爱丽丝、鲍勃和凯莉一起出发，以不同的恒定速度回家。 一旦三个人都回家了，他们就可以吃煎饼了！ 爱丽丝10分钟就能走回家，鲍伯20分钟就能走，凯莉30分钟就能走。 幸运的是，他们中的任何人都可以背着其他人，而不会降低自己的行走速度。 假设他们可以把某人抱起来，放下，然后瞬间改变方向。 他们吃煎饼最快的速度是什么？
额外学分 现在有第四个：迪。 迪是最慢的，步行回家需要60分钟。 和以前一样，任何人都可以带其他人，在每个人都回家之前，他们不会吃煎饼。 这种情况发生的最快速度是什么？
标签： 逻辑
你能保留你的弹珠吗？
有四大袋大理石。 它们被标记为红色、绿色、蓝色和组合。 你想买两袋没有搭配的大理石，你可以选择红色、绿色或蓝色的组合。 然而，有人调换了所有四个袋子上的标签，以至于每个袋子的标签都不正确。 你可以从任何一个袋子中抽取两个弹珠，一次一个。 有没有一个挑选策略可以保证你会买两个不分类的袋子？
从标有ASSORTED的袋子里挑选一颗大理石。 在不失一般性的前提下，假设这个大理石是红色的。由于所有袋子的标签都不正确，所以这个袋子不能装各种大理石，因此是红色大理石袋子。 从袋子中挑选一个与我们在上一步中找到的大理石颜色标签相同的大理石。 在这种情况下，袋子的标签是红色。这个袋子可以装红色、蓝色或绿色的大理石。 如果我们在红色袋子里发现了红色大理石，那么这个袋子里一定有各种各样的大理石，因为我们已经识别了红色大理石袋子。 因此，其他三个袋子（组合的、蓝色的、绿色的）必须包含非组合的大理石，所以请购买其中的任意两个。 如果我们在红色的袋子里发现一颗蓝色的大理石，那么这个袋子里一定有蓝色的或各种颜色的。 让我们问一个问题：绿色大理石在哪里？ 它们不能放在ASSORTED袋子（因为里面有红色）、红色袋子（因为我们从里面拿出了一个蓝色大理石）或绿色袋子（因为所有袋子的标签都不正确）。 这使得蓝色袋子成为唯一的可能。 因此，我们可以安全地购买标有ASSORTED和BLUE的袋子。 如果我们在红色的袋子里发现了绿色的大理石，那么这个袋子里一定有绿色的或什锦的。 与前一种情况类似，蓝色大理石必须放在绿色袋子里。 因此，我们可以安全地购买标有ASSORTED和GREEN的袋子。
决定性的羞怯
Martina和Olivia各自秘密生成自己的随机实数，统一选择在0和1之间。 从玛蒂娜开始，他们轮流宣布（以便对方能够听到）他们认为谁的人数可能更多，直到他们第一次同意为止。 在整个过程中，它们各自的数字不变。 例如，他们的对话可能如下：
玛蒂娜：我的号码可能更大。
奥利维亚：我的数字可能更大。
玛蒂娜：我的号码可能更大。
奥利维亚：我的数字可能更大。
玛蒂娜：奥利维亚的数字可能更大。
他们是一个团队，希望最大限度地提高他们正确预测谁拥有更多数字的机会。
对于任意一轮随机生成的数字，他们达成一致的人确实拥有较大数字的概率是多少？
额外学分：玛蒂娜和奥莉维亚改变了规则，所以当奥莉维亚第一次说她同意玛蒂娜时，他们就停止了。 也就是说，如果玛蒂娜在轮到她时说她同意奥利维亚的意见，那不是停止的条件。 再说一次，如果他们玩最大化机会的游戏，他们同意的人真的拥有更大数字的概率是多少？
如果允许制定战略
轮到$n=1,2，dots$时，Martina说如果她的数字大于$\tfrac{n}{n+1}$，那么她的数字是最大的。 奥利维亚也这样做。 游戏继续进行，直到其中一名玩家未通过比较测试。 大多数情况下，数字较小的玩家首先失败，并同意其伙伴的主张，从而产生正确的结果。
Martina首先以二进制形式输入数字。例如，如果她的数字是$0.6875$，那么： \开始｛align｝ 0.6875 &= 0.5000 + 0.1250 + 0.0625 \\ &=\tfrac{1}{2^1}+\tfrac}{1}{2^3}+\tbrac{1{2^4}\\ &=0.1011000\点\文本{（二进制）} \结束{对齐} 轮到$n$时，玛蒂娜说出了她的数字的$n^\text{th}$二进制数字。 例如，Martina和Olivia可以提前同意，响应“我的数字较大”对应$1$，而“你的数字较小”对应$0$。 奥利维亚只是鹦鹉学舌地模仿玛蒂娜最近的话，这样比赛就不会结束。 一旦积累了足够多的马蒂娜数字的二进制数字，奥利维亚就会准确地知道马蒂娜的数字，从而确定谁的数字最大。 既然奥利维亚可以选择比赛的结束时间和方式，她可以等待玛蒂娜说出真相，然后奥利维亚就可以通过同意玛蒂娜的意见来结束比赛。
如果禁止制定战略
由于$x\gt\frac{1}{2}$，玛蒂娜将首先说她认为自己的数字最大。 此时，玛蒂娜认为奥利维亚的数字是$y\in[0,1]$（无事先信息）。 同时，奥利维亚相信玛蒂娜的数字是$x\in（frac{1}{2}，1]$，因为玛蒂娜刚才说的。 现在，奥利维亚的回应将取决于她自己的数字。 如果$y\lt\tfrac{3}{4}$（她相信玛蒂娜的数字的中点），奥莉维亚会同意玛蒂娜，比赛结束。 在这一点上，大家唯一知道的是$x\in（\frac{1}{2}，1]$和$y\in[0，\frac}3}{4}）$。游戏结束时，大家一致认为Martina的数字是最大的。这是正确的概率是多少？给定一个统一点$（x，y）\in（\frac{1}}{2{，1]乘以[0，\frac{3}{4]）$，$x\gty$的概率是什么？ 我们可以用图形来解决这个问题。 在下图中，我们看到蓝色阴影区域占据了红色矩形的$\frac{11}{12}$。 
假设$y\gt\tfrac{3}{4}$。 然后奥利维亚不同意玛蒂娜的观点，比赛继续进行。 此时，玛蒂娜知道$y\in（\tfrac{3}{4}，1]$，而奥利维亚仍然只知道$x\in（\fracc{1}{2}，2]$。因此，我们的情况与第一步类似，除了现在我们正在检查是否同意奥利维亚的数字是最大的。在这种情况下，如果$x\lt\fracc}{7}{8}，玛蒂纳将结束游戏 $，否则继续。 给定一个统一点$（x，y）\in（\frac{1}{2}，\frac{7}{8}）\times（\frac}3}{4}，1]$，$y\gtx$的概率是多少？我们可以用图形再次回答。这个形状与前一个类似，并且再次占据红色矩形的$\frac{11}{12}$。 
继续以这种方式，我们得到了分形！ 区域不断缩小，最终平铺整个$[0,1]\times[0,1]$平方。 以下是完成后的形状： 
看起来像是由 sim卡 ! 由于每个矩形的$\frac｛11｝｛12｝$区域都有阴影，并且正方形完全用类似的矩形平铺，这意味着整个正方形的$\frac｛11｝｛12｝$区域都有阴影，这是问题的最终答案。
超越狮身人面像
狮身人面像会问你四个看似武断的真假问题，而你对此一无所知。 在问第一个问题之前，你正好有1美元。 对于每个问题，你可以用任何非负数的钱来下注，这样你就能正确回答。 也就是说，你可以在零和当前的钱数之间下注任何实数（包括分数）。 在你的每一个答案之后，狮身人面像都会给出正确的答案。 如果你是对的，你就赢了你下注的钱； 如果你错了，你就输掉了赌注。
然而，有一个陷阱。 （狮身人面像不总是这样吗？）连续三个问题的答案永远不会一样。
有了这些信息，无论最终的答案是什么，你能确定你能赢的最大金额是多少？
额外加分：这个谜语可以概括为斯芬克斯人面像问了N个问题，所以对于连续的Q个问题，答案是不一样的。 在N和Q方面，您的最高保证奖金是多少？
在第一个问题上，回答任何问题（无关紧要）并下注0。 记录连胜长度$q$，即狮身人面像连续回答了多少次相同的问题，以及剩余的问题数，我们称之为$n$。 在接下来的每个问题中，回答与最近一个问题的正确答案相反的问题。 这确保了如果狮身人面像想让你再次失败，她必须延长连胜。 您还应该下注当前总金额的以下部分： \[ \开始{cases} 0&\text{if}n+q\ltQ\\ \压裂{2F^ {问题1}_ {n+1}}{F^ {问题1}_ {n+1}+F^ {问题1}_ {n} +\cdots+F^ {问题1}_ ｛n-（Q-Q）+2｝｝-1&&text｛if｝n+Q\geq Q \结束{cases} \]
还有多少问题，我们称之为$n$。 最初，$n=n$。 当前的连续应答长度，我们称之为$q$。 例如，如果狮身人面像的最后几个回答是（…，假，真，假，假），那么$q=2$，因为末尾有两个错误。 最初，$q=0$。 问题中给出的条纹长度限制$Q$。 这意味着狮身人面像永远不会以相同的方式连续回答$Q$次。 在这个问题中，我们假设$Q\geq 2$。
基本案例
一般情况
求解递归
随时间增长
在旋转的桌子上翻四分之一
有一张正方形的桌子，每个角落都有四分之一。 桌子在窗帘后面，因此不在你的视线之内。 你的目标是让所有的季度都领先——如果在任何时候所有季度都领先，你会立即被告知并获胜。
影响四分之一的唯一方法是告诉窗帘后面的人翻转你想要的四分之一和你指定的角落。 （例如，“翻转左上四分之一和右下四分之一”或“翻转所有四分之一。”）翻转四分之一总是会将其从正面更改为反面，或从反面更改为正面。 然而，在每个命令之后，表都会随机旋转到一个新的方向（您不知道），并且在再次旋转之前必须给出另一条指令。
你能找到一系列的步骤来保证你在有限的移动次数内将所有的四分之一都抬起头来吗？
虽然有$2^4=16$不同的方式将四分之一的四分之一以头部（H）和尾部（T）的组合排列在桌子的四个角上，但如果一个位置可以通过旋转从另一个位置到达，那么这两个位置可以视为一个，因为在桌子旋转后无法区分它们。 实际上只有6个不同的位置： 所有头部：（H、H、H和H）。 这是获胜位置 所有尾部：（T、T、T和T）。 相反的封头：（H，T，H，T）。 此位置有两种配置。 一个头部：（H，T，T，）。 此位置有4种配置。 单尾：（T，H，H，）。 此位置有4种配置。 一次两个：（H，H，T，T）。 此位置有4种配置。
虽然我们也可以做出2^4-1=15$的不同动作（减去一，因为我们排除了你什么都不弹的动作），但旋转同样使这些动作中的几个动作等效。 实际上只有五种不同的可能动作： 翻转四分之一（one） 翻转两个相反的四分之一（OPP） 翻转两个相邻的四分之一（ADJ） 翻转四分之三（TRI） 翻转所有四分之一（all）
制胜战略
我们在（T，T，T）吗？ 尝试（ALL）找出答案。 如果比赛继续下去，我们一定不能进入（T，T，T）。 我们在（H，T，H，T）吗？ 执行（OPP）以逃跑。 如果游戏继续，我们将移动到（T，T，T）。 重复步骤1以测试这是否属实。 如果比赛继续，我们就不能进入（H，T，H，T）。 我们在（H，H，T，T）吗？ 做（ADJ）逃跑。 如果游戏继续进行，我们将移动到（T，T，T）或（H，T，H，T）。 重复步骤1-2以测试这是否属实。 如果比赛继续，我们就不能进入（H，H，T，T）。 通过消去，我们必须在（T，H，H，）或（H，T，T，）中。 做（一）逃跑。 如果游戏继续，我们将移动到（T，T，T），（H，T，H，T）或（H，H，T，T）。 重复步骤1-3以测试这是否属实。
伪造的秘密消息
目标是解码两个方程式。 在每一个字母中，每个不同的字母代表不同的数字。 但这两个方程都有一个小问题。 在第一个等式中，字母意外地被弄脏，现在无法阅读。 （以下用破折号表示）但我们知道所有10位数字，从0到9，都出现在等式中。
什么数字属于什么字母，什么是破折号？ 在第二个方程式中，方程式中的一个字母错了。 但我们不知道是哪一个。 是哪一个？
第一个问题
第二个问题
将4改为6（即K应该是Y） 将3改为5（即D应该是B） 将9改为7（即T应该是H）
解决方案摘要
将4改为6（即K应该是Y） 将3改为5（即D应该是B） 将9改为7（即T应该是H）
巨魔和矮人
一个巨大的巨魔捕获了10个矮人并将他们锁在他的洞穴里。 那天晚上，他告诉他们，早上他将根据以下规则决定他们的命运：
这10个小矮人将从最矮到最高排成一列，这样每个小矮人都可以看到他前面所有的矮矮人，但看不到他后面的高矮人。 一个白色或黑色的圆点将随机地放在每个侏儒的头顶上，这样侏儒就看不到自己的圆点，但他们都能看到所有矮矮人的头顶。 从最高的开始，每个侏儒都会被问及他的圆点的颜色。 如果侏儒回答错误，巨魔会杀死侏儒。 如果侏儒回答正确，他将被魔法般地立即送到遥远的家中。 在场的每个侏儒都能听到前面的答案，但听不到侏儒是被杀死还是被魔法释放。
小矮人有时间计划如何最好地回答。 应该使用什么策略才能让最少的矮人死亡，以及使用该策略可以拯救的最大矮人数量是多少？
额外学分：如果只有五个矮人怎么办？
最高的侏儒数着他前面看到的黑点数量。 如果有奇数，他会说“黑”，如果有偶数，他就会说“白”。 当然，最高的侏儒所说的话与他自己圆点的颜色无关，所以最高的侏儒可能会死。 第二高的矮星也会计算前面的点的奇偶性。 如果奇偶校验与最高的矮星表示的奇偶校验相同，那么第二个矮星的点必须是白色的。 否则，它必须是黑色的。 第二个侏儒说出了自己圆点的颜色。 第三高的矮矮星也计算前方点的奇偶性。 根据前两个答案，他可以推断出自己圆点的颜色，也会说出正确的话。 这以类似的方式继续下去，直到每个人都完成。 当我们完成后，只有最高的侏儒必须冒险； 所有其他人都会正确猜出他们的点颜色并存活下来。
诚实的王子
你是王国里最合适的单身女子，你决定嫁给一位王子。 国王邀请你去他的城堡，这样你可以从他的三个儿子中选择。 大王子很诚实，总是说实话。 最小的王子不诚实，总是撒谎。 中间王子很淘气，有时会说实话，其余时间都在撒谎。 因为你将永远与其中一位王子结婚，所以你想嫁给最年长的（说真话的）或最年轻的（说谎者），因为至少你知道自己的立场。 但有一个问题：你不能仅仅通过看一眼就把王子们区分开来，而国王只会给你一个“是”或“否”的问题，你只能向其中一个兄弟提问。
你能问什么“是”或“否”的问题来确保你不会嫁给中间王子？
太空竞赛
两名球员坐在一张方桌旁。 第一个玩家将一枚硬币放在桌上，第二个玩家将硬币放在桌子上，然后他们继续一枚接一枚地放置硬币，唯一的条件是不允许硬币接触。 获胜者是将最后一枚硬币放在桌子上的人，这意味着他或她将填充其他硬币之间的最后剩余空间。
桌子必须比一枚硬币大，所有放置的硬币必须大小相同。 如果球员发挥最佳，两名球员中的一名一定会赢吗？ 如果是，获胜策略是什么？
缠结的电线
有N根电线从钟楼的顶部一直延伸到一楼。 但是，正如电线往往做的那样，这些已经变得无可救药地纠结在一起。 幸好顶层的电线都贴上了标签，从1到N。而底部的电线却没有。 （回想起来，有人可能早该料到会发生一两起纠纷。）
您需要确定哪根接地导线的末端对应于哪根顶层导线的末端。 （大部分电线都藏在墙后，所以你不能简单地解开它们。）在一楼，你可以把两个电线头绑在一起，你可以随意多扎几对。 然后你可以走到顶层，使用电路检测器检查塔顶的任何两根电线是否连接。 为了正确标记底部的所有电线，您需要到塔顶的最少行程是多少？
$A=2$和$（2,4）$位于第一个列表中，我们在其中使用了$（A，B）$。 所以B美元=4美元。 $B=4$和$（4,6）$在第二个列表中，我们使用了$（B，C）$。 所以$C=6$。 $C=6$和$（1,6）$在第一个列表中，我们使用了$（C，D）$。 所以$D=1$。 $D=1$和$（1,5）$在第二个列表中，我们使用了$（D，E）$。 所以$E=5$。 $E=5$和$（5,7）$在第一个列表中，我们使用了$（E，F）$。 所以$F=7$。 $F=7$和$（3,7）$在第二个列表中，我们使用了$（F，G）$。 所以$G=3$。