共环共线
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数学机器人

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如果applet不运行怎么办？

解释

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下面的小程序从未清收款作者：T.Andreescu和R.Gelca：

设ABC为三角形，D和E分别为AB和AC两侧的点，使得DE与BC平行。设P是三角形ADE内部的任意点，F和G分别是DE与直线BP和CP的交点。设Q是三角形PDG和PFE外接圆的第二个交点。证明点A、P和Q位于一条直线上。

设ABC为三角形，D和E分别为AB和AC两侧的点，使得DE与BC平行。设P是三角形ADE内部的任意点，F和G分别是DE与直线BP和CP的交点。设Q是三角形PDG和PFE外接圆的第二个交点。证明点A、P和Q位于直线上

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如果applet不运行怎么办？

如果A、P和Q共线，则圆有两对正割（正割ADM/APQ、圆DPG和正割AEN/APQ、圆圈PFE）。由相交Secants或点的力量定理（及其逆命题），为了证明A、P和Q共线，就足以证明

AD×AM=AE×AN。

这等价于证明点D、M、E、N是非循环的。然而，更容易证明B、M、C、N是共环的，这意味着

AB×AM=AC×AN。

然后使用DE||BC，即AD/AB=AE/AC，得出AD×AM=AE×AN。

通过构造，点M、D、P、G是非循环的。角DMP和DGP由同一弧对向，因此可以是相等的，也可以是互补的。然而，自DE||BC以来，∠DGP=∠BCP。考虑到角DMP和BDP是互补的，我们看到点B、M、P、C是共环的。类似地，点B、N、P、C也是非循环的，所以所有五个点-B、C、M、N、P-都是非循环的。正如我们已经说过的，这意味着D，E，M，N是非循环的，我们已经完成了。

注意如解所示，P位于ΔADE内部的要求是虚假的。除BC线和DE线外，P在平面上的任何位置都经过构造；该论点对于所有这样的P仍然有效。

工具书类

  1. T.Andreescu、R.Gelca、，数学奥林匹克挑战，Birkhäuser，2004，5第个印刷，1.3.10（第13页）

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