未解决的问题和奖励

以下是一些具有挑战性的问题。如果你是第一个发布解决方案的人,请告诉我,并收取你的奖励!或者,如果你找到了一个简短的解决方案非常肯定它是正确和完整的,请发送给ck6@evansville.edu。如果被接受,您的证明将在本网站上发布,例如,请参阅问题8。

1.Oldenburger-Kolakoski序列:12211212212211211221211222。。。

此序列与其自己的运行长度序列相同。奖励:200美元,用于发布中所述五个问题之一的解决方案整数序列和数组。

多年来,该序列被认为起源于如下所示:

威廉·科拉科斯基,“自动生成运行,问题5304,”美国数学月刊72 (1965) 674. 关于Kolakoski序列不是周期的证明,请参见相同的每月73 (1966) 681-682.

然而,很明显,它发生得更早,现在可以称为Oldenburger-Kolakoski序列。讨论者:鲁弗斯·奥尔登伯格,“符号动力学中的指数轨迹”,美国数学学会会刊46 (1939), 453-466.

另请参见Kolakoski序列数学世界序列A000002整数序列在线百科全书。


2.A序列

每个正整数都是此序列的项吗

1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9, 18, 24, 31, 14, 28, 22, 42, 35, 33, 46, . . . ?

奖励:300.00美元。要生成序列,请访问

金伯利层序数学世界发电机.

有关问题的讨论和变体,请参阅

理查德·盖伊,数论中未解决的问题,第二版斯普林格·弗拉格,1994年。

问题源于

C.金伯利,问题1615,数学难题17 (1991) 44.


3.抗重复序列

奖励:$100.00(已付)。

由Alejandro Dau解决,2003年2月

考虑序列(或无限单词)

R=(R1,第个2,第个, . . . ) = 010001101011100100111101100000101…(删除逗号)。

在r处重复长度1的第一段为“0”1和r.
长度2的第一段在r处重复“00”5.
重复长度3的第一段是“010”,在r处10.

序列R的构造是为了避免“尽可能长”的重复,如下所示:

第页n+1=1当且仅当

(r)1,第个2, . . . , 第页n个,0),但不是(r1,第个2, . . . , 第页n个, 1),

最大重复段长度大于

(r)1,第个2, . . . , 第页n个)具有。

0和1的有限字符串称为单词.每一个单词出现在R中?

如果是这样,那么很容易看到每个单词在R中无限多次重复,这是值得注意的,因为生成R的规则试图抵制重复。

这个问题以更一般的形式起源于

C.金伯利,问题2289,数学难题23 (1997) 501; [未收到解决方案:24(1998)525]。

这个问题得到了肯定的解决:二进制单词R确实无限次地包含了每个二进制单词。单词R对应于由所有0组成的选择序列。任何二进制序列都可以作为选择序列;以上引用的参考文献中给出了详细信息。

解决方案出现在数学难题29 (2003) 320-321.


4.硬计数

奖励:$100.00

像相对论一样,这个问题有一个特殊版本和一个一般版本。特殊情况源于

C.金伯利,问题2386,数学难题24(1998)426,等同于以下内容:

写下“1”。跳过一些空格,数一数你写的“11”。跳过更多空格,通过写“31”数一数你到目前为止写的三个1,除了用1上面的3写,如下所示:


1

跳过一些空格,数一数到目前为止你写的四个1和一个3

4 1
1 3.

跳过一些空格,通过写数一数到目前为止你写了什么

6 2 1
1 3 4.

跳过一些空格,通过写作来计算到目前为止你写了什么

8 1 3 2 1
1 2 3 4 6.

如果这个过程无限期地继续下去,最终会写入每个正整数吗?

现在来看这个问题的一般形式。这和特别节目一样,只是我们从一个任意的初始计数;也就是说,不是从1开始,而是从

a(1)a(2)a(3)。a(n)
b(1)b(2)b(3)。b(n),

其中所有的a(i)和b(i)都是正整数,并且b(i)是不同的。问题是证明或反驳在计数过程中每个正整数最终都会被写入。


5.MD问题(M=乘法,D=除法)

奖励:$100.00(已付)。

Mateusz Kwasnicki解决,2004年1月

让一个1=1,对于n>1,定义一个n个=[an-1个/2] 如果此数字不在集合{0中1, . . . , n-1个}、和n个=3a个n-1个否则。

每个正整数在这个序列中只出现一次吗?

问题源于

C.金伯利,问题2248,数学难题26 (2000) 238; [未收到解决方案:27(2001)345]。

在问题的陈述中,符号[x]表示“小于等于x的最大整数”。因此,序列(an个)通过反复乘以3再除以2生成。

上面定义的MD序列如下开始:1、3、9、4、2、6、18、54、27、13、39、19、57、28、14、7。

您可以使用2作为乘数,3作为除数来获得另一个MD序列:

1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 32, 64, 21, 7, 14, 28, 9, 18, 36, . . .

或者,让m和d任何两个相对素数大于1。生成的MD序列是否包含每个正整数恰好一次?

弗罗茨瓦夫理工大学的马特乌斯·克瓦斯尼基(Mateusz Kwasnicki)大体上解决了医学博士的问题,而且是肯定的。请参见数学难题30 (2004) 235-239.


6.他们都平了吗?

奖励:$50.00(已付)

Michael Behrend解决,2010年12月

通过写入斐波那契数来开始数组:1、1、2、3、5、8。。。从第2行开始,使用最少未使用的正整数,即4;按照4乘以6,使用斐波那契递推法完成该行(即,将最近的两个数字相加以产生下一个数字,使第2行以4、6、10、16、26、42开头)。以最少未使用的行(即7)开始第3行,后跟7乘12,然后使用递归生成19、31,。。。。以这种方式继续(下面显示了每一新行中第二个术语的选择),使第1行到第4行开始如下:

1    2    3    5     8    13 . . .

4    6   10   16   26   42 . . .

7   12   19   31   50   81 . . .

9   14   23   37   60   97 . . ..
.
.

下面是每行第二个数字的配方:让r是黄金比率,(1+sqrt(5))/2,让i是行的数字,让x是行中的第一个数字;如果我是偶数,那么第二个数字是[rx];如果我是奇数,那么它是[rx]+1。

例如,第5行以最少未使用的开始,即x=11,然后是[11r]+1,即18。

每个数字都是第2列的偶数吗?

由于预期答案是肯定的,所以在中引入了数组作为偶数第二列数组

C.金伯利,“Interspession的第一列,”斐波纳契季刊32 (1994) 301-315.

迈克尔·贝伦德证明了答案是肯定的:证明他们都是平的。


7.神秘的B序列

奖励:$75.00(作为对整数序列在线百科全书的贡献支付)

Peter Kosinar于2011年2月解决

对于任意序列A=(A(0),A(1),A对于正实数,从a创建一个序列B,如下所示:让B(0)=a(0),对于k>0,让

U=【a(2k-1)】2,V=a(2k),W=4b(k-1),

b(k)=V-U/W。(假设每个k的W不为零。)

对于几个简单的例子,从a=(1,2,3,4,…)和a=(1,1,1,…)开始。

这是一个尚未解决的问题:通过证明,确定c和d上的条件,其中算术序列A=(c,c+d,c+2d,c+3d,…)每k产生b(k)>0。

Peter Kosinar发现了一个0<d<=c的充要条件。他还证明了如果d>c,那么序列B包含一个并且只有一个负数:关于神秘的B序列。

有关关联的数字数组,请参见A186158,在线整数序列百科全书。


8.这个数字不合理吗?

奖励:50.00美元(已支付)。

Matthew Albano解决,2010年6月

有一种独特的三角形ABC形状,它既有侧金色又有角金色(与称为金色矩形的单一矩形形成对比)。ABC的角度是B、tB和π-B-tB,其中t是黄金比率。术语“side-golden”和“angle-golden”指ABC的分区,每种分区的方式都与t的连分数[1,1,…]相匹配。

特殊数B是介于0和π之间的数,因此sin(t2B) =t sin(B)。接近B的数字是

0.65740548297653259238096854152939712654149594648783937,

其角度在37到38度之间。

你能证明或反驳B是无理的吗?

参考文献:A152149号在整数序列在线百科全书中。

Matthew Albano证明了这是Lindemann-Weierstrass定理的一个简单结果:如果x(0),x(1),x(m)是不同的代数数,那么这些数

e(电子)x(0),电子x(1), . . . , e(电子)x(米)

与代数数线性无关。(例如,参见第44页的定理3.4让超越透明化:经典超越数论的直观方法,作者:Edward B.Burger和Rober Tubbs,Springer,2004年。)

写入sin(t2B) -tsin B=0,假设B是代数的。身份

sin A=(e国际机场-e(电子)-国际机场)/第2页

然后给出

e(电子)2B-e(电子)-它2B-特iB公司+时间-国际银行= 0.

由于系数和指数都是代数的,这个方程通过定理暗示了2B,-它2B、iB和-iB不明显。这个矛盾证明了B是先验的。


9.交换页面问题

奖励:$25.00(已付)

由Vincent Russo和Loren Schwiebert解决,2010年

设L=(1,3,4,6,8,…)为下Wythoff序列,A000201号,设U为L的补码;即,U=(2,5,7,10,…),上Wythoff层序,A001950号.

对于每个奇数U(n),设L(m)是L中的最小数,这样在交换U(n”)和L(m”)后,得到的新序列都在增加。生成的序列称为L的“交换”,如下所示

V=(2、4、6、10、12、14、18、20、22、26…)=A141104型.

设每个n的S(n)=(1/2)V(n)。S的补码(在非负整数集合中)是构成序列的同一组数字吗A004976号 ?

Russo和Schwiebert在他们的文章“Beatty序列、Fibonacci序列和黄金比率”中证明了答案是肯定的斐波纳契季刊49 (2011) 151-154.


10.最接近球体的曲线

奖励:50.00美元或100.00美元

求单位球面上长度为4π的简单闭合曲线的参数方程,该曲线与球面之间的平均球面距离最小;解决方案必须包括最小化证明。你能用任意L>2π而不是4π来解决这个问题吗?

这个问题似乎没有先例。最近研究的一些球面曲线(可能不会使平均距离最小化)可以在以下位置查看圆形空间曲线库毕肖曲线和其他球面曲线图库.


11.运行长度序列

奖励:75.00美元

对于由1和2组成的任意序列s,让r(s)表示s中相同符号第n行的长度。对于所有n,有一个唯一的非平凡序列s,s(1)=1,r(s(n))=s(n

s=(1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,…)

r(s)=(2,1,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,…)。

问题是:证明或反驳r(s)的每一段都是一段s。

例如,s的初始段1121出现在从第14项开始的r(s)中。

此问题最初出现在中的问题90Semesterberichte数学44 (1997) 94-95. 更多条款见A025142号A025143号.


12.主要分离器阵列

奖励:25.00美元

首先,判定T(1,1)=1。那么对于n>0,设S(n)={(i,j):1<=i<=n,1<=j<=n},
然后让

T(1,n+1)=S(n)中(i,j)的T(i,j)中不包含的最小正整数;
T(n+1,1)=对于S(n)中的(i,j)和非(T,n+1),T(i,j)中不包含的最小正整数;
T(m,n+1)=T。

这些规则生成一个数组T,其开头如下:

1      2      4      7      9      13      15      18      23      25      29
6 12 21 27 39 45 54 69 75 87
5 10 20 35 45 65 75 90 115 125 145
8 16 32 56 72 104 120 144 184 200 232
11 22 44 77 99 143 165 198 253 275 319

每一个素数都在T的第1行或第1列,但不是两者都在。

第1行的差异序列从

1,2,3,2,4,2,3,5,2,4,2,5,4,2,4,3,2,4,3,2,2,4,4,7,2,3,2,4,3,5,5,3,4.

问题是:证明(或反驳)这个差序列是有界的。

数组T及其第一行的更多项在A129258号A129259号.


13.所有正整数和所有整数?

奖励:$100.00(见下文)

这个问题涉及一个算法——“自生成”一个非负整数序列和一个整数序列。

首先,一些符号:设a(1)=1,d(1)=0。对于k>0,设x=a(k),并设

P(k)={a(1),a(2),…,a(k)},D(k)={D(1)、D(2)、…,D(k){。

步骤1。如果有一个负整数h不在D(k)中,使得x+h不在P(k)内,并且x>0,则设D(k+1)为最大的h,设a(k+1=x+h,然后返回步骤1;否则执行步骤2。

第2步。设h是不在D(k)中的最小正整数,使得x+h不在P(k)内。设a(k+1)=x+h和d(k+1。

问题和奖励:25美元用于证明以下命题(或20美元用于反例)。

(1) a(k)遍历所有正整数;
(2) d(k)遍历所有整数;
(3) 如果d(k)>0,则d(k+1)>0或d(k+2)>0或d(k+3)>0;
(4) 如果d(k)<0,则d(k+1)<0或d(k+2)<0或者d(k+3)<0。

序列(a(k))从1,2,4,3,6,10,8,5,11,7,12,19,14,22,16,9开始。
序列(d(k))以0,1,2,-1,3,4,-2,-3,6,-4,5,7,-5,8,-6,-7,9开头。

序列的更多项在A131388号A131389号.


14.从不3?

设G=(1+51/2)/2和f(n)=楼层(n2G) n层(nG),n=1,2,3。

示例:
f(n)=0,n=0,1,2,5,13,34。
f(n)=1,n=4、10、16、68、178。
f(n)=2,n=3、7、18、47、123。

如果证明f(n)从不等于3,奖励20美元。(已付)

Michael Behrend解决,2010年12月

迈克尔·贝伦德证明了答案是肯定的:证明他们都是平的。


15.每行中有无限多个素数?

奖励:$50.00

考虑以下所有自然数的数组:

1      2      4      7      11      16      22      29      37      46      56
5 8 12 17 23 30 38 47 57 68
6 9 13 18 24 31 39 48 58 69 81
10 14 19 25 32 40 49 59 70 82 95
15 20 26 33 41 50 60 71 83 96 110

此数组在A000027号A185787号.

证明或反驳每行包含无穷多个素数。

补充说明(2012年3月25日):问题很难解决。Charles Greathouse写道,它简化为Hardy-Littlewood猜想F……不难证明每一列对应于满足猜想要求的整值多项式(判别式总是负数,因此是非方的);为了完全符合打印出来的猜想,将其替换为两个多项式,一个用于偶数列,另一个用于奇数列。“所以,”他写道,“我不希望很快看到这一点的证据。”

Pedja Terzic提醒人们注意行而不是列:第一行的第n项由n个=(n2-n+2)/2,所以对于n=2k,我们有一个2公里=P(k)=2k2-k+1和n=2k-1,我们有一个2k-1级=Q(k)=2k2-3公里+2公里。P(k)和Q(k)在整数上都是不可约的。此外,GCD(P(1),P(2),…)=1和GCD(Q(1)、Q(2)…)=1.因此,根据Bunyakowsky猜想,序列(P(k))和(Q(k)中的每个序列都包含无穷多个素数。其他所有行也是如此。因此,人们应该证明或反驳Bunyakowsky猜想。


16.Beatty序列中的素数

奖励:0.00美元(见下文注释)

证明或反驳:如果r是1到2之间的无理数,那么形式层(n*r)有无穷多个素数。

此问题在A025142。

添加注释(2012年3月25日):已知证据。迈克尔·贝伦德(Michael Behrend)指出,可以在I.M.Vinogradov中找到证据,数论中的三角和方法,Interscience Publishers,伦敦和纽约,1954年,第180页。在那里,维诺格拉多夫写道,“结果[如果x是任何固定的无理数,那么nx的分数部分均匀分布在0和1之间]可以用另一种形式表示,正如海尔布隆教授所建议的那样:[如果x>1并且x不是整数,那么数字[nx]包含无限多质数]。”


17.特殊M

奖励:50.00美元(已支付)

设r表示黄金比例,(1+sqrt(5))/2,设[]表示楼层函数。对于固定n,设u(k)=[k*r^n],设v(k)=[k*r]^n,设w(k)=[v(k)/k^(n-1)]。我们可以预计w的增长率将与u大致相同。

证明或反驳:对于每一个固定的n>0,当k覆盖所有正整数时,存在一个数字M,使得u(k)-w(k)取1,2,。。。,M无穷多次,u(k)-w(k)<=M

Michael Behrend证明了r=(1+sqrt(5))/2存在M,并且r的其他值也不存在M。解决方案:特殊M


18.带交错行的三角形

奖励:$50.00

数字1、2、…、。。。,n(n+1)/2以三角形格式排列,行交错?也就是说,如果a(i,j)表示第i行中的第j个数,则a(i,j)在a(i+1,j)和a(i+1,j+1)之间,如以下示例所示(对于n=3):

            3                
  2   5  
1   4   6

            3                
  5   2  
6   1   4

            4                
    5  
2   6   1


19.同心圆点

奖励:$50.00

诺姆·埃尔基斯证明了任意ABC平面上存在一个X点,使得三角形AXB、BXC、CXA具有全等内切面。找到X的合理重心坐标(点X在三角中心百科全书中列为X(5394):ETC-第3部分)


20.欧拉-莫利-Zhao点

奖励:$50.00(已付)

石勇解决,2013年1月3日

设A'B'C'是任意三角形ABC的Morley等边三角形。中国安徽的赵勇发现三角形A’BC、AB’C、ABC’的欧拉线在一点上是一致的。找到(合理的)重心坐标。点是三角中心百科全书中的X(5390):ETC-第3部分

施勇解决方案,中国上海,2013年1月3日

假设DEF是ABC的Morley三角形,并标记顶点A、B、C、D、E、F,如下图所示:图片1图2

在顶点F处,放置复平面的原点,轴进行缩放,使AB侧F高度的底部为点1+0*i。将角度写为u=BAC,v=CBA,w=ABC=π-u-v。然后

a=-cos(2u/3)+i*sin。

旋转、平移和膨胀产生A=2/(A+1),B=2/(B+1),C=2(A+B-1)/(A2+ab+b2),如图1所示。

设w=(1+31/2i) /2。

P(P)1=ab条+一个2b条4+ab公司4+一个4-一个b-ab型+b条4+一个2b+b+ab公司
1=(a-b)(ab条2+一个2b条+一个b+a2b条2+ab公司+一个2+b条2)
P(P)2=ab2+一个2-3ab+b2+b条
2=(a-b)(ab+1)

点Z=X(5390)在图1中显示为Zhao,在图2中显示为X(5390:
Z=2(Q1+水处理厂1)/(问)2+水处理厂2)/((a+1)(b+1)(a2+ab+b2))

通过在A的公式中应用转换A->1/A、b->1/b、c->1/c来定义A'。同样,从b定义b',从c定义c',从P定义c'1来自P1,Q’1来自Q1,P'2来自P2和Q'2来自Q2.

将X(5390)缩写为Z是很方便的。通过将变换a->1/a、b->1/b、c->1/c、P应用于Z来定义Z'1->P’1、Q1->问'1,P2->P’2、Q2->问'2.

设x:y:z为z的重心坐标。求解系统

Ax+By+Cz=Z,A'x+B'y+C'Z=Z',x+y+Z=1

给予

x=(a+1)(Zb-2亿2+2b-Z')/(2(b-a)(b2-b+1))
y=(b+1)(Za-2a个2+2a-Z')/(2(a-b)(a2-a+1))
z=(a2+ab+b2)(2-Z-Z')/(2(a2-a+1)(b2-b+1))

利用计算机代数系统,可以证明x、y、z的复共轭分别等于x、y和z;也就是说,它们是真实价值的。


21.跳转序列

奖励:$50.00(已付)

对于固定正整数m,设a(n)是非负整数k的递增序列,这样

圆形(k1个/m)<圆形((k+1)1个/m).

证明或反驳a(n)是齐次线性递归序列。

示例:对于m=3,请参见整数序列在线百科全书中的序列A219085

David Moews解决,2013年1月

David Moews证明了当m>0时,序列a(n)是线性递归序列(LRS),因为它是多项式和周期序列的和,并且两者都是LRS。接下来是一个证明。从A219085注释部分的公式开始,

地板(n+1/2))=(n+1/2)-压裂((n+1/2))=(n+1/2)- 2-米(2n+1)模块2),

式中,frac(x):=x-floor(x)是x的分数部分,(a mod b):=b frac(a/b)。序列(n+1/2)是n中的m次多项式,因此它被(E-1)湮没米+1,其中E是移位运算符。序列(2n+1)模式2仅取决于n mod 2m-1个,所以它被E湮灭了2m-1个- 1. 因此,序列底部(n+1/2)被(E-1)湮没(E)2m-1个-1),因此它是一个同质LRS,其阶数最多为m+2m-1个.

如果m是偶数,则顺序上的上限可以降低。假设m可以被2整除k个对于某些k>0。然后(2n+1)模块2仅取决于n mod 2m-k-1型,因此序列压裂((n+1/2))被E湮灭2m-k-1型- 1此外,(2n+1)的值模块2如果n替换为2,则保持不变m-k-1型-n-1。如果m>3,这种替换将n的偶值和奇值互换,使得来自n的偶值的残数之和等于来自奇值的残数之和。这表明层序压裂(n+1/2))被消灭了

1-E+E2-E类+ ... - E类2m-k-1型- 1=(1-E2m-k-1型)/(1+E)。

因此,如果m是偶数,则序列楼层((n+1/2))是最大m+2阶的齐次LRSm-k-1型- 1. 在特殊调用m=2中,此顺序最多为3。

22.Lucas和Zeckendorf陈述

奖励:$30.00(已付)

设U(n)和V(n)分别是所有数字1,2,…,的Lucas和Zeckendorf表示中的数字项,。。。,证明或反驳V(n)>=U(n)表示所有n,V(n。

迈克尔·贝伦德证明了这两个命题:卢卡斯和泽肯多夫的陈述


23.特殊数字

奖励:$50.00

刻画序列楼层(n*r)包含齐次线性递归子序列的数字r的特征。


24.谐波极限

奖励:$30.00

设f(n)=1/(H(n)-g-log n),其中H(n1/n和g是Euler-Mascheroni常数。证明lim(f(n)-2n)=1/3。

2013年8月,古杜埃利解决

例如,在Graham、Knuth和Patashnik中证明了渐近方程H(n)=g+log n+1/(2n)-1/(12n²)+o(1/n²,具体数学,第466页。然后

1/(H(n)-g-log n)=2n/(1-1/(6n)+o(1/n))=2n*(1+1/(6n

对于n的大值,则1/(H(n)-g-log n)=2n+1/3+o(1)对于n的较大值。

对于k>=1的调和数和数g+log k的联合排序,请参见A226894型在线整数序列百科全书。


Clark Kimberling主页