安
-数字数字是总和的
第个权力第个,共个数字被称为一个
-自恋的数字。它有时也被称为阿姆斯特朗数,完美的数字不变量(Madachy 1979),或加上完全数。哈代(1993)写道:“四个数字,在单位之后,是它们的数字立方的总和:
,
,
、和
这些都是奇怪的事实,非常适合拼图专栏,可能会逗业余爱好者开心,但其中没有什么吸引人的地方给数学家。因此,自恋的数字概括了这些“无吸引力”数字到其他权力(马达奇1979年,第164页)。
除了微不足道的1之外,自恋数字的最小例子-数字数字是
![153=1^3+5^3+3^3.](/images/equations/NarcissisticNumber/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
前几个数字由1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、8208给出,9474, 54748, ... (组织环境信息系统A005188号).
很容易看出以10为基数
-自恋数字只能存在于
,自
![n·9^n<10^(n-1)](/images/equations/NarcissisticNumber/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
对于
.事实上,如下表所示,共有88名自恋者如D.Winter在1985年证明并由D.Hoey验证的那样。时间。门德斯奥利维拉·席尔瓦(Oliveira e Silva)在一篇帖子中给出了完整的顺序(第42889条)sci.马赫1994年5月9日。这些数字只存在于1、3、4、5、6、7、8、9、10、11、14、,16、17、19、20、21、23、24、25、27、29、31、32、33、34、35、37、38和39(OEISA114904号)数字和序列最小的自恋数
数字是0、(无)、153、1634、54748、548834。。。(组织环境信息系统A014576号).
![n个](/images/equations/NarcissisticNumber/Inline12.svg) | 以10为基数 -自恋数字 |
1 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
三 | 153, 370, 371, 407 |
4 | 1634, 8208, 9474 |
5 | 54748,92727, 93084 |
6 | 548834 |
7 | 1741725, 4210818, 9800817, 9926315 |
8 | 24678050, 24678051, 88593477 |
9 | 146511208, 472335975, 534494836,912985153 |
10 | 4679307774 |
11 | 32164049650, 32164049651, 40028394225,42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914 |
14 | 28116440335967 |
16 | 4338281769391370, 4338281769391371 |
17 | 21897142587612075、35641594208964132、3587569962250035 |
19 | 1517841543307505039, 3289582984443187032,4498128791164624869, 4929273885928088826 |
20 | 63105425988599693916 |
21 | 128468643043731391252, 449177399146038697307 |
23 | 21887696841122916288858, 27879694893054074471405,27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943 |
24 | 174088005938065293023722, 188451485447897896036875,239313664430041569350093 |
25 | 1550475334214501539088894,1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381,4422095118095899619457938 |
27 | 1212049985663613372405438066,121270696006801314328439376、128851796696487777842012787、1746504644995531377631639254、,177265453171792792366489765 |
29 | 14607640612971980372614873089,19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295 |
31 | 1145037275765491025924292050346,1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915 |
32 | 17333509997782249308725103962772 |
33 | 186709961001538790100634132976990,186709961001538790100634132976991 |
34 | 1122763285329372541592822900204593 |
35 | 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922 |
37 | 1219167219625434121569735803609966019 |
38 | 12815792078366059955099770545296129367 |
39 | 115132219018763992565095597973971522400,115132219018763992565095597973971522401 |
下表给出了前几个基础-
小基数的自恋数
.各种已知自恋人数最多的表格底座Pickover(1995)给出了自恋的列表科宁给出了各种基数的数字。
![b条](/images/equations/NarcissisticNumber/Inline16.svg) | 组织环境信息系统 | 底座- 自恋数字 |
2 | | 1 |
三 | | 1, 2, 5, 8, 17 |
4 | A010344号 | 1, 2, 3, 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243 |
5 | A010346 | 1,2, 3, 4, 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113 |
6 | A010348号 | 1, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, ... |
7 | A010350型 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, ... |
8 | A010354号 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 52, 92, 133, 307, 432, 433, ... |
9 | A010353号 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 41, 50, 126, 127, 468, ... |
一组密切相关的数字将自恋数字推广到
-数字作为总和的数字属于任何单一的权力的数字.例如,4150是一个4-数字总和的数字第5页,共5页权力第个,共个数字.因为位数不等于它们的幂这些数字是不自恋数字。最小的数字是的总和任何它们的数字的单次正幂是1、2、3、4、5、6、,7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 4150, 4151, 8208, 9474, ... (组织环境信息系统A023052号),具有幂1,1,1。。。(组织环境信息系统A046074号).
另一组相关数字是Münchhausen数,这些数字等于每个数字的位数之和电源。
等于
它们的数字的次幂
, 4, ..., 是153163441505488341741725。。。(组织环境信息系统A003321号). 这个
-数字等于
他们数字的次幂(有限序列)叫做阿姆斯特朗数字或正整数,由1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370给出,371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, ... (组织环境信息系统A005188号).
如果-
数字的幂迭代应用于数字的运算
最终返回到
,序列中最小的数字称为
-重复数字不变量.
等于数字的连续幂和的数字由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、89、135、175、518、598、1306、1676、2427、2646798给出(组织环境信息系统A032799号)例如。,
![2646798=2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7。](/images/equations/NarcissisticNumber/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
通过将
数字的次幂
-数字
对于
, 2, ... 是1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2和5、10、17、,26, ... (组织环境信息系统A101337号).