幼儿扑克

让我们将玩家A的数字称为$x\in[0,1]$，将玩家B的数字命名为$y\in[0.1]$。我们假设将军混合战略并计算每个玩家的最佳反应。这种方法与我在战争游戏拼图，但这次的解决方案更复杂。

对于这个解决方案，我将使用与我的解决方案类似的符号和约定婴儿扑克（幼儿扑克的离散版本）。定义玩家的策略如下：

• $p（x）$：球员A将提升如果他们的号码是$x$。
• $q（y）$：球员B将折叠如果他们的号码是$y$。

当两个数字都显示出来时，我们将玩家A的报酬称为$E（x，y）$：
\[
E（x，y）=\开始{cases}
1&\text{if}x>y\\
-1&\text{if}x<y\结束{cases}\]我们不考虑这种情况$x=y$，因为这种情况发生的概率为零。如果我们让$W（x，y）$成为玩家a的赢款，我们可以像对离散问题那样计算这个数量：\[W（x，y）=（1-p（x））E（x，y）+p（x\]当然，$A$在所有随机数$x，y$上的预期奖金平均值就是积分$\bar W=\int_0^1\int_0^1 W（x，y）\，dx\，dy$。

球员B的最佳反应

让我们假设玩家A使用了策略$p（x）$，而玩家B不知怎么地提前知道了这一点，并得到了尽可能好的响应。这种反应应该是什么？对于每个$y$，应选择$q（y）$以最小化A的预期奖金。换句话说，我们应该解决：
\[
q（y）=\arg\underset{q}{\min}\int_0^1\biggl[
（1-对（x））E（x，y）+p（x）\bigl（k（1-q）E（x，y）+q\bigr）\biggr]\，dx
\]右边的表达式在$q$中是线性的，常量项不会影响argmin。因此我们得出结论
\[
q（y）=\开始{案例}
1&\text{if}\int_0^1p（x）（1-kE（x，y））\，dx<0\\0&\text{否则}\结束{cases}\]将[0,1]$中$x\的积分拆分为[0，y]$中的$x\和[y，1]$中$1x\，我们可以替换$E（x，y）$的定义并获得：\开始{align}\整数_0^1 p（x）（1-kE（x，y））\，dx&=\int_0^1 p（x）dx+k\左\\&=（1-k）\int_0^1个p（x）dx+2k\int_0 ^y个p（x）dx\结束{align}所以$q（y）$的最终公式是：

$\显示样式
q（y）=\开始{案例}
1&\text{if}\int_0^yp（x）dx<\frac{k-1}{2k}\int_0^1p（x）dx\\0&\text{否则}\结束{cases}$

这个公式已经告诉了我们很多。如果$k\le1$，则不等式永远不成立，因此$q（y）=0$（总是调用）。如果$k>1$，则$0<\frac{k-1}{2k}<\tfrac{1}{2]$。由于无论$p$是什么，$\int_0^yp（x）dx$都是单调递增函数，因此有一个唯一的$y$可以产生等式。我们推断$q（y）$必须是阈值策略：\[q（y）=\开始{案例}1&\text{if}0\ley<c\\0&\text{if}c<y\le 1\结束{cases}\]其中$c$被选择为$\int_0^cp（x）dx=\frac{k-1}{2k}\int_0 ^1p（x）dx$。所以，如果你的手不好，就折叠起来，如果你手好，就呼叫。有道理！

球员A的最佳反应

让我们假设球员B使用了策略$q（y）$，而球员A不知何故提前知道了这一点，并尽可能做出最佳反应。这种反应应该是什么？对于每个$x$，应选择$p（x）$以最大化A的预期奖金。换句话说，我们应该解决：
\[
p（x）=\arg\underset{p}{\max}\int_0^1\biggl[
（1-p）E（x，y）+p\bigl（k（1-q（y）））E（x，y）+q（y
\]右侧的表达式以$p$表示为线性，常量项不影响argmin。所以我们得出结论
\[
p（x）=\开始{cases}
1&\text{if}\int_0^1\bigl（-E（x，y）+k（1-q（y）））E（x，y）+q（y）\bigr）\，dy>0\\
0&\text{否则}
\结束{cases}
\]将积分拆分为$[0,1]=[0，x]\cup[x，1]$，就像我们在计算玩家B的最佳响应和简化代数时所做的那样，我们得到了比上次更复杂的公式：

$\显示样式
p（x）=\开始{cases}
1&\text{if}\，\，\frac{k-1}{k}（\tfrac{1}{2} -x个)+\int_0^xq（y）dy\\0&\text{否则}\结束{cases}$

这比上次有点棘手，因为不等式的左侧不是$x$中的简单递增函数。它包含一个递增部分和一个递减部分！因此，$A$的最佳反应可能比简单的阈值策略更复杂。然而，我们可以利用这样一个事实，即我们有$q（y）$的公式…

结合两种最佳响应

将球员B的阈值响应代入球员A的最佳响应公式，我们得到：
\[
p（x）=\开始{cases}
1&\text{if}\，\，\frac{k-1}{k}（\tfrac{1}{2} -x个)+\分钟（x，c）<\压裂{k+1}{2k}c \\0&\text{否则}\结束{cases}\]分别计算案例$x<c$和$x>c$，我们推断：
\[
p（x）=\开始｛case｝
1&\text{if}\，\，0<x<\frac{k+1}{2} c（c）-\裂缝{k-1}{2}\\0&\text{if}\，\，\压裂{k+1}{2} c（c）-\压裂{k-1}{2}<x<\压裂{c+1}{2{\\1&\text{if}\，\，\压裂{c+1}{2}<x<1\结束{cases}\]所以球员A仍然使用门槛策略。。。但有两个阈值，而不是一个！现在，我们可以通过将$p（x）$替换回前面推导的公式$\int_0^cp（x）dx=\frac{k-1}{2k}\int_0 ^1p（x）dx$来求解$c$。这相对容易做到，因为$c$总是在间隔的中间部分。即$p（c）=0$。结果是：\[\左（\tfrac{k+1}{2} c（c）-\tfrac{k-1}{2}\右）=\tfrac{k-1{2k}\左[\左（\tfrac}k+1}{2} c（c）-\tfrac{k-1}{2}\右）+\左（1-\tfrac{c+1}{2{\右）\右]\]经过简化，我们得到：\[c=\压裂{（k-1）（k+2）}{k（k+3）}\]我们可以返回并计算玩家A的预期赢款，方法是使用我们导出的最佳策略对$W（x，y）$进行积分。这样做之后，我们发现球员A的预期奖金是：\[\条形W=\裂缝{k-1}{k（k+3）}\]

最佳政策

玩家A的最佳策略是：
\[
\文本{玩家A:}\开始{案例}
\text{raise}&\text{if}0<x<\frac{k-1}{k（k+3）}\\\文本{call}&\text{if}\frac{k-1}{k（k+3）}<x<\frac}k^2+2k-1}{k（k+3）{\\\text{raise}&\text{if}\frac{k^2+2k-1}{k（k+3）}<x<1\结束{cases}\]球员B的最佳策略是：\[\文本{玩家B:}\开始{案例}\文本{fold}&\text{if}0<y<\frac{（k-1）（k+2）}{k（k+3）}\\\文本{call}&\text{if}\frac{（k-1）（k+2）}{k（k+3）}<y<1\结束{cases}\]玩家A的预期支出由以下表达式给出：\[\text{玩家A:}\quad\frac{k-1}{k（k+3）}\quae\text{dollars}的预期支出。\]以下是显示最佳策略的图表：

对于$k=2$的情况，如果$x>0.7$或$x<0.1$，球员A应该提高（虚张声势）。同时，如果$y>0.4$，球员B应该调用，否则折叠。球员A平均每场赢0.10美元。一个有趣的变化是，随着$k$的增加，玩家A开始会更积极地虚张声势，但最终不会虚张声威。

情况$k=3$是特殊的；它对应于玩家A最具攻击性的时候（只要$x<\tfrac{1}{9}\大约0.111$，就会发生虚张声势）。这也恰逢比赛对球员A最有利的时候；预计奖金也为0.111美元。换言之，如果球员A可以选择多少钱？加薪应该是，他们应该选择3美元！当$k>3$且$k$变大时，玩家A变得越来越保守；很少筹款（当胜利几乎可以肯定时）。在此限制中，玩家A的预期支出单调减少，并在限制中收敛到\$0。