三角形中高度的同时性
三角证明

设（ABC）为三角形。使用标准符号，我们表示海拔\（h_a=AH_a\），\（h_b=BH_b\），_（h_c=CH_c\）。

三角形的三个高度是同时的。

首先观察到在直角三角形ABC中，高度确实在直角顶点相交。现在，假设三角形ABC不是直角的，并表示为\（D=h_a\cap h_b\），\（E=h_a\ cap h_c\）。我们希望证明，（D）与（E）一致。

三角形中高度一致性的三角证明图解

三角形\（ABH_a\），\（ACH_a\）是直角的，我们很容易推导

(1)

\（h_a=c\cdot\sin B=B\cdot\sin c\）。

从直角三角形\（ACH_a\），\（ABH_b\）得到

(2)

\（CH_a=b\cdot\cos C，\）\（AH_b=cdot\cos a.\）

三角形\（CEH_a\），\（ADH_b\）也是直角的，因此\（角度ADH_b=角度C），\。从（2）中，我们得到

\（显示样式AD=\frac{c\cdot\cos A}{\sin c}\），\（显示样式EH_A=\frac{b\cdot\ cos c}{\tan b}\）。

设\（x=DE\）。然后，对于高度\（AH_a\），

\（AH_a=AD+x+EH_a\）。

使用（1），可以将其重写为

(3)

\（显示样式c\cdot\sin c=c\cdot \frac{\cos A}{\sin c}+x+b\cdot\frac{\cosC}{\tan b}\）。

接下来，我们应用角和定理在三角形和众所周知的公式中

\（\cos（X+Y）=\cos X\cdot\cos Y-\sin X\cdot\sin Y\），
\（\cos（\pi-X）=-\cos X.）

我们在（3）中首先使用后者和\（X=A=\pi-（B+C）\）来最终得出

\（显示样式x=（b\cdot\cos C-C\cdot\ cos b）\bigg[（1-\frac{1}{\tan b\cdot\tan C}\bigg]\）。

通过（1），第一个因子等于\（b\cdot\cos C-C\cdot\ cos b=h_a-h_a=0\），这意味着根据需要\（x=0 \）。这就完成了证明。

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三角形中高度的同时性三角证明