未解决的问题和奖励
以下是一些具有挑战性的问题。如果你是第一个在参考期刊上发表解决方案的人,请告诉我,并领取奖励!或者,如果你找到了一个简短的解决方案非常肯定它是正确和完整的,请发送给ck6@evansville.edu。如果被接受,您的证明将在本网站上发布,例如,请参阅问题8。注(2025年1月15日添加):由于发送国际汇票(等)的成本很高,2025年2月1日后解决方案的付款将以克拉克·金伯利(Clark Kimberling)以您的名义向整数序列在线百科全书:捐赠
|
|
1.Oldenburger-Kolakoski序列:12211212212211211221211222。。。
此序列与其自己的运行长度序列相同。奖励:200美元,用于发布中所述五个问题之一的解决方案整数序列和数组。
多年来,该序列被认为起源于此处所示:
威廉·科拉科斯基,“自动生成运行,问题5304,”美国数学月刊72 (1965) 674.关于Kolakoski序列不是周期的证明,请参见相同的每月73 (1966) 681-682.
然而,很明显,它发生得更早,现在可以称为Oldenburger-Kolakoski序列。讨论者:鲁弗斯·奥尔登伯格,“符号动力学中的指数轨迹”,美国数学学会会刊46 (1939), 453-466.
另请参见科拉科斯基层序在数学世界和序列A000002在整数序列在线百科全书。
2.A序列
每个正整数都是此序列的项吗1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9, 18, 24, 31, 14, 28, 22, 42, 35, 33, 46, . . . ?
奖励:300.00美元。要生成序列,请访问
金伯利层序在数学世界和发电机.
有关问题的讨论和变体,请参阅
理查德·K·盖伊,数论中未解决的问题,第二版斯普林格·弗拉格,1994年。
问题源于
C.金伯利,问题1615,数学难题17 (1991) 44.
3.抗重复序列
奖励:$100.00(已付)。由Alejandro Dau解决,2003年2月
考虑序列(或无限单词)
R=(R1,年2,年三, . . .)=01000110101110010011110110000101…(删除逗号)。
在r处重复长度1的第一段为“0”1和r三.
长度2的第一段在r处重复“00”5.
重复长度3的第一段是“010”,在r处10.
序列R的构造是为了避免“尽可能长”的重复,如下所示:
第页n+1=1当且仅当
(r)1,年2, . . .,第个n个,0),但不是(r1,年2, . . .,第个n个, 1),
最大重复段长度大于
(r)1,年2, . . .,第个n个)具有。
0和1的有限字符串称为单词.做每一个单词出现在R中?
如果是这样,那么很容易看到每个单词在R中无限多次重复,这是值得注意的,因为生成R的规则试图抵制重复。
这个问题以更一般的形式起源于
C.金伯利,问题2289,数学难题23 (1997) 501;[未收到任何解决方案:24(1998)525]。
这个问题得到了肯定的解决:二进制单词R确实无限次地包含了每个二进制单词。单词R对应于由所有0组成的选择序列。任何二进制序列都可以作为选择序列;以上引用的参考文献中给出了详细信息。解决方案出现在数学难题29 (2003) 320-321.
4.硬计数
奖励:$100.00像相对论一样,这个问题有一个特殊版本和一个一般版本。特殊情况源于
C.金伯利,问题2386,数学难题24(1998)426,等同于以下内容:
写下“1”。跳过一些空格,数一数你写的“11”。跳过更多空格,通过写“31”数一数你到目前为止写的三个1,除了用1上面的3写,如下所示:
三
1
跳过一些空格,数一数到目前为止你写的四个1和一个3
4 1
1 3.
跳过一些空格,通过写数一数到目前为止你写了什么
6 2 1
1 3 4.
跳过一些空格,通过写数一数到目前为止你写了什么
8 1 3 2 1
1 2 3 4 6.
如果这个过程无限期地继续下去,最终会写入每个正整数吗?
现在来看这个问题的一般形式。这和特别节目一样,只是我们从一个任意的初始计数;也就是说,不是从1开始,而是从
a(1)a(2)a(3)。 . .a(n)
b(1)b(2)b(3)。 . .b(n),
其中,所有a(i)和b(i)都是正整数,而b(i)是不同的。问题是证明或反驳在计数过程中每个正整数最终都会被写入。
5.MD问题(M=乘法,D=除法)
奖励:$100.00(已付)。Mateusz Kwasnicki解决,2004年1月
让一个1=1,对于n>1,定义一个n个=[an-1个/2] 如果此数字不在集合{0中1, . . .,一个n-1个}、和n个=3a个n-1个否则。
每个正整数在这个序列中只出现一次吗?
问题源于
C.金伯利,问题2248,数学难题26 (2000) 238;[未收到解决方案:27(2001)345]。
在问题的陈述中,符号[x]表示“小于等于x的最大整数”。因此,序列(an个)通过反复乘以3再除以2生成。
上面定义的MD序列如下开始:1、3、9、4、2、6、18、54、27、13、39、19、57、28、14、7。 . .
您可以使用2作为乘数,3作为除数来获得另一个MD序列:
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 32, 64, 21, 7, 14, 28, 9, 18, 36, . . .
或者,让m和d任何大于1的两个相对素整数。生成的MD序列是否只包含一个正整数?
弗罗茨瓦夫理工大学的马特乌斯·克瓦斯尼基(Mateusz Kwasnicki)大体上解决了医学博士的问题,而且是肯定的。请参见数学难题30 (2004) 235-239.
6.他们都平了吗?
奖励:$50.00(已付)
Michael Behrend解决,2010年12月
通过写入斐波那契数来开始数组:1、1、2、3、5、8。..以最少未使用的正整数(即4)开始第2行;按照4乘以6,使用斐波那契递推法完成该行(即,将最近的两个数字相加以产生下一个数字,使第2行以4、6、10、16、26、42开头)。以最少未使用的行(即7)开始第3行,后跟7乘12,然后使用递归生成19,31,。……以这种方式继续(每一新行中第二个术语的选择如下所示),从第1行到第4行如下开始:
1 2 3 5 8 13 . . .
4 6 10 16 26 42 . . .
7 12 19 31 50 81 . . .
9 14 23 37 60 97 . . ..
.
.
下面是每行第二个数字的配方:让r是黄金比率,(1+sqrt(5))/2,让i是行的数字,让x是行中的第一个数字;如果我是偶数,那么第二个数字是[rx];如果我是奇数,那么它是[rx]+1。
例如,第5行以最少未使用的开始,即x=11,然后是[11r]+1,即18。
每个数字都是第2列的偶数吗?
由于预期答案是肯定的,所以在中引入了数组作为偶数第二列数组
C.金伯利,“Interspession的第一列,”斐波纳契季刊32 (1994) 301-315.
Michael Behrend证明了答案是肯定的:证明他们都是平的。
7.神秘的B序列
奖励:$75.00(作为对整数序列在线百科全书的贡献支付)
Peter Kosinar于2011年2月解决
对于任意序列A=(A(0),A(1),A。 . .),从a中创建序列B,如下所示:设B(0)=a(0),对于k>0,设
U=【a(2k-1)】2,V=a(2k),W=4b(k-1),
b(k)=V-U/W。(假设每个k的W不为零。)
对于几个简单的例子,从a=(1,2,3,4,…)和a=(1,1,1,…)开始。
这是一个尚未解决的问题:通过证明,确定c和d上的条件,其中算术序列A=(c,c+d,c+2d,c+3d,…)每k产生b(k)>0。
彼得·科西纳(Peter Kosinar)发现了一个必要且充分的条件是0<d<=c。他还证明了如果d>c,那么序列B包含且仅包含一个负数:关于神秘的B序列。
有关关联的数字数组,请参见A186158,在线整数序列百科全书。
8.这个数字不合理吗?
奖励:50.00美元(已支付)。
Matthew Albano解决,2010年6月
有一种独特的三角形ABC形状,它既有侧金色又有角金色(与称为金色矩形的单一矩形形成对比)。ABC的角度是B、tB和π-B-tB,其中t是黄金比率。术语“side-golden”和“angle-golden”指ABC的分区,每种分区的方式都与t的连分数[1,1,…]相匹配。
特殊数B是介于0和π之间的数,因此sin(t2B) =t sin(B)。接近B的数字是
0.65740548297653259238096854152939712654149594648783937,
其角度在37到38度之间。
你能证明或反驳B是无理的吗?
参考:A152149号在整数序列在线百科全书中。
Matthew Albano证明了这是Lindeman-Weierstrass定理的一个简单结果:如果x(0),x(1)。 . .,x(m)是不同的代数数e(电子)x(0),电子x(1), . . .,电子x(米)
在代数数上是线性独立的。(例如,参见第44页的定理3.4让超越透明化:经典超越数论的直观方法,作者:Edward B.Burger和Rober Tubbs,Springer,2004年。)
写入sin(t2B) -tsin B=0,假设B是代数的。身份
sin A=(e国际机场-e(电子)-国际机场)/第2页
然后给出
e(电子)它2B类-e(电子)-它2B类-时间国际银行+时间-国际银行= 0.
由于系数和指数都是代数的,这个方程通过定理暗示了2B类,-它2B类、iB和-iB不明显。这个矛盾证明了B是先验的。
9.交换页面问题
奖励:$25.00(已付)Vincent Russo和Loren Schwiebert解决,2010年
设L=(1,3,4,6,8,…)为下Wythoff序列,A000201号,设U为L的补码;即,U=(2,5,7,10,…),上Wythoff层序,A001950号.
对于每个奇数U(n),设L(m)是L中的最小数,这样在交换U(n”)和L(m”)后,得到的新序列都在增加。生成的序列称为L的“交换”,如下所示
V=(2、4、6、10、12、14、18、20、22、26…)=A141104型.
设每个n的S(n)=(1/2)V(n)。S的补码(在非负整数集合中)是构成序列的同一组数字吗A004976号
?
Russo和Schwiebert在他们的文章“Beatty序列、Fibonacci序列和黄金比率”中证明了答案是肯定的斐波那契季刊49 (2011) 151-154.
10.最接近球体的曲线
奖励:50.00美元或100.00美元设S由x^2+y^2+z^2=1给定。假设C是S上的一条简单闭合曲线。对于S上的任意点P,定义P到C的距离为Q绕C旋转时P到Q的最小弧长。找到长度为4π的曲线C的参数方程,该曲线C将S到C的平均距离最小化;也就是说,S上所有点P的平均距离。解决方案必须包括最小化证明。你能用任意L>2π代替4π来解决这个问题吗?
这个问题似乎没有先例。可以在以下位置查看一些简单的闭合曲线球形曲线(可能不会最小化平均距离)圆形空间曲线库和毕肖曲线和其他球面曲线图库.
11.运行长度序列
奖励:75.00美元对于由1和2组成的任意序列s,让r(s)表示s中相同符号第n行的长度。对于所有n,有一个唯一的非平凡序列s,s(1)=1,r(s(n))=s(n
s=(1,1,2,1,1,2,2,2,1,1,2,…)
r(s)=(2,1,2,2,1,2,1,1,2,2,2,1,1,2,2,1,2,2,1,…)。
问题是:证明或反驳r(s)的每一段都是一段s。
例如,s的初始段1121出现在从第14项开始的r(s)中。
此问题最初出现在中的问题90Semesterberichte数学44 (1997) 94-95.更多条款见A025142号和A025143美元.
12.主要分离器阵列
奖励:25.00美元首先,规定T(1,1)=1。那么对于n>0,设S(n)={(i,j):1<=i<=n,1<=j<=n},
然后让
T(1,n+1)=S(n)中(i,j)的T(i,j)中不包含的最小正整数;
T(n+1,1)=对于S(n)中的(i,j)和非(T,n+1),T(i,j)中不包含的最小正整数;
T(m,n+1)=T。
这些规则生成一个数组T,其开头如下:
1 | 2 | 4 | 7 | 9 | 13 | 15 | 18 | 23 | 25 | 29 |
三 | 6 | 12 | 21 | 27 | 39 | 45 | 54 | 69 | 75 | 87 |
5 | 10 | 20 | 35 | 45 | 65 | 75 | 90 | 115 | 125 | 145 |
8 | 16 | 32 | 56 | 72 | 104 | 120 | 144 | 184 | 200 | 232 |
11 | 22 | 44 | 77 | 99 | 143 | 165 | 198 | 253 | 275 | 319 |
每一个素数都在T的第1行或第1列,但不是两者都在。
第1行的差异序列从
1,2,3,2,4,2,3,5,2,4,2,5,4,2,4,3,2,4,3,2,2,4,4,7,2,3,2,4,3,5,5,3,4.
问题是:证明(或反驳)这个差序列是有界的。
数组T及其第一行的更多项在A129258号和A129259号.
13.所有正整数和所有整数?
奖励:$100.00(见下文)这个问题涉及一个算法,即“自动生成”非负整数序列和整数序列。
首先,一些符号:设a(1)=1和d(1)=0。对于k>0,设x=a(k),并设
P(k)={a(1),a(2),…,a(k)},D(k)={D(1)、D(2)、…,D(k){。
步骤1。如果有一个负整数h不在D(k)中,使得x+h不在P(k)内,并且x>0,则设D(k+1)为最大的h,设a(k+1=x+h,然后返回步骤1;否则执行步骤2。
第2步。设h是不在D(k)中的最小正整数,使得x+h不在P(k)中。设a(k+1)=x+h和d(k+1。
问题和奖励:25美元用于证明以下命题(或20美元用于反例)。
(1) a(k)遍历所有正整数;
(2) d(k)遍历所有整数;
(3) 如果d(k)>0,则d(k+1)>0或d(k+2)>0或者d(k+3)>0;
(4) 如果d(k)<0,则d(k+1)<0或d(k+2)<0或者d(k+3)<0。
序列(a(k))从1,2,4,3,6,10,8,5,11,7,12,19,14,22,16,9开始。
序列(d(k))以0,1,2,-1,3,4,-2,-3,6,-4,5,7,-5,8,-6,-7,9开头。
序列的更多项在A131388号和A131389号.
14.从不3?
设G=(1+51/2)/2和f(n)=楼层(n2G) n层(nG),n=1,2,3。 . . .
示例:
f(n)=0,n=0,1,2,5,13,34。 . .
f(n)=1,n=4,10,16,68,178。 . .
f(n)=2,n=3,7,18,47,123。 . .
如果证明f(n)从不等于3,奖励20美元。(已付)
Michael Behrend解决,2010年12月
迈克尔·贝伦德证明了答案是肯定的:证明他们都是平的。
15.每行中有无限多个素数?
奖励:$50.00考虑以下所有自然数的数组:
1 | 2 | 4 | 7 | 11 | 16 | 22 | 29 | 37 | 46 | 56 |
三 | 5 | 8 | 12 | 17 | 23 | 30 | 38 | 47 | 57 | 68 |
6 | 9 | 13 | 18 | 24 | 31 | 39 | 48 | 58 | 69 | 81 |
10 | 14 | 19 | 25 | 32 | 40 | 49 | 59 | 70 | 82 | 95 |
15 | 20 | 26 | 33 | 41 | 50 | 60 | 71 | 83 | 96 | 110 |
此阵列在A000027号和A185787号.
证明或反驳每行包含无穷多个素数。
补充说明(2012年3月25日):问题很难解决。Charles Greathouse写道,它简化为Hardy-Littlewood猜想F……不难证明每一列对应于满足猜想要求的整值多项式(判别式总是负数,因此是非方的);为了完全符合打印出来的猜想,将其替换为两个多项式,一个用于偶数列,另一个用于奇数列。“所以,”他写道,“我不希望很快看到这一点的证明。”Pedja Terzic提醒人们注意行而不是列:第一行的第n项由n个=(n2-n+2)/2,所以对于n=2k,我们有一个2公里=P(k)=2k2-k+1和n=2k-1,我们有一个2k-1级=Q(k)=2k2-3公里+2公里。P(k)和Q(k)在整数上都是不可约的。此外,GCD(P(1)、P(2)、,。..)=1和GCD(Q(1),Q(2),。..)=1.因此,根据Bunyakowsky猜想,序列(P(k)和(Q(k))中的每个序列都包含无限多个素数。其他所有行也是如此。因此,人们应该证明或反驳Bunyakowsky猜想。
16.Beatty序列中的素数
奖励:0.00美元(见下文注释)证明或反驳:如果r是1到2之间的无理数,那么形式层(n*r)有无穷多个素数。
此问题在A025142。
添加注释(2012年3月25日):已知证据。迈克尔·贝伦德(Michael Behrend)指出,可以在I.M.Vinogradov中找到证据,数论中的三角和方法,Interscience Publishers,伦敦和纽约,1954年,第180页。在那里,维诺格拉多夫写道,“结果[如果x是任何固定的无理数,那么nx的分数部分均匀分布在0和1之间]可以用另一种形式表示,正如海尔布隆教授所建议的那样:[如果x>1并且x不是整数,那么数字[nx]包含无限多质数]。”
17.特殊M
奖励:$50.00(已付)让r表示黄金比率,(1+sqrt(5))/2,让[]表示楼层函数。对于固定n,设u(k)=[k*r^n],设v(k)=[k*r]^n,设w(k)=[v(k)/k^(n-1)]。我们可以预计w的增长率将与u大致相同。
证明或反驳:对于每一个固定的n>0,当k在所有正整数范围内时,存在一个数M,使得u(k)-w(k)取1,2,。..,M无穷多次,且u(k)-w(k)<=M。(你能将M表示为n的函数吗?推广其他数字r?)
Michael Behrend证明了r=(1+sqrt(5))/2存在M,并且r的其他值也不存在M。解决方案:特殊M
18.带交错行的三角形
奖励:$50.00数字1、2、可以有多少种方式。..,n(n+1)/2以三角形格式排列,行交错?也就是说,如果a(i,j)表示第i行中的第j个数字,那么a(i、j)介于a(i+1,j)和a(i+1,j+1)之间,如以下示例所示(对于n=3):
19.同心圆点
奖励:50.00美元(已支付)诺姆·埃尔基斯证明了任意ABC平面上存在一个X点,使得三角形AXB、BXC、CXA具有全等内切面。找到X的合理重心坐标(点X在三角中心百科全书中列为X(5394):ETC-第3部分) Jeremy Tan最近的解决方案见X(5394)。
20.欧拉-莫利-Zhao点
奖励:$50.00(已付)石勇解决,2013年1月3日
设A'B'C'是任意三角形ABC的Morley等边三角形。中国安徽的赵勇发现三角形A’BC、AB’C、ABC’的欧拉线在一点上是一致的。找到(合理的)重心坐标。点是三角中心百科全书中的X(5390):ETC-第3部分
施勇解决方案,中国上海,2013年1月3日假设DEF是ABC的Morley三角形,并标记顶点A、B、C、D、E、F,如下图所示:图片1和图2
在顶点F处,放置复平面的原点,轴进行缩放,使AB侧F高度的底部为点1+0*i。将角度写为u=BAC,v=CBA,w=ABC=π-u-v。然后
a=-cos(2u/3)+i*sin。
旋转、平移和膨胀产生A=2/(A+1),B=2/(B+1),C=2(A+B-1)/(A2+ab+b2),如图1所示。
设w=(1+31/2i) /2。
P(P)1=a三b条三+一个2b条4+实验室4+一个4-一个三b-ab型三+b4+一个2b+b三+ab公司
问1=(a-b)(a三b条2+一个2b条三+一个三b+a2b条2+ab公司三+一个2+b2)
P(P)2=ab2+一个2-3ab+b2+b
问2=(a-b)(ab+1)
点Z=X(5390)在图1中显示为Zhao,在图2中显示为X(5390:
Z=2(Q1+水处理厂1)/(问)2+工作压力2)/((a+1)(b+1)(a2+ab+b2))
通过在A的公式中应用转换A->1/A、b->1/b、c->1/c来定义A'。同样,从b定义b',从c定义c',从P定义c'1来自P1,Q’1来自Q1,P'2来自P2和Q'2来自Q2.
将X(5390)缩写为Z很方便。通过对Z应用变换a->1/a、b->1/b、c->1/c、P来定义Z'1->P’1、Q1->问'1,P2->P’2、Q2->问'2.
设x:y:z为z的重心坐标。求解系统
Ax+By+Cz=Z,A'x+B'y+C'Z=Z',x+y+Z=1
给予
x=(a+1)(Zb三-2亿2+2b-Z')/(2(b-a)(b2-b+1))
y=(b+1)(Za三-2a个2+2a-Z')/(2(a-b)(a2-a+1))
z=(a2+ab+b2)(2-Z-Z')/(2(a2-a+1)(b2-b+1))
利用计算机代数系统,可以证明x、y、z的复共轭分别等于x、y和z;也就是说,它们是真实价值的。
21.跳转序列
奖励:$50.00(已付)对于固定的正整数m,设a(n)是非负整数k的递增序列,使得
圆形(k1个/m)<圆形((k+1)1个/m).证明或反驳a(n)是齐次线性递归序列。
示例:对于m=3,请参见整数序列在线百科全书中的序列A219085
David Moews解决,2013年1月
David Moews证明了当m>0时,序列a(n)是线性递归序列(LRS),因为它是多项式和周期序列的和,并且两者都是LRS。接下来是一个证明。从A219085注释部分的公式开始,
地板(n+1/2)米)=(n+1/2)米-压裂(n+1/2)米)=(n+1/2)米- 2-米(2n+1)米模块2米),式中,frac(x):=x-floor(x)是x的分数部分,(a mod b):=b frac(a/b)。序列(n+1/2)米是n中的m次多项式,因此它被(E-1)湮没米+1,其中E是移位运算符。序列(2n+1)米模块2米仅取决于n mod 2m-1个,所以它被E湮灭了2m-1个- 1.因此,序列底部(n+1/2)被(E-1)湮没米(E)2m-1个-1),因此它是一个同质LRS,其阶数最多为m+2m-1个.如果m是偶数,则顺序上的上限可以降低。假设m可以被2整除k个对于某些k>0。然后(2n+1)米模式2米仅取决于n mod 2m-k-1型,因此序列压裂((n+1/2)米)被E湮灭2m-k-1型- 1此外,(2n+1)的值米模块2米如果n替换为2,则保持不变m-k-1型-n-1。如果m>3,此替换将交换n的奇偶值,以便来自n的偶数值的残数之和等于来自奇数值的余数之和。这表明层序压裂(n+1/2)米)被消灭了
1-E+E2-E类三+ ...-E2m-k-1型- 1=(1-E2m-k-1型)/(1+E)。因此,如果m是偶数,则序列楼层((n+1/2)米)是一个同质LRS,其阶数最多为m+2m-k-1型- 1.在特殊调用m=2中,此顺序最多为3。
22.Lucas和Zeckendorf陈述
奖励:$30.00(已付)设U(n)和V(n)分别是所有数字1,2,的Lucas和Zeckendorf表示中的数字项,。..,n.证明或反驳V(n)>=U(n)表示所有n,V(n。
迈克尔·贝伦德证明了这两个命题:卢卡斯和泽肯多夫的陈述
23.特殊数字
奖励:$50.00刻画序列楼层(n*r)包含齐次线性递归子序列的数字r的特征。
24.谐波极限
奖励:$30.00设f(n)=1/(H(n)-g-log n),其中H(n。..+1/n和g是Euler-Mascheroni常数。证明了lim(f(n)-2n)=1/3。
2013年8月,古杜埃利解决例如,在Graham、Knuth和Patashnik中证明了渐近方程H(n)=g+log n+1/(2n)-1/(12n²)+o(1/n²,具体数学,第466页。然后
1/(H(n)-g-log n)=2n/(1-1/(6n)+o(1/n))=2n*(1+1/(6n
对于n的大值,则1/(H(n)-g-log n)=2n+1/3+o(1)对于n的较大值。
对于k>=1的调和数和数g+log k的联合排序,请参见A226894型在整数序列在线百科全书上。
克拉克·金伯利主页