绝对值

对于实数u，绝对值|u|是从u到原点0的距离。还有其他看起来更正式的定义，但这一个在解决各种各样的问题时非常方便。对于两个实数u和v，|u-v型|是实线上u和v之间的距离。实际上，想象一下拖动整条实线，使v与0重合。这只是v的偏移，不会改变点之间的距离。将u点拖入u-v型而v，正如我们所同意的，为0。现在可以看出u-v型和0，即|u-v |，就是u和v之间的距离。

作为此定义实用性的一个示例，让我们求解此等式：

|x-2 |=5。

在不涉及任何代数的情况下，我们正在寻找一个或多个与2的距离为5的点。看看数字行：

距离2只有两个点。2左边的一是-3。右边的一个是7。

所以，对于任意两个实数u和v，|u-v|是u和v在数线上的距离。好吧，什么是|2 + 5|.现在2 + 5 = 7,当然，7是从7到0的距离，也就是7。你可能会猜到这并不是我想要的。但那是什么？让我们看看。0是7的7个单位。向左看，6个单元中的7个是什么-1，对吗？这意味着|6-（-1）|=7。这是真的，因为6 - (-1) = 6 + 1 = 7.以这种方式继续：

	\|6 - (-1)\|	= 7,
	\|5 - (-2)\|	= 7,
	\|4 - (-3)\|	= 7,
	\|3 - (-4)\|	= 7,
	\|2 - (-5)\|	= 7.

后者表示7=|2-（-5）|=|2+5|，并表示|2+5|=7可以说广播了一个事实，即2和-5在数字行上的距离为7。因此（从上面第二行开始）是5和-2。在绝对值标记内，我们可以更改标记。这是因为距离是一个对称函数：从一点到另一点的距离等于从第二点到第一点的距离。这意味着|u-v |=| v-u|或者，这是相同的，|w|=|-w|。

让我们来解决一个不等式

|x-2 |<| x-4 |。

这里我们寻找的是接近2而不是接近4的点x。同样，如果您在数字行上进行检查，答案会立即出现：x<3。3是2和4之间的中点，因此将接近2的点与接近4的点分开。

形式上，对于u≥0，|u|=u，对于u＜0，|u|=-u。如果你对最后一部分感到惊讶（|u|=-u对于负u），记住在数字前面加一个减号意味着将数字乘以-1，这会改变它的符号。因此，对于负u，-u是正的，当然与0的距离与u本身的距离相同。所以再一次，|u|=|-u|。

现在，让我们尝试使用形式化定义来解决我们的示例。

示例1

解决

|x-2 |=5。

解决方案

绝对值的（形式）定义由两部分组成：一部分用于正数和零，另一部分用于负数。所以首先假设x-2≥0。在这种情况下，5=|x-2 |=x-2。两边加2等于x=7。现在，我们必须检查定义的第二部分。所以假设x-2<0。在这种情况下，5=|x-2|=-（x-2），或5=2-x。两边加上x，减去5即为x=2-5=-3。正如我们已经知道的那样，-3和7的距离是5比2。

示例2

|x-2 |<| x-4 |。

解决方案

就距离而言，这个问题无关紧要：哪些点更接近2而不是4？2和4之间的中间点是3。3左边的任何值都接近2而不是4。解决方案：x<3。从形式上讲，我们必须考虑4种情况：

x-2<0，x-4<0，
x-2≥0，x-4<0，
x-2≥0，x-4≥0。
x-2<0，x-4≥0，

然而，最后一个显然是不可能的，因为总是x-2<x-4。因此，我们需要考虑前三种情况。两种情况的区别在于绝对值定义的哪一部分适用于哪种情况：

x-2<0，x-4<0

2-x<4-x。这是正确的，但是无菌的。它没有提供有助于确定x的有用信息。
x-2<4-x。

从这里开始2x<6或x<3。
x-2<x-4。

这也没用。所以我们只剩下案例2中的一个不等式：x<3，我们知道这是真的。

绝对值有几个属性，其中一些是我们前面遇到过的（我将省略每个属性前面应该重复的“for all”表达式）：

|u|≥0且仅u=0的u|=0。
|u|=|-u|。
|u+v|≤|u|+|v|，并且只有当u和v具有相同符号时才实现相等。
|uv=uv。
如果v≠0，|u/v|=|u|/|v|。
|u-v|≤u-w+w-v|。
|u|<v等于-v≤u≤v，对于正v。
||u|-v||≤u-v|。
√u²=|u|。

为了证明#3，我们需要考虑四种情况，其中u和v分别为正值和负值，否则就很简单了#7只告诉我们到0的距离小于v的点在哪里：它们位于-v和v之间。

#6在#3之后。事实上，为了避免混淆，将后者改写为，|x+y|≤|x|+|y|，然后将x和y替换为u-w型和w-v，分别是。当（u-w）和（w-v）具有相同的符号时，等式成立。只有当w位于u和v之间时，才会发生这种情况。

#8在#6和#7之后。与我们刚才所做的变量更改类似，|u|≤|v|+|u-v|以便|u|-v|≤u-v|。交换u和v，|v|-|u|≤|v-u|=|u-v|。改变标志可以|u|-v|≥-u-v|。现在我们只需应用#7即可获得#8。

#8告诉我们函数f（x）=|x|是连续的实际上是一致连续的。

绝对值

|活动| |联系人| |首页| |目录| |几何图形|

71683797