三点凯西定理

圆（S）与点A、B、C的外接圆相切_一，英国电信_b条，CT_c与（S）相切。假设M（两个圆的切点）位于圆弧AB中。证明

BC·AT公司_一+交流·BT_b条=AB·CT_c.

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圆（S）与点A、B、C的外接圆相切_一，英国电信_b条，CT_c与（S）相切。假设M（两个圆的切点）位于圆弧AB中。证明

BC·AT公司_一+交流·BT_b条=AB·CT_c.

这个问题只是一个特殊的例子凯西定理其中四个圆中的三个退化为点。不过，我将给出一个独立于凯西定理的证明。

点M为相似中心两个圆圈中的一个。如果A'、B'、C'是AM、BM、CM与（S）的第二个交点，则

A’M/AM=B’M/BM=C’M/CM=ρ/r

其中r和ρ分别是外接圆（ABC）和（S）的半径。由此可见

AA’/AM=BB’/BM=CC’/CM=（r±ρ）/ρ。

（符号的选择取决于外接圆（ABC）在外还是在内（S）。）

另一方面，通过点定理的幂,

AM·AA’=（在_一)²,
BM·BB’=（BT_b条)²,
CM·CC’=（CT_c)²,

这样的话

AM²/（AT_一)²=上午/上午'，
BM²/（BT_b条)²=BM/BB'，
CM²/（CT_c)²=CM/CC’，

暗示

上午/下午_一=BM/BT_b条=CM/CT_c=√ρ/（r±ρ）,

它只显示了所需的身份

BC·AT公司_一+交流·BT_b条=AB·CT_c.

是托勒密应用于四边形ABCM的直接结果：

BC·AM+AC·BM=AB·CM。

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