折纸圆半径

在没有特殊工具的情况下求圆的半径不是一件小事，当然，除非您知道桑加库问题。桑加库，一个数学写字板在日本，是一种繁荣的艺术形式在自我封闭的时期这持续了大约200年。没有人确切地知道这个传统是如何产生的。其目的可能是挑战同时代人或取悦众神。然而，下面的小程序似乎有一个非常具体和实用的应用：用纸张折叠-一种古老的日本艺术形式。

使用GeoGebra创建

解决方案

（更多问题来自寺庙几何.)

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一种解决方案（主要是代数解决方案）取决于纸张折叠算法将线段细分为相等的部分。因此，假设我们得到一张正方形（ABCD）的第一面纸和一个紧贴C角的圆。设X是BC上的一个点k=BX/BC（=BX）。然后我们有：

CP=2k/（1+k），

和来自毕达哥拉斯命题应用于三角形XCP，

XP=（1+k²）/（1+k）。

此外，由于NP=1-XP，

(1)NP=k（1-k）/（1+k）。

（感谢一位非常粗鲁的法国人指出了原始推导中的一个错误。）现在想起在有腿a、b和斜边c的直角三角形中，内半径等于

(2)r=（a+b-c）/2

当应用于三角形XCP时，它正好给出（1）。

因此，如果将角A折叠成点X，使纸的边缘XP接触到给定的圆，突出部分NP将精确给出圆的半径。


折纸圆的半径

Nathan Bowler提出了一种几何解决方案。

观察以X为中心的半径为1的圆与AD相切。根据对称性，以A为中心的单位圆与XP相切。由于它也与BC和CD相切，因此它是D类XCP相对顶点C。设K为圆与XP的切点。然后PK=PD（P的两条切线）和XK=XB（X的两条切线）D类XCP等于

CP+XP+XC=CD+BC=2。

设s=1为三角形的半周长。内半径的公式（2）可以改写为

(2')r=s-c=s-XP=1-XP。

然而，XN=AD=1，因此1-XP=XN-XP=NP。

1893年在福岛县描述这一问题的石碑至今仍保存完好，1967年平山明彦和北海一郎发表了石碑上的描述，参考了早期的手稿，可能书名为Reikan Sanpo Syokia公司(一些问题的纠正)作者：Teisuke Hagiwara。为了便于比较，我把这个证据包括在下面。

三角形NMP是一个直角三角形，并且NM=马克。让r0是三角形NMP的内半径，r是三角形PCX的内半径。然后PX=NX-NP， CP=CD-（NM+MP），第2轮0=NM+NP-MP.自r:CP=r0：NP，

r·NP=r0·CP=r0·CD-r0·（NM+MP），

从r:PX=r0：MP，

r·MP=r0·PX=r0·（NX-NP）。

因此

r·（MP-NP）=r0·（NM+MP-NP）
 =½（NM+NP-MP）（NM-NP+MP）
 =½（NM²-NP²+2·NP·MP-MP²）
 =½（2·NP·MP-2·NP²）
 =NP·（MP-NP），

r=NP。

问题

显然，上述结构是基于折纸公理.可以这样做吗，还是折纸神经症构造？

原来的三八提出了一个有趣的几何问题与纸张折叠泛音。然而，它不应被视为确定圆形物体半径的决定性折纸方式。作为Sam Zbarsky，我的一个年轻亲戚（现在10岁），我们认识了他另一个场合，注意到如果需要，可以通过折纸找到半径，方法简单得多。该方法如下图所示：

工具书类

  1. H.Fukagawa，D.Pedoe，日本寺庙几何问题，查尔斯·巴贝奇研究中心，温尼伯，1989年

    写信给：

    查尔斯·巴贝奇研究中心
    圣诺伯特邮政站272号邮政信箱
    温尼伯，MB
    加拿大R3V 1L6

  2. R.Honsberger，更多数学模型，MAA，1991年，第8-12页

纸张折叠几何

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