请不要等边三角形

在下面的小程序中，十个点排列在三角形网格中。每个点可以是两种颜色中的一种：橙色或红色。如果相同颜色的三个点的中心形成等边三角形，则三角形显示为蓝色。通过点击这些点，你可以在两种可能的颜色之间切换。任务是找到没有单色三角形的点的着色，或者证明这是不可能的。

此小程序需要Sun的Java VM 2，您的浏览器可能会将其视为弹出窗口。事实并非如此。如果您想看到小程序的工作，请访问Sun的网站：https://www.java.com/en/download/index.jsp，下载并安装Java VM并使用小程序。

如果applet不运行怎么办？

解决方案

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这个问题（称之为问题A）的答案是，总是会有一个单色三角形。配置在问题的解决方案中弹出（称为问题B）自行车往哪边走了？：可以把平面分成两组，这样两组都不包含等边三角形的顶点吗？这两种颜色表示平面被分割成两组。问题A的负解意味着问题B的负解。

我将给出问题A的两个（否定的）解决方案。第一个来自书中。第二个，在我看来有点简单，是自制的。

如果applet不运行怎么办？

解决方案1

假设有一个没有等边单色三角形的构型。在不失一般性的前提下，假设点5是红色的。由于点3、4、9形成等边三角形，因此其中至少有一个必须是红色的，设为4。很明显，2和8必须是橙色的，因为两者都会与4和5形成等边三角形。由于2、8和6形成等边三角形，6必须是红色的，所以3必须是橙色的。但现在如果1是红色，那么点1、4、6代表单色（红色）三角形，如果是橙色，那么三角形1、2、3代表单色。

解决方案2

点2、3、6、9、8、4形成以点5为中心的正六边形。如果所有六个顶点的颜色都相同，我们就完成了。假设两种颜色都存在。有三对截然相反的点：2-9、3-8和4-6。有两种可能性。要么这三对都是单色的，要么其中至少有一对组合了不同颜色的点。在第一种情况下，我们可以假设在不失一般性的情况下，2-9和3-8是红色的，而4-6是橙色的。那么三角形1、4、6是红色的，三角形1、2、3是橙色的。矛盾。在后一种情况下，假设2为红色，9为橙色。因为三角形3、4、9是等边的，所以3和4不能都是橙色的。假设3是红色的。同样，6和8都不可能是红色。因此假设6是橙色的。那么三角形2、3、5是红色的，三角形5、6、9是橙色的。这又是一个矛盾。

请注意，在这两种溶液中，点7和10都不会出现。这是否意味着证明不需要它们？

工具书类

J.Konhauser、D.Velleman、S.Wagon、，自行车往哪边走了？，MAA，1996，#20

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