等边碰撞中的共循环点：这是关于什么的？
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小程序演示了Bui Quang Tuan建议的一个问题：
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点B位于线段AC上。在线段AC的一侧构造两个等边三角形XAB、YBC。证明以下十个点是共环的：
- B、，
- XC和YA的交叉点，
- AC、XC、YA、XB、YB的中点。
- ΔACD的中心U，其中D是AX和CY的交点，
- 五、 S'Q和SP的交点，其中SP是AX的中点，
- W、 T'Q和NT的交点，其中Tp是CY的中点。
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证据1
对于简单的证明，表示K、L、N、P、Q、S、T分别为AY、CX、BX、CY、AC、AB和BC的中点，并设M为AY和CX的交点。
首先观察ΔABY=ΔXBCSAS公司:AB=BX， BY=BC， ∠ABY=∠XBC=120°这意味着围绕B旋转60°会将其中一个三角形映射到另一个三角形上；特别是将AY映射到XC。这意味着两者之间的角度为60°：
根据B相对于中点Q的位置，∠KML为60°或120°。
现在，LQ是ΔACX的中线，所以LQ||AX。类似地，KQ||CY。这意味着∠KQL=60°，因此K、L、M、Q四个点是共环的（M和Q处的角度为被同一段所包含吉隆坡）
再次引用中线的一个性质，NL||BC和KP||AB表示NL||KP。LT||XB（ΔBCX中）和PT||CY（ΔBC中）也是如此，因为XB||CY也是如此，所以LT||PT。因此L、P和T共线。由此可见
类似地，∠NKP=60，使四边形KNLP成为等腰梯形，因此是循环的。此外，∠KPL被同一段KL所对，因此点、K、L、P、Q是共环的，这表明6个点L、N、K、Q、P和M位于同一个圆上。B也属于该圆，因为∠NBP=60°，并且与∠NKP对向同一段。
证据2
Bui Quang Tuan基于以下内容提供了更优雅的解决方案引理:
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设两个圆C（P）和C（Q）在点C和D中相交。穿过C的直线第二次在A处相交，在B处相交。设O为PQ的中点。然后圆心为O到C和D的圆C（O）在中点T处与AB相交。
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为了利用引理，画出两个等边三角形的外接圆。然后，点L、K和Q是共圆的，M和B是通过圆的交点之一（M或B）的直线的中点。实际上，对于N和P以及切线BY和BX的中点（交叉线的极端情况）也是如此。
此外，S'Q||XC和SP||AY因此∠PVQ=60°。这意味着V、B、Q、P是非循环的。同样的论点也适用于W。
最后，考虑U，ΔACD的质心。A处AC的垂线与X'处的外接圆ABX相交，C处AC的垂直线与Y'处的外接圆BCY相交。然后，首先，X'，M，Y'共线。对于CD||XX'||YY'，带有AD的X'Y'的itersection是X'Y''的中点。该点U是ΔACD的质心，因为它与N、A和C、P共线∠ANP=∠CPB=90°意思是B、N、U、P是非循环的，非循环的圆以BU为直径。）
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