数学有一个肮脏的秘密：与许多其他学科一样，它的基础是伪科学，在这种情况下命理学当然，人们已经开始数数、测量和称重，但在有人开始搜索数字的抽象属性之前，你不可能把数数、称重和测量称为“数学”。抽象从神秘开始似乎是人类历史上的一个恒常现象。
最早使用数字的人群之一胡言乱语是由传说中的毕达哥拉斯毕达哥拉斯人注意到，当除数（“部分“），结果是原始数字。例如：
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
在现代记法中，我们会说
σ0（N） =N
（下面将解释下标的零。）
截至欧几里得的完美6，28，496，而且可能8128已知。这里，我们应该指出：
6 = 2*3 = 21*(22-1)
28 = 4*7 = 22*(2三-1)
496 = 16*31 = 24*(25-1)
8128 = 64*127 = 26*(27-1)
但这不是真的120 = 8*15 = 2三*(24-1); 其除数之和为240.
在元素1，欧几里德能够证明（第九卷，命题76）：
如果从一个单位开始，按两倍的比例连续列出任意多个数字，直到所有数字之和变成首要的，如果总和乘以最后一个数，则积就是完美的。
那就是，
2k-1号机组(2k个- 1)
无论何时都是完美的k>1和2k个- 1是质数。欧几里德的证明是一个几何证明，所以我们将省略它。一个稍微更容易理解的代数证明将被证明稍后。
第一和第二世纪的两位数学家研究了完全数，斯米尔纳的席恩和杰拉萨的尼科马库斯.在他的算术概论尼科马库斯分类数字的依据是整除因子2小于数字(缺乏的)，大于数字(大量的)，或等于该数字(很 完美). 不幸的是，尼科马库斯也对完美数字做出了一些错误的断言。此外，尼科马库斯注入了一点神秘主义，将不足的数字分配给不完整、腐败或不足的对象和概念。
奥古斯丁后来他自己注射了一点胡言乱语他断言上帝在6天内创造了地球，因为6是一个完美的数字。月球在28天内经历一个周期。666不足。我相信他认为他正在解开一些有意义的东西。
阿拉伯数学家从希腊人和罗马人的角度出发。塔比特·伊本·库拉写的关于友好的数字、其等分部分相加的数对，并提出了生成它们的公式。阿布·阿里·哈桑能够限制偶数的条件。
8191= 213-阿拉伯人和文艺复兴时期的数学家后来两次发现1是素数，得出了下一个完全数，33550336.彼得罗·安东尼奥·加泰罗迪表明了这一点131071（即，217-1个)是素数，产生下一个完美数，8589869056Cataldi也表示524287 = 219- 1是质数，产生另一个完美数字，137438691328.
一位名叫马林·梅森成为17世纪的Lexis-Nexis公司.梅森对乘完全数秒，即数字，其中σ0（N） =千牛哪里k个某个数字大于1.梅森得到笛卡儿后者对它们如此感兴趣，以至于发现了一个生成乘法完全数的公式和一长串这样的数字。
梅森的另一位记者是皮埃尔·德·费尔马特他对完美数字的研究产生了第一个非暴力素性测试，费马小定理。通过此步骤，可以更容易地显示2k个-1是一个梅森质数或者没有。
利昂哈德·尤勒他把几乎所有其他的数学问题都考虑进去了。1732年，欧拉发现了下一个完美的数字，2305843008139952128(230(231- 1)). 欧拉似乎也是第一个给我们提供了一种计算数字除数之和的方法的人，而不用枚举和求和。事实证明，如果我们将数字本身作为除数，并且将Euler的西格玛函数 σ（N）计算的所有除数之和N个; 我们通过定义得到经典和
σ0（N） =σ（N）-N。
sigma函数的推导首先要注意素数幂的唯一除数是素数的次数和低次幂：
σ（pk个)=1+p+p2+ ... + 对k个
这可以用代数方法转换成更简洁的形式
σ（pk个)=（pk+1-1） /（第1页）
但请记住较长的形式，因为这对我们以后的讨论很重要。对于一个素数对，σ（p）=p+1。此外，σ(2k个) = 2k+1-1
欧拉也证明了这一点
σ（ab）=σ（a）σ（b）
无论何时一和b条是相对质数因此，给定一个数的唯一素因式分解，
N=∏p我α我
很容易展示
σ0（N） =N
方法
σ（N）=2N
现在，我们可以用代数方法证明欧几里德的最后一个命题。对于N=2k-1号机组(2k个- 1)，其中2k个-1是素数，
σ（N）=σ（2k-1号机组)σ(2k个- 1) = (2k个-1) 2k个=2牛顿。
Euler能够改进Euclid和ibn al-Haytham的结果，证明全部的即使是完全数也是欧几里得给出的形式。如果N=2个k-1号机组q个其中k>1，
σ（N）=（2k个-1） σ（q）=2N=2k个q个
(2k个-1） σ（q）=2k个q个
(2k个-1) σ0（q） =q
σ0（q），的所有真除数之和q个，本身是q个，表示的唯一可能值σ0（q）是1因此，q=2k个-1是质数。
梅森素数的发现已经成为超级计算机制造商展示其新硬件能力的一种方式，他们竞相寻找新硬件。在撰写本文时，有42已知的梅森素数（最高的225964951-1)从而得到42个已知的完全数。
奇数完美数
简而言之：尽管还没有被证明，可能没有.这是为什么？如果我们看一下sigma函数的公式，我们会注意到σ（pk个) 不能可被……除尽对.但是σ（N）必须可以除以对我α我为所有人我.无论何时α我> 0，所有这些对我因素必须来自σ（pj个αj个)对于其他素数对j个事实上，这是一个分类或重新安排的问题。
最容易摆脱的因素是2在里面σ（N）=2N.σ（p米)对于奇数对和奇数米总是均匀的。但是自从N个很奇怪，我们只被允许一系数2因此，一和只有一个奇数素数中必须有奇数指数N个的素因式分解。此外，自从σ（（4n-1）k个)和σ（（2m+1）4j-1型)总是可以被4，该系数必须为（4n+1）形式4i+1。因为所有其他素数在N个的素因式分解，这产生了欧拉的另一个结果三，也就是说，任何奇数的完全数都必须是
N=（4n+1）Q2
对于一些奇数问.
但是σ（p2公里)通常包含比对:
σ(32) = 13
σ(52) = 31
σ(72) = 57 = 3 * 19
σ(118) = 235794769 = 7 * 19 * 1772893
σ（834)=48037081（主要）
生成一个完美（甚至是乘法完美）数是一项类似于杀死勒纳人的专长Hydra公司一个基本因子的每一次幂都会产生更多必须考虑的基本因子。
然而，一些因素会自行生成较低的素数：
σ(1632) = 26733 = 3 * 7 * 19 * 67
奇数次方通常会产生大量可分解的数字（但请记住，你只能有一个）：
σ(375) = 71270178 = 2 * 3 * 7 * 19 * 31 * 43 * 67
仍然有可能出现一些巨大的奇素因子复合体4以某种方式配合在一起会被找到，但我不会屏住呼吸。
在他的书的附录中数论及其历史5，牡蛎矿石注意到一些“最近的数值结果”，包括通过计算机发现新的梅森素数。在同一份笔记中，他提到了自己的推测，包括调和平均值数字的除数：
H（N）=1/N*（1/d1+1天2+ ... ) = N v（N）/σ（N）
哪里ν（N）是的除数N个，可计算为Π(1+α我)哪里α我是给定素数的指数对我在里面N个的素因式分解。对于完美数字和少数罕见的其他数字，H（N）是一个整数6，所有这些数字都是偶数。但这似乎并没有让我们走得太远，因为这与我们上面遇到的重排问题一样。
1欧几里德：《元素的十三本书：第2卷》（第III-IX册）托马斯·L·希思，纽约州多佛市，1956年。ISBN 0-486-60089-0
2乍一看，这个词等分的看起来它有阿拉伯语的派生，但实际上是拉丁语，意思是“一些”或“几个”。
三在通过数学世界发现欧拉已经做过之前，我至少能够自己推导出一些东西。
4可能这样复杂的形式有限域?
5牡蛎矿石，数论及其历史纽约多佛，1948年，1988年修订（ISBN 0-486-65620-9）。
这本书到处都有提及。明白了。读一读。
6证明这一点ν（N）即使是在N个是一个完美的数字是留作读者练习.
关于罗马、阿拉伯和文艺复兴时期关于完美数字的努力的信息来自
圣安德鲁斯大学MacTutor
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Perfect_numbers.html