平行四边形面积
矩形的面积等于其边的乘积。平行四边形的面积等于其一条边的乘积乘以该边与其平行（和相等）配合之间的距离。
习惯上会为平行四边形的面积上的公式图1如下所示：
| (1) | 区域（ABCD） | =面积（AFD）+面积（DFBC） |
| =面积（BGC）+面积（DFBC） |
| =面积（DFGC）。 |
此演示不完整，因为它没有说明图2，显然在上述推导中没有考虑。至少有三种方法可以纠正这种情况。
我们可能会使用暴力[伊夫斯第160页]处理图2分别属于图1:
| (2) | 区域（ABCD） | =面积（DKC）+面积（AFD）-面积（BFK） |
| =面积（DKC）+面积（BGC）-面积（BFK） |
| =面积（DFGC）。 |
我们还可以注意到，当四边形DFBC由两个三角形DKC和BKF组成时，其中只有一个的方向与DFBC的方向匹配。例如，在图2中，DFBC的方向是逆时针的，DKC的方向也是逆时针的；而DFBC引起的BKF的方向是顺时针的。然后我们可以同意考虑签名区域，将负区域归因于顺时针方向的形状。根据这个约定，（2）减为（1）。
第三种方法更基本。其中一个比较突出的形状图2是梯形AGCD。我们可以观察到
| (3) | 区域（ABCD） | =面积（AGCD）-面积（BGC） |
| =面积（AGCD）-面积（AFD） |
| =面积（DFGC）。 |
推论
三角形ABD和ACD是平行四边形中心（对角线的交点）上彼此的反射。因此，它们的面积总是相等的。每个平行四边形的面积是其面积的一半。上述公式如下：
三角形面积=底部×高度/2。
（接下来的另一个演示是等分解。还有更多普通的.)
工具书类
- H.伊夫斯，数学记忆，2001年5月
斯科特·布罗迪的一封信让我想起了希思对欧几里德的评论元素.
| 主题： | 平行四边形的面积 |
|---|
| 日期： | 2002年6月30日，星期日15:55:05-0400 |
|---|
| 发件人： | 斯科特·布罗迪 |
|---|
嗨，亚历克斯--
将现代教科书的处理方式与欧几里得进行比较是有益的（一如既往！）(一.35). 欧几里德只给出了图2（尽管可以肯定，是上下颠倒的）。根据希思的说法，这是他经常练习的一个很好的例子，虽然很简单，但通常只列出最困难的案例，这与我们的现代教科书相去甚远，因为现代教科书似乎通常只处理最简单的案例，如果读者不完全忽略它的话，就把其余的留给读者！
顺颂商祺，
斯科特。
希思在评论I.35时特别说道，
...
众所周知，西姆森（之后克莱罗)稍微修改了证据，使其适用于所有三种可能的情况。替换的变更一从一个相同的区域（梯形AGCD）中减去全等面积（三角形AFD、BGC）的步骤，用于上述两个步骤，即先减去，然后再加上某个面积。
...
像往常一样，普罗克卢斯注意到欧几里德只给出了三种可能情况中最困难的一种情况，并用不同的证明补充了另外两种情况。
...
Proclus观察到，本定理和与三角形有关的类似定理属于所谓的数学悖论定理，因为未被构造的人可能会认为平行四边形的面积不可能保持不变，而除底面以外的边和与之相对的边的长度可能会无限增加。
希思提到的简化直到18岁才被发现，这让我感到惊讶第个世纪。
后来，道格拉斯·罗杰斯（Douglas Rogers）就欧几里德的I.35方法提出了自己的见解（私人交流，2007年6月），这似乎值得额外的赞扬：
亚历克斯，
现在，我想知道你是否考虑过元素I.35，在相同的基础上和相同的基础之间的平行四边形平行线在面积上相等吗？如果是这样的话，那么你可能知道，几个世纪以来，评论家一直在对欧几里德的论点进行大量的抨击，并对不同的案例进行了讨论。
恐怕我根本看不到这一点。让我们同意，在公共基底BC上的平行四边形ABCD和EBCF中，以及在与BC平行的线上的A、D、E、F中，A在沿着该线从左到右读取时排在第一位。如果我们有真正不同的平行四边形，那么BE和CD是不平行的，所以在G处相遇，这与G是否在平行线之间无关。
在所有情况下，我们都将平行四边形分解为成对的全等三角形，这些三角形相互重叠或并列：
ABCD=EAB+CBG-EDG；
EBCF=FDC+CBG-EDG。
主要的反对意见似乎是，欧几里德只处理AD与EF分离的情况，尽管承认这是最困难的情况。然而，我们现在看到，情况远非如此。重要的是要记住，到目前为止，欧几里德只是根据三角形的同余来处理面积相等，因此，如果他要将面积相等的定义扩展到其他多边形区域，毫无疑问，他觉得他需要坚持使用三角形，并置、重叠或截断它们；正如我们从上面的解剖中所看到的，他总是可以做到这一点，尽管他可能必须小心，不要在出现之前删除某些内容，这就是为什么我把加法（并列）放在减法（截断或重叠）之前。
但假设情况仍然存在，我们应该考虑AD和EF重叠，而不是当它们不相交时，因为G不在平行线之间。然后三角形BCD和BCF的位置与欧几里得在I.37中考虑的位置完全相同，在那里他移动到平行四边形ABCD，而不是EBCF，而是FBCE，其中现在AD和FE相等但不相交-当然，三角形EFB、FE和CBF都是全等的。因此，这表明欧几里德很清楚，即使看起来有两种情况，一种情况总是可以通过I.35之前建立的内容转换为另一种情况。
|活动|
|联系人|
|首页|
|目录|
|几何图形|
版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼
