未解决的问题和奖励

以下是一些具有挑战性的问题。如果你是第一个在参考期刊上发表解决方案的人，请告诉我，并领取奖励！或者，如果你找到了一个简短的解决方案非常肯定它是正确和完整的，请发送给ck6@evansville.edu。如果被接受，您的证明将在本网站上发布，例如，请参阅问题8。注（2025年1月15日添加）：由于发送国际汇票（等）的成本很高，2025年2月1日后解决方案的付款将以克拉克·金伯利（Clark Kimberling）以您的名义向整数序列在线百科全书：捐赠

1.Oldenburger-Kolakoski序列：12211212212211211221211222。。。

多年来，该序列被认为起源于如下所示：

威廉·科拉科斯基，“自动生成运行，问题5304，”《美国数学月刊》72 (1965) 674.关于Kolakoski序列不是周期的证明，请参见相同的每月73 (1966) 681-682.

然而，很明显，它发生得更早，现在可以称为Oldenburger-Kolakoski序列。讨论者：鲁弗斯·奥尔登伯格，“符号动力学中的指数轨迹”，美国数学学会会刊46 (1939), 453-466.

另请参见科拉科斯基层序在数学世界和序列A000002在整数序列在线百科全书。

2.A序列

1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9, 18, 24, 31, 14, 28, 22, 42, 35, 33, 46, . . . ?

奖励：300.00美元。要生成序列，请访问

金伯利层序在数学世界和发电机.

有关问题的讨论和变体，请参阅

理查德·盖伊,数论中未解决的问题，第二版斯普林格·弗拉格，1994年。

问题源于

C.金伯利，问题1615，数学难题17 (1991) 44.

3.抗重复序列

由Alejandro Dau解决，2003年2月

考虑序列（或无限单词）

R=（R₁，第个₂，第个_三, . . .）=010001101011100100111101100000101…（删除逗号）。

长度为1的第一个要重复的片段是“0”，在r处₁和r_三.
长度2的第一段在r处重复“00”₅.
重复长度3的第一段是“010”，在r处₁₀.

序列R的构造是为了避免“尽可能长”的重复，如下所示：

第页_n+1=1当且仅当

（r）₁，第个₂, . . .，第个_n个，0），但不是（r₁，第个₂, . . .，第个_n个, 1),

最大重复段长度大于

（r）₁，第个₂, . . .，第个_n个)具有。

0和1的有限字符串称为单词.做每一个单词出现在R中？

如果是这样，那么很容易看到每个单词在R中无限多次重复，这是值得注意的，因为生成R的规则试图抵制重复。

这个问题以更一般的形式起源于

C.金伯利，问题2289，数学难题23 (1997) 501;[未收到解决方案：24（1998）525]。

这个问题得到了肯定的解决：二进制单词R确实无限次地包含了每个二进制单词。单词R对应于由所有0组成的选择序列。任何二进制序列都可以作为选择序列；以上引用的参考文献中给出了详细信息。

解决方案出现在数学难题29 (2003) 320-321.

4.硬计数

就像相对论一样，这个问题有特殊版本和一般版本。特殊情况源于

C.金伯利，问题2386，数学难题24（1998）426，等同于以下内容：

写下“1”。跳过一些空格，数一数你写的“11”。跳过更多空格，通过写“31”数一数你到目前为止写的三个1，除了用1上面的3写，如下所示：

三
1

跳过一些空格，数一数到目前为止你写的四个1和一个3

4 1
1 3.

跳过一些空格，通过写数一数到目前为止你写了什么

6 2 1
1 3 4.

跳过一些空格，通过写数一数到目前为止你写了什么

8 1 3 2 1
1 2 3 4 6.

如果这个过程无限期地继续下去，最终会写入每个正整数吗？

现在来看这个问题的一般形式。这和特别节目一样，只是我们从一个任意的初始计数；也就是说，不是从1开始，而是从

a（1）a（2）a（3）。 . .a（n）
b（1）b（2）b（3）。 . .b（n），

其中，所有a（i）和b（i）都是正整数，而b（i）是不同的。问题是证明或反驳在计数过程中每个正整数最终都会被写入。

5.MD问题（M=乘法，D=除法）

Mateusz Kwasnicki解决，2004年1月

让一个₁=1，并且对于n>1，定义_n个=[a_n-1个/2] 如果此数字不在集合{0中₁, . . .，a_n-1个}、和_n个=3a个_n-1个否则。

每个正整数在这个序列中只出现一次吗？

问题源于

C.金伯利，问题2248，数学难题26 (2000) 238;[未收到解决方案：27（2001）345]。

在问题的陈述中，符号[x]表示“小于等于x的最大整数”。因此，序列（a_n个)通过反复乘以3再除以2生成。

上面定义的MD序列如下开始：1、3、9、4、2、6、18、54、27、13、39、19、57、28、14、7。 . .

您可以使用2作为乘数，3作为除数来获得另一个MD序列：

1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 32, 64, 21, 7, 14, 28, 9, 18, 36, . . .

或者，让m和d任何大于1的两个相对素整数。生成的MD序列是否只包含一个正整数？

弗罗茨瓦夫理工大学的马特乌斯·克瓦斯尼基（Mateusz Kwasnicki）大体上解决了医学博士的问题，而且是肯定的。请参见数学难题30 (2004) 235-239.

6.他们都平了吗？

Michael Behrend解决，2010年12月

通过写入斐波那契数来开始数组：1、1、2、3、5、8。..以最少未使用的正整数（即4）开始第2行；按照4乘以6，使用斐波那契递推法完成该行（即，将最近的两个数字相加以产生下一个数字，使第2行以4、6、10、16、26、42开头）。以最少未使用的行（即7）开始第3行，后跟7乘12，然后使用递归生成19，31，。……以这种方式继续（每一新行中第二个术语的选择如下所示），从第1行到第4行如下开始：

1    2    3    5     8    13 . . .

4    6   10   16   26   42 . . .

7   12   19   31   50   81 . . .

9   14   23   37   60   97 . . ..
.
.

以下是每行中第二个数字的配方：设r为黄金比例，（1+sqrt（5））/2，设i为行数，设x为行中第一个数字；如果我是偶数，那么第二个数字是[rx]；如果我是奇数，那么它是[rx]+1。

例如，第5行以最少未使用的开始，即x=11，然后是[11r]+1，即18。

每个数字都是第2列的偶数吗？

由于预期答案是肯定的，所以在中引入了数组作为偶数第二列数组

C.金伯利，“Interspession的第一列，”斐波纳契季刊32 (1994) 301-315.

迈克尔·贝伦德证明了答案是肯定的：证明他们都是平的。

7.神秘的B序列

Peter Kosinar于2011年2月解决

对于任意序列A=（A（0），A（1），A。 . .），从a中创建序列B，如下所示：设B（0）=a（0），对于k>0，设

U=【a（2k-1）】²，V=a（2k），W=4b（k-1），

b（k）=V-U/W。（假设每个k的W不为零。）

对于几个简单的例子，从a=（1,2,3,4，…）和a=（1,1,1，…）开始。

这是一个尚未解决的问题：通过证明，确定c和d上的条件，其中算术序列A=（c，c+d，c+2d，c+3d，…）每k产生b（k）>0。

彼得·科西纳（Peter Kosinar）发现了一个必要且充分的条件是0<d<=c。他还证明了如果d>c，那么序列B包含且仅包含一个负数：关于神秘的B序列。

有关关联的数字数组，请参见A186158，在线整数序列百科全书。

8.这个数字不合理吗？

奖励：50.00美元（已支付）。

Matthew Albano解决，2010年6月

有一种独特的三角形ABC形状，它既有侧金色又有角金色（与称为金色矩形的单一矩形形成对比）。ABC的角度是B、tB和π-B-tB，其中t是黄金比率。术语“side-golden”和“angle-golden”指ABC的分区，每种分区的方式都与t的连分数[1，1，…]相匹配。

特殊数B是介于0和π之间的数，因此sin（t²B） =t sin（B）。接近B的数字是

0.65740548297653259238096854152939712654149594648783937,

其角度在37到38度之间。

你能证明或反驳B是无理的吗？

参考：152149英镑在整数序列在线百科全书中。

Matthew Albano证明了这是Lindeman-Weierstrass定理的一个简单结果：如果x（0），x（1）。 . .，x（m）是不同的代数数

e（电子）^x（0），电子^x（1）, . . .，电子^x（米）

与代数数线性无关。（例如，参见第44页的定理3.4让超越透明化：经典超越数论的直观方法，作者：Edward B.Burger和Rober Tubbs，Springer，2004年。）

写入sin（t²B） -tsin B=0，假设B是代数的。身份

sin A=（e^国际机场-e（电子）^{-国际机场})/第2页

然后给出

e（电子）^它2B类-e（电子）^-它2B类-时间^国际银行+时间^{-国际银行}= 0.

由于系数和指数都是代数的，这个方程通过定理暗示了²B类，-它²B类、iB和-iB不明显。这个矛盾证明了B是先验的。

9.交换问题

由Vincent Russo和Loren Schwiebert解决，2010年

设L=（1，3，4，6，8，…）为下Wythoff序列，A000201号，设U为L的补码；即，U=（2，5，7，10，…），上Wythoff层序，A001950号.

对于每个奇数U（n），设L（m）是L中的最小数，这样在交换U（n”）和L（m”）后，得到的新序列都在增加。生成的序列称为L的“交换”，如下所示

V=（2、4、6、10、12、14、18、20、22、26…）=A141104型.

设每个n的S（n）=（1/2）V（n）。S的补码（在非负整数集合中）是构成序列的同一组数字吗A004976号 ?

Russo和Schwiebert在他们的文章“Beatty序列、Fibonacci序列和黄金比率”中证明了答案是肯定的斐波纳契季刊49 (2011) 151-154.

10.最接近球体的曲线

设S由x^2+y^2+z^2=1给定。假设C是S上的一条简单闭合曲线。对于S上的任意点P，定义P到C的距离为Q绕C旋转时P到Q的最小弧长。找到长度为4π的曲线C的参数方程，该曲线C将S到C的平均距离最小化；也就是说，S上所有点P的平均距离。解决方案必须包括最小化证明。你能用任意L>2π代替4π来解决这个问题吗？

这个问题似乎没有先例。可以在以下位置查看一些简单的闭合曲线球形曲线（可能不会最小化平均距离）圆形空间曲线库和毕肖曲线和其他球面曲线图库.

11.运行长度序列

对于由1和2组成的任意序列s，让r（s）表示s中相同符号第n行的长度。对于所有n，有一个唯一的非平凡序列s，s（1）=1，r（s（n））=s（n

s=（1,1,2,1,1,2,2,2,1,1,2，…）

r（s）=（2,1,2,2,1,2,1,1,2,2,2,1,1,2，2，1,2,2,1，…）。

问题是：证明或反驳r（s）的每一段都是一段s。

例如，s的初始段1121出现在从第14项开始的r（s）中。

此问题最初出现在中的问题90Semesterberichte数学44 (1997) 94-95.更多条款见A025142号和A025143号.

12.主要分离器阵列

首先，规定T（1,1）=1。那么对于n>0，设S（n）={（i，j）：1<=i<=n，1<=j<=n}，
然后让

T（1，n+1）=S（n）中（i，j）的T（i，j）中不包含的最小正整数；
T（n+1，1）=对于S（n）中的（i，j）和非（T，n+1），T（i，j）中不包含的最小正整数；
T（m，n+1）=T。

这些规则生成一个数组T，其开头如下：

每一个素数都在T的第1行或第1列，但不是两者都在。

第1行的差异序列从

1,2,3,2,4,2,3,5,2,4,2,5,4,2,4,3,2,4,3,2,2,4,4,7,2,3,2,4,3,5,5,3,4.

问题是：证明（或反驳）这个差序列是有界的。

数组T及其第一行的更多项在A129258号和A129259号.

13.所有正整数和所有整数？

这个问题涉及一个算法，即“自动生成”非负整数序列和整数序列。

首先，一些符号：设a（1）=1和d（1）=0。对于k>0，设x=a（k），并设

P（k）={a（1），a（2），…，a（k）}，D（k）={D（1）、D（2）、…，D（k）{。

步骤1。如果有一个负整数h不在D（k）中，使得x+h不在P（k）内，并且x>0，则设D（k+1）为最大的h，设a（k+1=x+h，然后返回步骤1；否则执行步骤2。

第2步。设h是不在D（k）中的最小正整数，使得x+h不在P（k）中。设a（k+1）=x+h和d（k+1。

问题和奖励：25美元用于证明以下命题（或20美元用于反例）。

（1） a（k）遍历所有正整数；
（2） d（k）贯穿所有整数；
（3） 如果d（k）>0，则d（k+1）>0或d（k+2）>0或者d（k+3）>0；
（4） 如果d（k）<0，则d（k+1）<0或d（k+2）<0或者d（k+3）<0。

序列（a（k））从1,2,4,3,6,10,8,5,11,7,12,19,14,22,16,9开始。
序列（d（k））以0,1,2，-1,3,4，-2，-3,6，-4,5,7，-5,8，-6，-7,9开头。

序列的更多项在A131388号和A131389号.

14.从不3？

设G=（1+5^1/2)/2和f（n）=楼层（n²G） n层（nG），n=1,2,3。 . . .

示例：
f（n）=0，n=0，1，2，5，13，34。 . .
f（n）=1，n=4，10，16，68，178。 . .
f（n）=2，n=3，7，18，47，123。 . .

如果证明f（n）从不等于3，奖励20美元。（已付）

Michael Behrend解决，2010年12月

迈克尔·贝伦德证明了答案是肯定的：证明他们都是平的。

15.每行无限多素数？

考虑以下所有自然数的数组：

此数组在A000027号和A185787号.

证明或反驳每行包含无穷多个素数。

补充说明（2012年3月25日）：这个问题很难解决。Charles Greathouse写道，它简化为Hardy-Littlewood猜想F……不难证明每一列对应于满足猜想要求的整值多项式（判别式总是负数，因此是非方的）；为了完全符合打印出来的猜想，将其替换为两个多项式，一个用于偶数列，另一个用于奇数列。“所以，”他写道，“我不希望很快看到这一点的证明。”

Pedja Terzic提醒人们注意行而不是列：第一行的第n项由_n个=（n²-n+2）/2，所以对于n=2k，我们有一个_2公里=P（k）=2k²-k+1和n=2k-1，我们有一个_2k-1级=Q（k）=2k²-3公里+2公里。P（k）和Q（k）在整数上都是不可约的。此外，GCD（P（1）、P（2）、，。..）=1和GCD（Q（1），Q（2），。..)=1.因此，根据Bunyakowsky猜想，序列（P（k）和（Q（k））中的每个序列都包含无限多个素数。其他所有行也是如此。因此，人们应该证明或反驳Bunyakowsky猜想。

16.Beatty序列中的素数

证明或反驳：如果r是1到2之间的无理数，那么形式层（n*r）有无穷多个素数。

此问题在A025142。

添加注释（2012年3月25日）：已知证据。迈克尔·贝伦德（Michael Behrend）指出，可以在I.M.Vinogradov中找到证据，数论中的三角和方法，Interscience Publishers，伦敦和纽约，1954年，第180页。在那里，维诺格拉多夫写道，“结果[如果x是任何固定的无理数，那么nx的分数部分均匀分布在0和1之间]可以用另一种形式表示，正如海尔布隆教授所建议的那样：[如果x>1并且x不是整数，那么数字[nx]包含无限多质数]。”

17.特殊M

让r表示黄金比率，（1+sqrt（5））/2，让[]表示楼层函数。对于固定n，设u（k）=[k*r^n]，设v（k）=[k*r]^n，设w（k）＝[v（k）/k^（n-1）]。我们可以预期w的增长率与u大致相同。

证明或反驳：对于每一个固定的n>0，当k遍历所有正整数时，存在一个数字M，使得u（k）-w（k）取每个值1,2，。..，M无穷多次，且u（k）-w（k）<=M。（你能将M表示为n的函数吗？推广其他数字r？）

Michael Behrend证明了r=（1+sqrt（5））/2存在M，并且r的其他值也不存在M。解决方案：特殊M

18.带交错行的三角形

数字1、2、可以有多少种方式。..，n（n+1）/2以三角形格式排列，行交错？也就是说，如果a（i，j）表示第i行中的第j个数字，那么a（i、j）介于a（i+1，j）和a（i+1,j+1）之间，如以下示例所示（对于n=3）：

		3
	2		5
1		4		6

		3
	5		2
6		1		4

		4
	三		5
2		6		1

19.同心圆点

诺姆·埃尔基斯证明了任意ABC平面上存在一个X点，使得三角形AXB、BXC、CXA具有全等内切面。找到X的合理重心坐标（点X在三角中心百科全书中列为X（5394）：ETC-第3部分) Jeremy Tan最近的解决方案见X（5394）。

20.欧拉-莫利-Zhao点

石勇解决，2013年1月3日

施勇解决方案，中国上海，2013年1月3日

假设DEF是ABC的Morley三角形，并标记顶点A、B、C、D、E、F，如下图所示：图片1和图2

在顶点F处，放置复平面的原点，轴进行缩放，使AB侧F高度的底部为点1+0*i。将角度写为u=BAC，v=CBA，w=ABC=π-u-v。然后

a=-cos（2u/3）+i*sin。

旋转、平移和膨胀产生A=2/（A+1），B=2/（B+1），C=2（A+B-1）/（A²+ab+b²)，如图1所示。

设w=（1+3^1/2i） /2。

P（P）₁=a^三b条^三+一个²b条⁴+实验室⁴+一个⁴-一个^三b-ab型^三+b条⁴+一个²b+b^三+ab公司
问₁=（a-b）（a^三b条²+一个²b条^三+一个^三b+a²b条²+ab公司^三+一个²+b条²)
P（P）₂=ab²+一个²-3ab+b²+b条
问₂=（a-b）（ab+1）

点Z=X（5390）在图1中显示为Zhao，在图2中显示为X（5390:
Z=2（Q₁+水处理厂₁)/（问）₂+水处理厂₂)/（（a+1）（b+1）（a²+ab+b²))

通过在A的公式中应用转换A->1/A、b->1/b、c->1/c来定义A'。同样，从b定义b'，从c定义c'，从P定义c'₁来自P₁，Q’₁来自Q₁，P'₂来自P₂，和Q’₂来自Q₂.

将X（5390）缩写为Z很方便。通过对Z应用变换a->1/a、b->1/b、c->1/c、P来定义Z'₁->P’₁，Q₁->问'₁，P₂->P’₂、Q₂->问'₂.

设x:y:z为z的重心坐标。求解系统

Ax+By+Cz=Z，A'x+B'y+C'Z=Z'，x+y+Z=1

给予

x=（a+1）（Zb^三-2亿²+2b-Z'）/（2（b-a）（b²-b+1））
y=（b+1）（Za^三-2a个²+2a-Z'）/（2（a-b）（a²-a+1））
z=（a²+ab+b²)（2-Z-Z'）/（2（a²-a+1）（b²-b+1））

利用计算机代数系统，可以证明x、y、z的复共轭分别等于x、y和z；也就是说，它们是真实价值的。

21.跳转序列

对于固定正整数m，设a（n）是非负整数k的递增序列，这样

证明或反驳a（n）是齐次线性递归序列。

示例：对于m=3，请参见整数序列在线百科全书中的序列A219085

由David Moews解决，2013年1月

David Moews证明了当m>0时，序列a（n）是线性递归序列（LRS），因为它是多项式和周期序列的和，并且两者都是LRS。接下来是一个证明。从A219085注释部分的公式开始，

22.Lucas和Zeckendorf陈述

设U（n）和V（n）分别是所有数字1，2，的Lucas和Zeckendorf表示中的数字项，。证明或反驳V（n）>=U（n）对于所有n，V（n）=U（n）对于无限多n。

迈克尔·贝伦德证明了这两个命题：卢卡斯和泽肯多夫的陈述

23.特殊数字

刻画序列楼层（n*r）包含齐次线性递归子序列的数字r的特征。

24.谐波极限

设f（n）=1/（H（n）-g-log n），其中H（n。..+1/n和g是Euler-Mascheroni常数。证明lim（f（n）-2n）=1/3。

2013年8月，古杜埃利解决

例如，在Graham、Knuth和Patashnik中证明了渐近方程H（n）=g+log n+1/（2n）-1/（12n²）+o（1/n²，具体数学，第466页。然后

1/（H（n）-g-log n）=2n/（1-1/（6n）+o（1/n））=2n*（1+1/（6n

对于n的大值，则1/（H（n）-g-log n）=2n+1/3+o（1）对于n的较大值。

对于k>=1的调和数和数g+log k的联合排序，请参见A226894型在整数序列在线百科全书上。

克拉克·金伯利主页