf_build_tree（levels，curlev+1，2*标签，翻转）；右：=bf_build_tree（levels，curlev+1，2*标签+1，翻转）；如果翻转[label]=1，则return[标签，右，左]；其他的return[标签，左，右]；fi；结束；bf_collect_autom（自动收集）：=proc（树、标签、资源）res[tree[1]：=标签；如果nops（树）=3，则bf_collect_autom（树[2]，2*标签，res）；bf_collect_autom（树[3]，2*label+1，res）；fi；结束；pet循环树：=程序（级别）选项记忆；局部res、ind、flips、allflips，autom、q、src、aut；分辨率：=0；所有翻转：=2^（水平-1）-1；对于ind从2^allflips到2^（allflips+1）-1 do翻转：=转换（ind，base，2）；自动：=表格（）；bf_collect_autom（bf_build_tree（级别，1，1，翻转），1，自动）；src:=[seq（q，q=1..2^级-1）]；aut:=[seq（自动[q]，q=1..2^级-1）]；res:=res+pet_autom2循环（src，aut）；od；res/2^allflips；结束；bf_2颜色：=程序（级别）选项记忆；本地ind；ind:=pet_cycleind_bf_tree（级别）；ind:=pet_varinto_cind（B+W，ind）；subs（{B=1，W=1}，ind）；结束；bf_2颜色X：=程序（级别）选项记忆；局部ind，q；ind:=pet_cycleind_bf_tree（级别）；sub（{seq（a[2^q]=2，q=0.级别-1）}，ind）；结束；