Thanos快照

本周的Riddler快递这个问题是对最近上映的《复仇者联盟》大结局的肯定。没有剧透！

塔诺斯是一个全能的超级恶棍，他能折断手指，摧毁宇宙中一半的生物。

但如果有63个塔诺斯，每个人都一个接一个地折断手指怎么办？在地球上75亿人口中，我们能指望有多少人能够幸存下来？

如果有N个Thanose，存活率是多少？

第一件事：如果有$S$Thanos快照，并且一次快照后的生存概率为$p$，那么预计幸存者的比例为$p^S$。如果人口为75亿美元，生存概率为$p=0.5$，如果有$S=63$快照，我们可以计算出预期的幸存者人数：
\[
\裂缝{7.5\乘以10^9}{2^{63}}=8.13\乘以10*{-10}
\]这个数字太小了，几乎肯定不会有幸存者。

更有趣的解释是：但是，如果塔诺斯对这一瞬间没有免疫力呢？毕竟，当塔诺斯咬手指时，宇宙中一半的生物被摧毁了！这应该包括Thanos！因此，当第一个塔诺斯人弹响手指时，剩余的塔诺斯平均有一半会在有机会弹响手指之前被摧毁。

这意味着快照总数$S$是一个随机变量。我们可以递归地计算它的概率质量函数。具体来说，我们将$P_N（s）$定义为在最初有$N$Thanose的情况下出现$s=s$快照的概率。让我们从一些简单的案例开始。

如果没有Thanos，则不会有快照。因此$P_0（0）=1$。
如果至少有一个Thanos，则至少会有一个快照。所以$P_N（0）=0$，$N=1,2，\dots$。

$s$较大值的递归公式如下：
\开始{align}
P_N（s）&=\sum_{k=0}^{N-1}\mathrm{Prob}（k\text{Thanoses survivate first snap}）P_k（s-1）\\
&=\sum_{k=0}^{N-1}\binom{N-1{k}p^{k}（1-p）^{N-1-k}p_{k}（s-1）
\结束{align}此因为如果剩余$s$个快照，那么在第一个快照期间，剩余的$N-1$Thanos有被破坏的风险。幸存的Thanose数量遵循一个二项分布，其中$N-1$次尝试，概率$p$，这解释了为什么$k$在第一次快照中幸存的概率等于$\binom{N-1}{k}p^{k}（1-p）^{N-1-k}$。这种递归可以用数值计算。以下是$p=0.5$和$N=63$的快照分布情况：

因此，很可能会有5美元或6美元的快照。一旦我们知道有多少快照，对宇宙人口的影响与第一种解释相同。因此，宇宙中幸存者的预期比例是$\mathbb{E}（p^S）$，或者：
\[
\mathbb{E}（\text{如果我们有}N\text{Thanoses}，幸存者的分数）=\sum_{s=0}^Np^sP_{N}
\]以下是$p=0.5$时存活分数作为$N$函数的曲线图：

当有63例死亡病例时，预期存活率约为2.22%。因此，初始人口为75亿，我们将平均剩下1.665亿左右。

如果你对这个图的形状感到好奇，我们可以这样近似：在$N$Thanose和$p=0.5$的情况下，大约会发生$\log_2（N+1）$翻转。如果正好发生那么多翻转，幸存者的比例将大约为$（0.5）^｛\log_2（N+1）｝=\tfrac｛1｝｛N+1｝$。这告诉我们，随着$N$变大，幸存者的比例将大致类似于$\frac{1}{N}$，其中$N$是Thanose的数量。这是一个粗略的近似值，但它捕获了正确的渐近行为。

如果您对我为生成此解决方案（和图）而编写的（Python）代码感兴趣，可以在上找到它这里是github.

关于“Thanos快照”的5点思考

迈克尔·布拉尼基 说：

2019年5月1日上午11:31

劳伦特，

有趣的解释！我只是假设一半的人，一半的人（还有一半还没有拍过照片的人）被直接淘汰。有关详细信息，请参阅https://colab.research.google.com/drive/1BaP6Buz6tLKRCm5lT3uvkw0A7OaBuSOO

也可能有其他解释。例如，如果每次快照都会消除一半的Thanos，但在剩余的Thanose中，每个人被消除的可能性是一致的，该怎么办？如果每拍一张照片，就有一半的生命被消灭，而剩下的塔诺西则被归入全人类的统一选择中，那会怎么样？

答复
斯蒂芬·西诺科 说：

2019年5月4日上午8:38

劳伦特，

正如迈克尔指出的那样，没有理由认为塔诺斯人应该受到与其他任何人不同的对待（只是目前更强大）。如果剩余的塔诺斯数量是偶数，那么这些塔诺斯中的一半将被塔诺斯快照摧毁，而不是“平均”。这给出了63个塔诺斯的6个快照（以及剩余人类的1/64）的答案。

迈克尔，

当N不完全是2^k-1时，我们需要答案。对于L=楼层（对数（N，2）），捕捉的数量将为L或L+1，这取决于当有奇数等待捕捉时，每个捕捉中死亡的Thanos数。我的回答是，预期的快照数E（S）是L和L+1之间的线性比率，取决于N与2的各自幂的接近程度（例如，对于6个Thanose，75%的时间有3个快照，25%的时间有2个快照）。人类存活的预期比例E（p）是1/2 ^E（S），完整的解是：

E（p）=（3 x 2^L–N–1）/（2^（2L+1））

答复
1. 劳伦特 说：
  
  2019年5月4日上午10:30
  
  我认为你说话时必须小心。”确切地必须销毁一半的Thanose”。这个问题从来没有明确说明过！你说过塔诺斯不应该被区别对待，但这正是你在做的！你在这里隐含的假设是，塔诺斯是一组实体的一部分，生活在地球上的人类也是如此，每组实体中正好有一半必须被摧毁。
  
  如果这种解释有意义，那么需要有一种明确的方法来确定一个实体属于哪个组。如果一个实体可能属于多个组，那么我们就会产生矛盾。这里有一个反例：假设a组是{Alex，Bob}，B组是{Bob，Charlie}，C组是{亚历克斯，Charlie。没有办法从三组中每一组中精确地删除一个人。因此，这就排除了使用任何我们喜欢的群体，例如“青少年”、“身高超过六英尺的人”、“黑发人”等等……因为这样一来，人们将属于多个群体，我们就会遇到问题。
  
  因此，我们必须有一种明确的方法来将实体细分为组。也许是因为他们的DNA？我想我们会看看不同的物种并把它们分为不同的组？但是什么定义了一个物种？这是否意味着狮虎兽（是的，它们确实存在！）应该被视为老虎还是狮子？狮虎应该是自己的群体吗？或者老虎和狮子应该是同一个群体，因为它们显然可以一起繁殖？没有明显的方法可以做到这一点……不可避免的是，你将面临两个具有不同DNA的实体，你将被迫根据它们的DNA有多不同来决定它们是否属于同一组。如果a和B足够接近，可以被视为同一组，B和C也一样，但a和C太不同，这是一个问题。那么B将同时属于A组和C组，这是一个矛盾。如果你真的想使用DNA，唯一明确的方法就是为每一条独特的DNA链建立一个组。但这将每个人都放在自己的小组中，我们将问题简化为为每个实体掷硬币，看看它们是否被摧毁（这是我解决的问题的版本）。
  
  正如迈克尔所指出的，有许多可能的解释。如果没有具体的指示，就无法确切地知道如何进行。我选择我的解释，正是因为它看起来最公平；每一个实体都有50%的生存机会，无论他们属于哪一个群体。这也似乎最符合《复仇者》电影中塔诺斯的话，因为这是值得的…
  
  答复
马克·法鲁 说：

2019年5月11日上午10:58

劳伦特，你好，

如果我们假设：
–作为护腕的持有者，可以保护自己不受猛击的伤害，而猛击的塔诺在他自己的猛击中幸存下来。
–除（n-1）以外的所有其他因素被淘汰的可能性为50%
–每一个塔诺人只想将人口减半一次–这一愿望在一瞬间得到满足

因此，在每一次拍摄之后，都会有一个新的良性的塔诺，有50%的机会在未来的拍摄中幸存下来…
这增加了每个快照是序列中最后一个快照的概率（因为良性thanos数的概率=剩余thanos总数随每个快照而增加）

你知道如果按照上述假设情况进行，结果会如何吗？

答复
1. 劳伦特 说：
  
  2019年5月11日下午3:55
  
  我不知道你所说的“善良的塔诺斯”是什么意思。你的意思是当他们转身时不会折断的Thanos吗？这里有两个随机过程。第一个是确定将发生多少快照的过程。第二个是确定有多少人在这么多快照中幸存下来的过程。我认为你的建议（每次发生快照时，一些尚未快照的Thanose将退出争用，并且在轮到它们时不会快照）只会影响第一个过程。所以，是的，你的建议将倾向于减少发生的快照数量，从而增加幸存者的数量。
  
  答复

关于“Thanos快照”的5点思考

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