费马最后定理

证明人：安德鲁·怀尔斯，一个数学家在普林斯顿大学。证据于星期三，23 六月 1993.

费马最后定理断言，如果n个是大于的整数2，然后是方程式一^n个+b条^n个=c（c）^n个没有解决方案一，b条、和c（c）整数是否大于零.

这个定理是由于皮埃尔·德·费尔马特(1601-1665)，一个法语居住在图卢兹，谁制造了猜想 350几年前。

短小、笨拙的协同防护：

通过加洛瓦，方程式度五个及以上没有算法解决方案。发件人数论（我想），每个整数都可以分解成四个广场秒。因此，a^n+b^n=c^n成为（a1^2+a2^2+33^2+a4^2）^n{类似地，b和c术语}。

注：如果n>2（expl:3），括号A中的术语₁，A₂，A_三和A₄所有的温度都高于五度，都与伽罗瓦事件有关。

哇。令我惊讶的是，这里的前两个节点将这个定理作为一个定理。对我来说，费马最后一个定理最有趣的地方就是它的故事。

费马断言这是正确的，他已经证明了这一点，但他从未费心写出自己的证明。他在一本书的页边空白处写了一张便条，说：，演示mirabilem hanc marginis exigiutas non caperet，“我有一个奇迹般的证据，这个差额太小了，无法容纳”。他从未费心写下证据。因此，350年来，人们一直在试图证明一些对他来说太明显而无需费心的事情。

抱歉缺少无偿链接.

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2001年2月27日
无偿链接更新
我只是对这篇文章做了一些更新，比如添加了费马的旁注（拉丁文）的实际文本。我决定尊重我当时的心情，并去掉了所有不必要的链接。这不是我的政策，正如你在我的其他文章中很容易看到的那样（如果我把它联系起来，你现在就在那里了！）

与此同时，我在这篇文章中留下了一些无端的链接，作为我对命名空间污染的解释性舞蹈声明。

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我发现了一个美丽的证明这个的定理，但这个节点也是短的到把它写下来.

费马的最后一个定理实际上是更困难（最近被证明）的一部分Shimura-Taniyama-Weil猜想这使得数论和椭圆曲线怀尔斯的一些学生证明了上述猜想。我不声称自己理解这一点，但这是我读过的关于这一问题的文章的共识。费马最后一个定理证明了特定类型曲线的STW猜想。

你和我的朋友，利昂哈德·尤勒推测了这个定理的一个推广，并陈述了一些类似于“否n个th次幂是小于的总和n个 n个th次幂。“也就是说，x^3不能表示为y^3+z^3，x^4也不能表示为y^4+z^4+w^4等（x、y、z和w为整数).

很长一段时间以来，人们一直认为这种概括是正确的，因为没有反例可以找到。然而，在1968年，利昂·兰德和托马斯·帕金运行一个他们编写的计算机程序，列出五次幂，即五次较小的五次幂之和，意外地偶然发现144^5=27^5+84^5+110^5+133^5+0^5。显然，无论是谁编写的程序都使用了大于或等于运算符而不是大于中的运算符for循环或其他类似情况。用了19年的时间来反驳欧拉关于n=4的猜想；1987年，数学家N.J.Elkies发现20615673^4=2682440^4+15365639^4+18796760^4。

（没有，我做了不只需编一组数字）

场景：一片尘土沙漠公路在美国西南一棵塞盖罗仙人掌矗立在一间旧棚屋附近。小屋上的标牌上写着：

“费马最后定理500英里”


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好，我觉得很有趣

--感谢www.explicity.com

我在一个计算机实验室在校园里奥克拉荷马大学一年半前。有一点古老的，我无法完全理解。另外，我对数学符号真是太离谱了，我根本没机会理解这一点，所以这段文字的转录会有点离谱。所以，在被压碎的形式，这是证明的大纲费马最后定理.

地基处理：Frey Curves

假设有一个非平凡的解决方案费马某个数N的方程，即非零整数A、B、C、N，这样A^N+B^N=C^N.

然后我们回忆起1982年左右弗雷打电话给注意椭圆曲线Y^2=X（X-A^N）（X+B^N）.

打电话给这个曲线E.弗雷注意到它有一些非常不寻常的特性，并猜测它可能是如此不同寻常，以至于不可能真正存在。

首先，各种例行计算使我们能够进行一些有用的简化假设s、 不失通用性。例如，N可能被认为是质数，并且大于或等于5。B可以是假定d为偶数，A等于3（mod 4），C等于1 mod 4。A、 A、B和C可以被假定为相对素数。

E的“最小判别式”可以计算为（ABC）^（2N））=（2^8）-2倍于完美素数幂的幂。E的一个不寻常之处是判别式是。

这个导体是素数的乘积，在该素数下E的约简性较差，这与分最小判别式。然而，导体中每个质数的确切功率取决于奇点该曲线具有模的坏约化素数。导体的定义规定，P仅将导体分为一次幂，如果X（X-A）（X+B）只有一个双根而不是三重根mod P。现在，任何素数只能除A或B，但不能两者都除，因为否则它也会除C，我们假设A、B和C是相对素数。因此多项式的形式如下X（X+D）mod P，其中（P，D）=1.因此任何素数至多只有一个双根模，因此导体是广场-免费。换句话说，E是半稳定的。

关于E还有其他奇怪的事情，这与它的伽罗瓦表示的特定属性有关。因为这些，里贝的结果让我们得出结论，E不可能是模的。

的证明费马最后定理来自田山秀村猜想

在弗雷引起人们对不寻常的事情的注意之后椭圆形如果费马方程真的有一个非平凡的解，就会得到的曲线，塞尔（他做了很多贡献s到现代数论和代数几何）提出了各种猜想，有时单独地有时结合田山秀村猜想，可以用来证明费马最后定理.

里贝特很快找到了一种方法来证明这些猜想之一。猜想本身并没有真正讨论弗雷曲线或FLT。相反，它只是声明，如果伽罗瓦表示与椭圆曲线E相关联的属性，则E不能是模块化的。具体来说，它不可能模块化的在这个意义上，存在一种模块形式，它产生了相同的伽罗瓦表示。

我们需要引入一些额外的符号和术语来解释这一点精确地设S（N）是权重为2的Theta（N）的尖点形式的（向量）空间。模形式的“经典”理论表明，S（N）可以用“全纯微分“在上黎曼曲面X（N）。此外，S（N）的维数是有限的，并且等于X（N）“亏格”。“属”是表面s、 它直观地表示表面上的孔数。（例如，圆环体，例如椭圆曲线，具有属1.)

但是对于X（N）亏格有相对简单的显式公式。这些公式是赫尔维茨在很久以前在黎曼曲面理论中发展出来的，包括Theta公司（N） 对于N<来说，一个至关重要的事实是。11，X（N）的属，因此维S（N）的值为零。换句话说，在这种情况下，S（N）只包含常数形式0。我们将很快使用关于S（2）的这个事实。

有一些操作符被称为Hecke操作符赫克，在的空格上模块化的形式，特别是子空间S（N），因为它们保留了形式的权重。赫克操作员可以用多种形式具体定义方式对于所有大于或等于1的N，都有一个Hecke算子T（N）。有一些公式有联系T（N）表示复合N到T（P），其中是素数除以N，所以T（P首要的P（P）决定所有T（N）。

所有T（N）都是S（N）上的线性算子。如果S（N）中有一个F，则表示同时 特征向量在所有T（N）中，即T（N本征的（非平凡特征形式不必存在，例如，如果S（N）的维数为0。）F被称为归一化的如果其前导傅里叶级数系数为1。在这种情况下特征值（n） 结果是展开式中的傅里叶级数系数F（N）=（从N=0到无穷大）A的总和_N个e^（2*Pi*I*N*(无法破译的)).

可以证明，如果F（Z）是一个尖点形式归一化特征函数对于所有T（P），则存在L函数L（F，S）的欧拉积分解。这是明显地在关联方面具有很大的技术用途L函数形式和椭圆形式曲线（定义为欧拉产品）。

如果F在所有S的集合中，则S（N）是所有S的归一化特征形式赫克操作员事实上可以表明，傅里叶变换中的系数膨胀都是代数数，它们生成一个有限的延伸第K页，共Q页。

K的整数环的素理想是类似物Q的素数s。在f是归一化的情况下特征形它是可能的对任何素理想进行Gal（Lambda/Q）的Galois表示Phi（F，Gamma）的构造伽马射线关于K的整数环。

最后我们可以描述里贝证明了什么。假设E是一条带有导体N的半稳定椭圆曲线，且其关联加洛瓦某些素数P的表示Phi（E，P）具有某些性质。假设2除以N（这对Frey曲线来说是正确的）。如果E是模块化的，那么有一个归一化的特征形f和P上的素理想Gamma（即基本因子由傅立叶系数F），使得伽罗瓦表示Phi（F，Gamma）是Phi（E，P）。Ribet证明了有可能找到一个奇数素数q不等于p，它除以N，使得在所有S（N/q）的集合中有另一个F'，并且在领域 生成d乘以F'的系数，从而菲律宾比索（F'，Gamma'）给出了基本上相同的伽罗瓦表示。这被称为“能级降低”猜想，因为它断言在适当的条件下，较低能级的本征形式给出了基本上相同的表示。

但只要N有任何奇数素数因子，这个过程就可以重复。它是重要的曲线E是半稳定的，所以N是无平方的。这意味着N的所有奇数素数因子都可以被消除，所以一定有一个2级的非平凡本征形式，即在S（2）中，它给出了本质上相同的本征形式伽罗瓦表示这是一个矛盾，因为S（2）的维数为0，因此不包含非平凡形式。这个矛盾意味着E不能是模块化的。

现在，我们调用FLT解产生的Frey曲线的“异常”属性。这些属性允许显示关联的Galois表示具有属性需要申请里贝的结果。因此，弗雷曲线不可能是模的。

但Frey曲线是半稳定的，所以Taniyama Shimura猜想Wiles证明，这意味着曲线是模块化。这个矛盾意味着费马方程存在非平凡解的假设一定是错误的，因此费马最后定理已被证明。

Taniyama-Shimura猜想半稳定情形的证明

不太好惊人地（因为这是一项艰巨的工作），证明是相当技术性的。然而，它的轮廓相对简单。在下面，我们假设E是半稳定的 椭圆形与导体N的曲线。我们必须证明E是模的。

我们知道可以构造伽罗瓦表示Phi（E，P^无限）：G->GL（Z）（我认为……不可破译）对于任何素数P。为了证明E是模的，我们必须证明这个表示在适当的意义上是模的。最棒的是，这只需要对一个素数P进行，我们可以“货比三家”，找到最容易使用的素数。

显示Phi（E，P^无穷)是模涉及到在S（N）中找到具有适当属性的归一化特征形式F。所需的特性是，F的特征值，即其傅里叶级数系数，对于除一个有限的，有限的素数Q（（某物，不可破译）G是“Frobenius元素”。）我们知道，对于Q素数到PN，跟踪是系数A=L（E，S）的Dirichlet级数的Q+1-#（E（F））。

最长最硬的部分威尔斯‘工作是证明一个一般结果，即如果Phi（E，P）是模的，那么Phi（E，P^无穷大）也是模的。换言之，要证明E是模的，实际上只需证明Phi（E，P）：G->GL（Z/pZ）是模块化的。这称为“模块化的提升问题”。

问题归结为假设Phi（E，P）是模块化的，并试图“提升”表示为Phi（E，P）。这主要是通过尽可能使用表示理论来完成的，而没有具体参考曲线E。证明使用了一个称为“变形”的概念，它直观地暗示了提升过程中发生的事情。

这部分的结果威尔斯工作是：

定理：假设E是Q上的半稳定椭圆曲线，P是奇素数。假设表示Phi（E，P）既是不可约的也是模的。那么E是一条模椭圆曲线。

在这一点上，我们要做的就是找到一个素数P，使得Phi（E，P）是不可约的模。但Langlands和Tunnell在1980-81年已经证明Phi（E，3）是模块化的。

不幸的是，这还不够。如果Phi（E，3）是不可约的，我们就完成了。但否则，还需要一个步骤。所以假设Phi（E，3）是可约的。Wiles随后考虑了Phi（E，5）。这可能是可约的，也可能是不可约的。如果E是可约的，Wiles直接证明了E是模的。

最后一种情况是如果Phi（E，5）是不可约的。Wiles证明了还有另一条半稳定曲线E'，使得Phi（E'，3）是不可约的，因此根据上述定理E'是模的。但Wiles也可以安排表示s Phi（E'，5）和Phi（E，5）是同构的。因此Phi（E，5）是不可约和模的，因此根据定理E是模的。

版权所有©1996 Charles Daney，保留所有权利（未经许可转载）

我已经电子邮件ed最后一个已知地址那个家伙要求许可。没有回复。我留下这个是希望他或他身边的人有一天会读到这个-告诉别人删除这个，给证明你是谁，这将是完成，没有凌乱 法律诉讼需要。

火锅的对费马的起诉似乎不恰当严厉的请记住费马潦草地写这张便条是他的私人副本丢番图'算术因此，这很可能只是一种无聊的沉思，从来没有打算供大众消费。事实上，费马本人从未发表或公布过这个定理，尽管他做将特殊情况n=3和n=4作为对同事的挑战。旁注是费马的儿子发现并发表的塞缪尔.

根据这些观察结果，费马似乎找到了一个伪造的证据，给自己写了一张便条，后来意识到证据在里面错误然后他就把这件事忘了，因为他从来没有想过会有其他人看到他的笔记，这在我看来非常合理。

然而，反映一个最伟大的谜在历史上数学完全是偶然发生的。如果费马的私人评论没有泄露出去，这个定理可能一直没有被发现，直到年的研究结果出来椭圆曲线几乎可以肯定的是模糊的脚注到数论而没有像费马最后定理那样吸引公众的想象力。

参考: http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html

该条目在书上：费马最后定理通过西蒙·辛格.

西蒙·辛格费马最后定理是一本令人兴奋的书，即使对于那些没有大量数学知识的人来说也是如此。这本书的重点是安德鲁·怀尔斯这是1995年对这一最著名猜想的著名证明，但它也包含了许多引人入胜的旁白。除了一些历史上最伟大的人物的快速传记数学家s是非常奇怪的字符，几乎是一个字符，它包含了大量有趣的历史和数学信息，人们可能会在漫长的步行过程中与感兴趣的朋友联系起来。

x^n个+年^n个=z^n个

上述等式没有整数当n大于2时，x、y和z的解（即1、2、3、4…）是猜想费马的最后一个定理应该已经证明了。当然，因为费马事实上，在使“定理”出名的简短边缘评论中，并没有包括他的推理，只有在100页的篇幅被证明之前，它才被视为一个猜想美国人 数学家 安德鲁·怀尔斯1995年。

虽然上述猜想本身可能并不令人难以置信地有趣或重要，但它以辛格描述的方式与数学的整个分支联系在一起，即使是那些缺乏数学经验的人也能理解。即使是技术性更强的附录，也应该向所有完成高中数学的人开放，不包括微积分或任何高级统计数据。我以前不知道的一个关键点是，费马大定理的证明也与田山秀村猜想（现在也称为定理）。几十年来，数学家一直假设后者是正确的，因此怀尔斯对这两个问题的证明对进一步发展数论和数学做出了重要贡献。

尽管辛格有能力表达数学的重要性，但这本书最重要的一课是不要成为一名数学家：如果你能活到三十岁以上，这在伟大的人中似乎是罕见的，那么你很可能在三十岁之后就不会做任何重要的工作了。数学看来，在这门学科中，经验比年轻人的精力和洞察力更重要。

对于对数学感兴趣的人来说，一个更好的主意可能是读这本书。

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这篇文章改编自我博客上的一篇文章，地址是：http://www.sindark.com/2006/06/20/therems-and-conjustures