几何平均数的几何意义
直径为$a\；$的两个圆的公切线长度 和$b\；$ 外部相切的是直径的几何平均值： 
几何平均值在约翰·沃利斯的 第一几何解释 复数： 
在 See-Saw引理 ，如果一个半圆内切在与其直径垂直的两条垂线和长度为$a\；$的半圆切割段的横向切线之间 和$b\；$ 从这两条直线上看，半圆的半径是$a的几何平均值 和$b\；$。 
在 一 最简单的 散乐 正方形内接成直角三角形。 用切除的三角形再刻两步正方形的过程。 将内切圆内接成三个相似的三角形。 让它们的半径为$a\；$$ p、 \；$$ b\；$ 按降序排列，然后是$p\；$ 是$a\；$的平均比例 和$b\；$。 让$AB\；$ 成为圆圈中的和弦 圆上的一个点。 绘制垂线$PQ，\；$$ 公关，$ 和$PS\；$ 从$P\；$ 至$AB\；$ 和$A\；$处圆的切线 和$B$ 然后 $PQ^{2}=PR\cdot PS$ 
让点$C\；$ 和$D\；$ 位于直径为$AB的半圆上 让$E\；$ 是$AC\；$的交集 和$BD\；$ 和$F\；$ $AD$和$BC.\；$的交集 让$EF\；$ 与$G\；$中的半圆相交 和$AB\；$ 单位：$H$ 然后 $GH ^｛2｝=EH\cdot FH$ . 
[ 贝森特 , 几何处理的圆锥截面 《乔治·贝尔父子》，伦敦，1895年，第28页]。 如果从点$Q\；$ 切线$QP，\；$$ QP'；$ 被画成抛物线，两个三角形$SPQ\；$ 和$SQP'\；$$ （S是抛物线的焦点），与$SQ相似 是$SP\；$之间的平均比例 和$SP’$ 
制作$PQ\；$ 与$T中的轴相交，\；$ 并绘制$SY，\；$$ SY'；$ 垂直于切线。 然后$Y\；$ 和$Y'\；$ 是$A处切线上的点。\$ $\开始{align} \角度SPQ&=\角度STY\\ &=\角度SYA\\ &=\角度SQP'， \结束{对齐}$ 自$S、Y'、Y、Q\；$起 是圆上的点，$SYA，\；$$ 平方米'；$ 在同一段中。 此外，由于从任意点到圆锥对角线的切线在焦点处相等，$\angle PSQ=\angle QSP'；\；$ 因此三角形$PSQ，\；$$ QSP’\；$ 类似，并且 $SP:SQ=SQ:SP’$ 如果两个等腰三角形$OTB\；$ 和$OAT\；$ 类似，如下图所示，我们得到一个简单的比例$OT/BO=AO/OT，\；$ 指$OT\；$ 是$AO\；$的几何平均值 和$BO。\$ 
如果公共底角等于$72^{circ}\；$ 我们对 金三角 ; 然而，即使是行人角度，几何平均值也会保持不变。 两个等腰三角形的配置已用于 快速施工 两条线段的几何平均值。 一个后果是 相等面积的别广团引理 是关于此配置中三角形面积的断言： 
即$[BDE]^{2}=[ABD][BCE]，\；$ 其中$[X]\；$ 表示形状$X的面积$ 梯形的对角线将其切成四个三角形： 
其中两个具有相等的面积，例如$X，\；$ 如果其他两个区域的面积为$M\；$ 和$N\$ 然后 $X=\sqrt{M\cdot N}$
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