Euler phi函数

对于任何正整数 $n个$ , $\varphi(n)$ 是小于或等于的正整数的数目 $n个$ 哪些是互质到 $n个$ .功能 $\varphi$ 被称为 $\varphi$ 功能。此函数也可以表示为 $\phi$ .

其中最有用的 $\varphi$ 事实就是如此乘法的（表示如果 $\gcd(a,b)=1$ ，然后 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ )还有那个 $\varphi(p^{k})=p^{k-1}(p-1)$ 对于任何素数 $第页$ 和任何正整数 $k个$ 。这两个事实结合起来，给出了以下数值计算 $\varphi$ 对于所有正整数：

\displaystyle\varphi(n)

\displaystyle=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right).

(1)

例如，

	$\displaystyle\varphi(2000)$	$\displaystyle=2000\prod_{p\|2000}\left(1-\frac{1}{p}\right)$
		$\displaystyle=2000\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)$
		$\displaystyle=2000\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4}{5}\right)$
		$\displaystyle=\frac{8000}{10}$
		$\displaystyle=800.$

发件人方程式(1)，很明显 $\varphi(n)\leq n$ 对于任何正整数 $n个$ 在以下情况下保持相等 $n=1$ 。这是因为

\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)\leq 1,

在以下情况下保持相等 $n=1$ .

关于 $\varphi$ 功能是

\sum_{d|n}\varphi(d)=n,

其中总和覆盖所有积极的约数属于 $n个$ 。此外，由定义, $\varphi(n)$ 是环中的单位数 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 属于整数模 $n个$ .

这个序列 $\{\varphi(n)\}$ 在OEIS中按顺序出现http://www.research.att.com/njas/sequences/A000010A000010。

标题	Euler phi函数
标准名称	EulerPhi函数
创建日期	2013-03-22 11:45:11
上次修改时间	2013-03-22 11:45:11
所有者	Wkbj79（1863年）
上次修改者	Wkbj79（1863）
数字id	19
作者	Wkbj79（1863年）
条目类型	定义
分类	理科硕士11A25
分类	理学硕士11-00
分类	骨髓基质细胞14F35
分类	骨髓基质细胞14H30
分类	msc 20F34级
同义词	欧拉指向函数
同义词	欧拉 $\varphi$ 功能
同义词	欧拉 $\phi$ 功能
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