勾股定理

试着大声说出来。它不仅有趣，而且简洁的定义。而且准确。

这个毕达哥拉斯语定理：总和的广场的长度的腿第个，共个直角三角形等于斜边.

这个定义很有趣。我教Pre-Algebra和代数; 为了整合学科s、 我让我的学生数介词所有短语。

毕达哥拉斯的定理这是为了正确的有角度的三角形有长度的边a、 b、c（带有c（c）的长度斜边)我们有c（c）²=a²+b条².

这里有一个证明（许多）。从一个广场边长的a+b，称之为正方形1。放一个边长的正方形c（c）在正方形1的中间，称之为平方2。现在旋转平方2，使平方2的每个顶点相交正方形1的边之一。

____| /\ ||/  \|一个|\c/||_\/_|b条

在这一点上，我们最初的直角三角形出现在四个人中的一个角平方1的。那么平方1的面积是正方形的面积2+4 x原始三角形的面积。那就是正方形1有面积c（c）²+2ab型另一方面正方形1有面积（a+b）². The结果跟随很容易。

另请参见勾股三元组.

在八年级，学习了这个定理，我的班级被授予分配问一些人成年人关于他们使用这个定理的频率。预计大多数人每天都会用到这一点，有一些例子可以回答是很好的”我什么时候才能在现实生活中使用它？“但我问过的每个成年人都很少使用这个定理。我班上其他人的结果都很相似数学课非常有用。

甚至知道3-4-5三角形是一个直角三角形就足够了几何学在野外。显然古埃及人知道这个事实，并使用它（所有埃及数学致力于税务稽查，能够测量地区至关重要）。给定绳属于长度 12，每节打结单位距离，可以通过确保二边缘的长度三和4.

令人遗憾的是，人们不能这样做，3000几年后。

无用的琐事：根据吉尼斯世界纪录这是最被证明的数学定理，已有超过145种不同的证明。尤其是，查尔斯王子创造了其中一个证据

这个毕达哥拉斯定理也适用于三维空间。换句话说对角线的的矩形棱镜等于边的平方和的平方根。
不那么冗长：d日²=x²+年²+z（z）²

我说这在第三维度，但不限于此。我几乎没有怀疑它适用于第四、第五、第六等维度，但我无法验证，因为我很难验证可视化甚至是第四维度！我确信这个定理可以被证明，或者可能已经被证明，适用于所有维度，但这超出了我目前的知识范围。

a的对角线矩形棱镜是一个线连接任何两个不共用一张脸的角。它穿过棱镜内部，而不是沿着侧面。

勾股定理确实有很多证明。然而下面的一个特别迷人。这个证据是由11位年龄阿尔伯特·爱因斯坦.

雅各布·爱因斯坦教他的侄子阿尔伯特这个基本原理欧几里得的 几何学.11岁年轻人觉得欧几里德的一些证明是不必要的复杂。例如，需要证明勾股定理许多其他的线,角和正方形. The年轻的爱因斯坦想出了一个优雅的证明只需要一附加行海拔高度位于斜边.

***   ****b（**b）一个****E类c（c）**    *                   **     *                       **电子一*电子b条**       *                               ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *c（c）

高度将大三角形分为两个较小的三角形是类似的和大三角形相似。在欧几里得的 几何学，两个相似闭合图形的面积比等于广场对应的比率线性的尺寸。因此，三角形的面积E类_一，E_b条和较大的E_c（c）（E如中所示德国的乙烯)是：

E类_一=马²
E类_b条=毫巴²
E类_c（c）=mc²

（与爱因斯坦著名的关系相似E=mc²当然是完全的巧合的).

较大面积E_c（c）是两个较小面积的总和：

E类_c（c）=E_一+E类_b条

或：

mc公司²=马²+毫巴²
c（c）²=a²+b条²

资料来源：分形、混沌、幂律、无限分钟天堂,曼弗雷德·施罗德,纽约,W.H.Freeman和单位, 1991

美国。 总裁 加菲尔德毕达哥拉斯的证明定理

考虑一个梯形这样地：

_b条__a |⁄|⁄b | \|_\一

其中梯形具有的基础长度a和长度b和a高度属于长度a+b。
这个地区的梯形可以通过常规公式得出：

½（基1+基2）×高度
=½（a+b）（a+b）

这个地区的梯形也可以通过添加地区的三角形:

½ab+½ab+½cc
=ab+½cc

设置这两个平等的、和解决:

ab+½cc=½（a+b）（a+b）
2ab+cc=（a+b）（a+b）
2ab+cc=aa+2ab+bb
cc=aa+bb

[]

---

在第1册属于几何原本, 毕达哥拉斯定理显示为命题47、及其匡威显示为命题48.

描述毕达哥拉斯定理的最常见方法之一可能是在内积空间的上下文中。少量抽象的胡言乱语以下（从非技术意义上来说）。

所以让我们V（V）成为你的最爱内部产品空间或希尔伯特空间我的正好在L（左）²(X（X），dμ），空间平方可积 功能中的测量空间 X（X）关于测量μ、 但如果你喜欢更普通的东西，你可以考虑欧几里德空间 R（右）^n个甚至是普通的ol'欧几里得的 飞机 R（右）²初等几何。随便拿两个正交的 向量 v（v）和w个在里面V（V）.根据正交性的定义<v（v）|w个> = 0.

在V（V），长度v（v）和w个由定义

||v（v）|| := <v（v）|v（v）>^1/2

||w个|| := <w个|w个>^1/2.

所以，如果毕达哥拉斯定理被翻译成矢量第页，内积第页，规范s、 因此，在这种情况下应该理解为

||v（v）-w个||²= ||v（v）||²+ ||w个||².

在其他符号中，

<v（v）-w个|v（v）-w个> = <v（v）|v（v）> + <w个|w个>.

这是真的吗？当然是！只要回忆一下公理内积的s，线性的ity和准对称性（或不合格对称如果我们的标量域是真实的），那么就满足我们的需要。这让我们可以写作

<v（v）-w个|v（v）-w个> = <v（v）|v（v）>+ <w个|w个> - <w个|v（v）> - <v（v）|w个>,

但是<w个|v（v）> = <v（v）|w个>=0，因为这两个向量是正交的。这建立了勾股定理。

但是等等！我们尚未压缩所有果汁从中解脱出来橙色如果这两个向量v（v）和w个最初不是正交的吗？然后右边减去的两个项不会消失，而是消失

<v（v）-w个|v（v）-w个> = <v（v）|v（v）> + <w个|w个> -2重新<v（v）|w个>,

哪里重新表示真实部分。要解释这一点，请记住内部产品也可以写成重新<v（v）|w个> = ||v（v）|| ||w个||cosθ，其中θ是v（v）和w个因此，我们可以写，

||v（v）-w个||²= ||v（v）||²+ ||w个||²- 2||v（v）|| ||w个||cosθ

我们承认这是余弦定律.

当然，一旦所有的定义和公理都被理解了，上面写的一切都是完全正确的琐碎的（这个词的数学意义）。在某种程度上，公理和定义的建立正是为了让毕达哥拉斯定理在内积空间中成立。不幸的是，为什么定义是这样的，不是很容易解释的，只有经验才能解释。那些不能教的东西之一。或者更确切地说，是我不知道该怎么教的东西。

对于勾股定理的另一个有趣版本（如果做出正确的定义，它可能会被纳入当前的解释），请查看贝塞尔不等式和帕西瓦尔定理有时称为普朗彻定理警告：在这两种解释中抽象的胡言乱语得到堆得更高更深尽管最初出现过，但基本思想仍然是一样的。

这是145个证据的定理.

我特别喜欢这个证据的原因是你实际上可以得到纸张和一双剪刀然后去做数学老师有一套漂亮的木块来演示。）

好的，下面是：

1. 画一个正方形。
2. 致电顶点A、 B、C、D。
3. 内部正方形画出两个相同的直角三角形s，AB和AD线为其斜边一个较短的一侧应位于另一个较长的一侧。

你最终应该得到这样的结果：

A类_/|`-._/|`-_/  |        `-._/   |____________`-._B类/|F（F）//抄送|//|b个//       |             //________|            / D`-._型a E类/`-._            /`-._       /`-._  /`'C

这个地区的广场是c（c）²

现在旋转 三角形公元90年^o个 顺时针方向的关于D点。这应该地图 线AD连接到线路DC。

现在旋转三角形ABF 90^o个 逆时针关于将AB映射到BC的点B。

生成的形状应如下所示：

b条_________________ |                /||               / | |              /  |a |/|_________|/|b|`-。抄送||    `-.            /      |a|c`-./||            `-.  /        |  |_______________`'_________|

此形状由两个边长为a和b的正方形组成。由于对原始正方形执行的所有操作都是区域保护新的区域形状必须与正方形的面积相同。

因此一²=b²+c（c）²

好的。它是1978，我决定不上大学。这得到了我的同龄人的赞扬（他们中的大多数人常春藤联盟父母、信托基金和马克思主义倾向），我的父母视我为失败者，他们是共和党中下层奋斗者，他们认为我的转变18会把我从他们手里拿开，这样他们最终可以享受花花公子生活方式。。。。

雅典娜。我离题了。

因此，我被安排为电工学徒马克一号，在沃林福德教育委员会建筑贸易部工作，有10英里的免费出租车往返于我的工作场所制服、和一百万奖金……最后一个是谎言，但我们得到了两次报酬最低工资足够我在纽约的高级生活和参加洛基恐怖秀（为此我得到了平头，所以我可以整周都穿着男孩装工作，周末可以戴上假发作为女性变装皇后），（b）对美容产品的贪得无厌的热爱，以达到上述目的（同一个平头被染成了粉红色），（c）对罕见和进口的渐进性岩石,爵士乐,布鲁斯以及类似的体裁，甚至（d）应该允许阅读比一个人更多的s/f、现代和经典文学。（正如我所说，我的生活很复杂。）现在，我们所有人都有一个项目，即维护我们负责的建筑物（我对螺纹接头，在讨价还价中，以及对尼古拉·特斯拉以我保持许多荧光灯的形式），做一个新项目（在这个项目中，我混合了砂浆并移动了许多水泥块）。。。以及对我们进步的年度赞赏。

我不知道我第一轮表现如何。我们去了当地社区学院，花了几个小时听一些自我重要的类型告诉我们这对社区有多重要，还有更多的事情Dolce Far Niente公司也就是说我必须坐在图书馆里奔腾米诺拼图和查看最新短篇小说约翰·厄普代克在这个月底，我和其他几个孩子，还有我的得力助手罗杰一起经过，被送到斯托斯。（让我们纪念一下罗杰。我喜欢他。他看起来很像克拉克·盖博除了他晒得不好，身材也不那么苗条。他喜欢这样爱德华·罗宾逊我觉得模仿很滑稽。只有我知道他真正的灵魂，虽然我们几乎拥有这片草皮，但无论是好是坏，我从未对他采取行动。好了。）

所以，对斯托斯来说。。。

斯托斯，康涅狄格州位于马萨诸塞州州边界。这也是康涅狄格大学它的特色是有一家自助餐厅，提供令人难以置信的食物，所有这些食物都生长在一个大学经营的示范农场（甚至肉和奶制品）和一个制药的草本植物。在第二次实验中，我记得采集了很多样本，而在前一次实验中大多数参与者（和我自己）通常会采集三到四倍于我们所吃食物量的样本。。。在食品价格居高不下的时候，能够把盘子里的食物装起来，免费给自己塞满东西，甚至扔掉一些，都让人感到兴奋，就因为我们可以！现在，向大会致敬。。。。

我们将听到建筑商贸易的秘密，为了服务于此，我将听到“……现在，当我们有一条线，一个方向上有四个单位，另一个方向上有三个单位……我们有一条对角线……”

"....哪一个是五，先生。“我说，从教室后面站起身来。

“下课后请留下来。”我这样做了。

“请解释你的评论。”

首先，我给出了勾股定理的证明。不是这个证明，只是一个我觉得很容易记住的带剪刀和重新组装的证明，是看到！然后我展示了如何在网格中给定参数，在二战时期的军事地图上找到两点之间的距离，这是我在一本书中学到的乔治·加莫（我咬紧牙关：大多数战争游戏我看到的地图使用了六边形，而不是正方形。）然后是三个空间中的两个点（没有地球”，我补充道，作为一种事后思考）。最后，我说：“现在，没有任何法律禁止使用第四此处的术语。。。“我做到了。”。。。但那会让我们进入相对论、和。。"

“听着，我们还以为你只是个傻女孩。你怎么知道的？”

“十年级几何学，一些书。。。你的观点？"

“摆平一座建筑……相对论，这不是高中，不是吗？“不知怎的，我有种失落的感觉上帝的真名（或者更准确地说，梅森的话)在漫不经心的交谈中，让每个人都感到惊讶的是，闪电没有击中。

“嗯，我有点喜欢数学和物理学……我认为电气工作会利用这一点。"

“那么，除了六年级，我们什么都没有。到底是什么你在这里做什么？"

“我爱我的家人。”

作为该州唯一的女性建筑商，我为亚军赢得了奖杯ELO公司的蓝天先生罗杰在回家的路上用他的车载收音机为我演奏了这首歌。

注：定理也是由稻草人在电影版的绿野仙踪在他收到他的文凭（谢谢，老鼠！）

当我还是个孩子的时候，有一个德语电视节目（用我的语言配音）解释道希腊哲学让演员们穿着多加长袍漫步古希腊废墟戏剧拍摄一些场景。我（真的）非常抱歉，我没有提到这一点，因为我想重新编写一下。

说到点子上：有一集毕达哥拉斯它在我的记忆中燃烧得如此明亮，以至于可能在我的头骨里找到一些足够的能量脑扫描装置在高潮时，毕达哥拉斯和他的弟子们蜷缩在一起，在沙子上画线，并证明（或者只是用附在两边的方块来说明三角形)毕达哥拉斯定理。然后有人插话：

“所有三角形都是这样吗？”

“所有三角形。所有具有曾经绘制。所有三角形永远不会绘制。"

这个毁了我的生活.我不是特别聪明，在学科但在这里，我正在努力攻读数学硕士学位，梦想获得物理博士学位，因为。。。我不能放手。就像一个贫民窟看到一个残忍的罪行发生在他面前，20年后他自己也成了罪犯，这种柏拉图式的数学吸引力是一种压倒性的情感，以及当理解力（对你来说，真正理解）真正困难的事情是无与伦比的。