今天的谜题来自谜语人，并且与球形几何形状有关。
一名守护者不断巡逻一颗球形星球，保护它免受威胁其生存的外来侵略者的侵扰。在一个决定性的日子里，警报响起：一对敌对的外星人在地球表面的两个随机地点降落。每个人都有一件武器，如果与另一件结合起来，将立即摧毁这个星球。这两个外星人竞相在水面上的中点相遇，以组装武器。守卫从地面上的另一个随机位置开始，探测两个入侵者的着陆位置。如果她在他们见面之前联系到他们，她可以阻止袭击。
外星人以相同的速度移动。如果守护者的直线速度是外星人的20倍，那么她拯救地球的概率是多少？
这是我对感兴趣的案例的解决方案，其中监护人比入侵者更快。
[显示解决方案]
快速守护者，平坦星球
事实上，一切都发生在一个球体上，这使得事情变得复杂，所以让我们从一个更简单的问题开始：假设世界是平的，我们想知道守护者可能的出发点集，从而拯救地球。假设外星人的起始位置为$A$和$B$，并表示其交会点$M$（$AB$的中点）。让$X$成为$AB$中监护人拦截入侵者之一的位置。如果监护人的速度是入侵者的$q$倍，那么当入侵者到达$X$时，监护人可能已经走了$q$倍增的距离。因此，监护人可能来自的位置集是一个以$X$为中心、半径为$r=\min（AX，BX）$的圆。请参阅下面的插图。
因为监护人更快而不是入侵者（$q\ge 1$），那么监护人也可以在$M$拦截。换句话说，$M$的可能守护起点包含所有其他拦截位置的起点！以下动画显示了案例$q=1.5$。红色圆圈显示了守护者拯救地球的起点集（这是一个半径为$\tfrac{1}{2}q\cdot AB$的圆圈，圆心为$M$）。
快速守护者，球形行星
当地球是球形的时候，事情就会变得有趣起来。在这里，解决方案原则上是相同的，但围绕着一个球体。再次，让$A$和$B$成为入侵者的位置。连接$A$和$B$的最短路径是一个角度为$0\le\theta\le\pi$的大圆。如果$q\ge 1$，监护人保证安全的位置将是球形盖由角度$\tfrac{1}定义{2} q个\θ$。
如果$\tfrac{1}{2} q个守卫者将始终能够拦截入侵者，从而确保一定的安全。如果角度小于$\pi$，则不安全面积与总面积之比为
\[
\frac{\text{不安全区域}}{\text}总区域}}=\frac{2\pi R^2\left（1–\cos（\pi–\tfrac{1}{2} 问\theta）\右）}{4\pi R^2}=\压裂{1}{2}\左（1+\cos（\tfrac{1}{2} 问\θ）\右）
\]
因此，行星被摧毁的概率是$\theta$的函数：
\[
f（θ）=\begin{cases}
\压裂{1}{2}\左（1+\cos（\tfrac{1}{2} q个\theta）\right）&\theta\le\frac{2\pi}{q}\\
0&\θ>\分形{2\pi}{q}
\结束{cases}
\]
注意，如果$1\leq<2$，那么$\frac{2\pi}{q}>\pi$，因此第二种情况永远不会发生；如果守卫者的速度低于入侵者的两倍，行星毁灭总是有可能的！为了计算总概率，我们需要对所有$θ$进行平均，因为入侵者的起始位置分布是随机的。然而，这并不像平均$\theta$那么简单，因为这样做会使分布偏向于较小的$\theta$。因为我们希望球面上的分布是均匀的，角度$\theta$将具有概率分布$p（\theta）=\tfrac{1}{2}\sin\theta$。有关此来源的更多信息，请参阅这篇文章.因此，总破坏概率为
\开始{align}
\int_0^πf（θ）p（θ
&=\int_0^{\min（\pi，\，2\pi/q）}\frac{1}{2}\left（1+\cos\bigl（\tfrac{1}{2} q个\theta\biger）\right）\frac{1}{2}\sin\theta\，d\theta\\
&=\开始{cases}
\裂缝{6-q^2+2\cos\bigl（\tfrac{\piq}{2}\bigr）}{2（4-q^2）}&1\leq<2\\\压裂｛q^2-8-q^2\cos\bigl（\tfrac｛2\pi｝｛q｝\bigr）｝｛4（q^2-4）｝&q\ge 2\结束{cases}\结束{对齐}为了找到安全概率，我们计算$1$减去破坏概率，得到：
$\显示样式
\mathbb{P}（\text{planet is saved}）=\begin{cases}
\裂缝{2-q^2-2\cos\bigl（\tfrac{\piq}{2}\bigr）-6}{2（4-q^2）}&1\leq<2\\\裂缝{3q^2-8-q^2\cos\bigl（\tfrac{2\pi}{q}\bigr）}{4（q^2-4）}&q\ge2\结束{cases}$
这是安全概率与监护人相对速度的函数关系图。
为了回答所问的具体问题，如果守护者的速度是入侵者速度的20$倍，那么地球被拯救的概率是
$\显示样式
\mathbb{P}（行星被拯救}）=frac{149+50\cos（\pi/10）}{198}大约99.27\%
$
因此，有了这么快的守护者，这个星球很有可能免受外星人的袭击！
这里有一个部分解决方案，用于更复杂的情况，即监护人比入侵者慢。
[显示解决方案]
如果监护人更慢的而不是入侵者（$0<q<1$），那么解决方案就不再是一个圆圈，因为可能发生这样的情况：守卫无法在$M$处拦截，但可以沿$AB$在其他点截取。以下动画演示了$q=0.5$的情况。红色的形状显示了守护者拯救地球的起点（这是一个半径为$\tfrac｛1｝｛2｝q\cdot AB$的圆圈，中心位于$M$，以及由画成$a$和$B$的切线段包围的区域）。
不幸的是，从这里开始，情况变得非常糟糕。如果我们把情况映射到一个球体上，那么两边的线段当然不再是直线，但它们也不是大圆圈！为了找到感兴趣的边界，假设从$B$开始的入侵者在$T$被拦截，而监护人从$D$离开。如果我们假设监护人勉强到达$T$，那么弧线$\widehat{DT}$应该是$q$乘以弧线$\ widehat{BT}$。假设$\phi$是固定的，我们将寻找可能的最大$\psi$，以便存在一些$\tau$，从而使$D$及时达到$T$。
经过一些难懂的数学运算，我们可以如下解出$（\phi，\psi）$集：修复$\phi$，然后解出$\tau$，这样$\tan（\tau-\phi）=q\tan（q\tau）$。如果关联的$\tau$大于$\tfrac{1}{2}\theta$，那么只需设置$\tau=\tfrac}{2{theta$。然后，找到$\psi$，使$\cos（\tau-\phi）\cos\psi=\cos。
因此，对于每个固定的$\phi$，我们可以使用上述过程来查找$\tau$和$\psi$。通过对称性，我们可以在另一侧重复，以获得截获入侵者留下$A$的曲线部分。不幸的是，这些方程不允许解析解，所以必须用数值方法求解。我们可以想象这个区域的样子，但似乎没有一种很好的方法来求解它的边界或计算它的面积。然而，这里有一个“安全区”的图示，在这种情况下，监护人可以拦截入侵者，$q=0.5$。
