标签：随机游走

缓慢的汽车追逐

本周的小提琴手这是一个关于概率的问题，也是一个缓慢的汽车追逐！

你和你的追赶者在相隔一个街区的红绿灯前停下，如下所示。对于这两辆车，到达每一个随后的指示灯都需要1分钟的时间，并且到达时任何指示灯都有50%的几率变为红色（与之前发生的情况无关）。如果灯是红色的，你必须等一分钟，然后它变绿。你到达城市极限而不被追捕者抓住的概率是多少？

额外学分
在与之前相同的场景中，想象有无限多的灯光。平均需要多少分钟才能被抓到？

我的解决方案：
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翻身走向胜利

本周的Riddler经典关于一个自相矛盾的造币游戏：

你有两个公平的硬币，标记为A和B。当你掷硬币A时，如果正面朝上，你得到1分，但如果反面朝上，则你失去1分。硬币B的价值是硬币B的两倍——当你掷硬币B时，如果它正面朝上，你会得到2分，但如果它反面朝上，则你会失去2分。

要玩这个游戏，你总共要做100次翻转。对于每一次翻转，你可以选择其中一枚硬币，并且你知道之前所有翻转的结果。为了获胜，你必须以正总分结束比赛。在你看来，以2分结束比赛就像以200分结束比赛一样好——任何积极的分数都是一场胜利。（同样，以0或-2分结束比赛与以-200分结束比赛一样糟糕。）

如果你优化策略，你会赢得多少比赛？（记住，一场比赛由100次掷硬币组成。）

额外学分：如果硬币A不公平（但硬币B仍然公平）怎么办？也就是说，如果硬币A的正面概率为p，并且你优化了策略，那么你会赢得多少比赛？

这是我的解决方案：
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疯狂的鸭子

本周的Riddler经典是关于晶格上的随机行走：

两只神志不清的鸭子在池塘里很难找到彼此。池塘里正好有一个3×3的岩石网格。

每分钟，每只鸭子都会独立于另一只鸭子随机地从一块岩石游到邻近的岩石，以3×3的网格排列——向上、向下、向左或向右，但不是对角。因此，如果一只鸭子在中间的岩石上，它接下来会游到四块岩石中的一块，概率为1/4。它从一块侧岩游向两块相邻的角岩中的一块，或游回中间的岩石，每一块概率为1/3。从一块角石上，它将以1/2的概率游向两块相邻的边石中的一块。

如果鸭子都从中间的岩石开始，那么平均需要多长时间才能再次到达同一岩石？（当然，在第一分钟后，他们有1/4的机会朝同一方向游，在这种情况下，他们只需要一分钟就可以再次到达同一块岩石。但如果他们碰巧一直彼此错过，可能需要更长的时间。）

额外学分：如果有三只或更多的鸭子怎么办？如果他们都从中间的岩石开始，平均需要多长时间才能再次回到同一岩石上？

这是我的解决方案：
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幸运的德比

本着肯塔基赛马的精神谜题是关于一种特殊类型的赛马。

号角响起，20匹马向第一届年度幸运赛马会的出发门驶去。这些马都是在神秘的谜语人马厩训练的，很特别。每一秒，每一匹经过Riddler训练的马都要迈一步。每一步正好一米长。但这些马表现出的精确性，它们缺乏方向感。大多数时候，他们的步伐是向前的（朝向终点线），但其余时间他们是向后的（远离终点线）。作为Lucky Derby的狂热粉丝，您对这20位参赛者进行了详尽的研究。你知道，一号马前进52%，二号马54%，三号马56%，以此类推，直到最喜欢的小雌马，二十号马，90%的时间都在前进。马步是相互独立的，终点线距离起点200米。

阻止这场比赛并下注！换言之，每匹马获胜的几率是多少（百分之一是好的）？

这是我的完整推导（长！）：
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对于tl；博士，答案是：
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致命的棋盘游戏

这个Riddler经典拼图涉及决策和概率的组合。

当你在仲裁王国旅行时，你被指控犯有令人发指的罪行。仲裁庭不是通过法庭系统，而是通过棋盘游戏来决定谁有罪或无罪。它是在一个简单的板上播放的：一个带有从0到1000的连续空格的曲目。零位标记为“开始”，您的代币放在上面。您将获得一个六面骰子和三枚硬币。您可以将硬币放在三个不同（非零）的空格上。硬币一旦放置，就不能移动。

放置三枚硬币后，你掷骰子并将令牌向前移动适当数量的空格。如果移动令牌后，它落在一个有硬币的空格上，则您将被释放。如果没有，请再次滚动并继续前进。如果您的令牌通过了所有三个硬币而没有落在一个硬币上，那么您将被处决。你应该把硬币放在哪三个空格上，以最大化你的生存机会？

额外积分：假设有一条额外的规则，你不能把硬币放在相邻的空格上。现在理想的位置是什么？最糟糕的广场怎么办？如果你在玩殉道游戏，你应该把硬币放在哪里？

这是我的解决方案：
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带端点的随机行走

这个谜语人帖子因为今天是一场酒吧游戏，你掷硬币，根据结果向前或向后移动。问题是：

考虑一个热门的新酒吧游戏。它是用一枚硬币在你和朋友之间玩的，在一条从负无穷到正无穷的数字线上。（这是一个非常非常长的条。）你被分配了一个中奖号码，负整数-X，而你的朋友被分配了自己的中奖号码（正整数+Y）。一个标记被放置在数字行的零处。然后，硬币被反复翻转。每次硬币正面落地时，标记都会向正方向移动一个整数。每次硬币落在尾部时，标记都会向负方向移动一个整数。如果硬币先达到-X，你就赢了，而如果硬币先达到+Y，你的朋友就赢了。（胜利者保留硬币。）

你能在酒吧里扔硬币坐多久？换句话说，在一场完整的比赛中，预期的掷硬币次数是多少？

这是我的解决方案：
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这里有一个更巧妙的解决方案，由丹尼尔·罗斯:
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