标签：圆锥曲线

假设ram在时间$t$的路径与农夫的路径成角度$\alpha（t）$。首先，请注意ram覆盖的总$y$-距离必须为$1-b$。但我们也可以通过将ram的路径投影到$y$-轴上来找到这一点。换句话说：
\[
1-b=\int_0^1 v\，\cos\alpha（t）\，dt
\]其次，改变参照系，让我们想象公羊在直线上移动，始终看到农民。农民动作的一个部分有助于缩短他与公羊的距离，而另一个部分则不影响距离。农民所走的总距离在柱塞方向可以通过将农民的（现在弯曲的）路径投影到公羊的路径上来找到。公羊的距离$v$与农民的投影距离之差等于它们最终到达同一地点时的初始距离：
\[
\sqrt{（1-a）^2+b^2}=v-\int_0^1\cos\alpha（t）\，dt
\]即使我们不知道$\alpha（t）$，我们也可以将一个方程替换为另一个方程，以消除积分并求解$v$！结果是方程式：
\[
v^2-\sqrt{（1-a）^2+b^2}\，v-（1-b）=0
\]求解$v$的二次方程（去掉负解，因为ram的速度是正的），我们得到了解：
\[
v_\text{ram}=\frac{1}{2}\左（\sqrt{（1-a）^2+b^2}+\sqrt}（1-a）^2+（2-b）^2}\右）
\]如果我们通过设置$a=b=0$将此公式专门化为从西南门开始的ram，我们将获得黄金比例:

$\显示样式
（\text{Ram speed}）=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\约1.618
$

我将首先推导出追击曲线的方程，然后我将展示一些漂亮的图片——等等！

解决方案详细信息

我们将使用与第一个解决方案中相同的坐标设置，再次假设ram从$（a，b）$开始。假设ram在时间$t$的位置是$（x（t），y（t））$。从现在开始，我们只需编写$x$和$y$，以保持符号干净。我们得到了两条信息：公羊总是向农夫移动，公羊的速度是恒定的（我们称之为$v$）。我们可以将其写成：
\[
\frac｛dy｝｛dx｝=\frac｛t-y｝｛1-x｝
\qquad\text｛and｝\cuad
v\，t=\int_a^x\sqrt{1+\left（\frac{dy}{d\xi}\right）^2}\，d\xi
\]第一个方程形成斜率（见上图），而第二个方程表示弧长公羊划出的曲线应为农民所走距离的$v$倍。一个可能是诱惑替换并消除$\frac{dy}{dx}$，但剩下的等式仍然有$x、$$y、$和$t，$，所以这对我们没有帮助。相反，将$t$从第一个等式中分离出来，并将其替换为第二个等式，以获得
\[
y+（1-x）\压裂{dy}{dx}=\压裂{1}{v}\int_a^x\sqrt{1+\左（\压裂{dy}{d\xi}\右）^2}\，d\xi
\]我们现在有一个单一的方程，它将$y$和$x$关联起来，不依赖于$t$！根据$x$区分两边，让$w=\frac{dy}{dx}$。结果如下可分离常微分方程
\[
（1-x）\压裂{dw}{dx}=\压裂{1}{v}\sqrt{1+w^2}
\]此ODE的一般解决方案具有以下形式
\[
w=\frac{1}{2}\左（C（1-x）^{-1/v}-C^{-1}（1-x）^{1/v}\右）
\]其中$C$是一个取决于初始条件的常数。我们可以使用以下事实来求解$C$：当$t=0$时，我们有$x=a$和$w=b/（a-1）$。结果是
\[
C=（1-a）^{-1+1/v}\左（-b+\sqrt{（1-a，^2+b^2}\右）
\]现在回想一下$w=\frac{dy}{dx}$，这样我们可以再次积分以获得$y$作为$x$的函数，即ram的路径。我们也有初始条件$y（a）=b$。我会把代数留给你……结果是
\开始{align}
y=b&+\压裂{1}{2}\左[
\压裂{b-\sqrt{b^2+（1-a）^2}}{1-1/v}\左（\左（\frac{1-x}{1-a}\右）^{1-1/v}–1\右）\右\\
&\qquad\qquad+\左。\压裂{b+\sqrt{b^2+（1-a）^2}}{1+1/v}\左（\左（\frac{1-x}{1-a}\右）^{1+1/v}–1\右）
\右]
\结束{align}所以现在我们什么都知道了！要确定公羊在何处拦截农夫，请设置$x=1$并获取
\[
y_\text｛final｝=\frac｛-b+v\sqrt｛（1-a）^2+b^2｝｝｛v^2-1｝
\]如果我们知道公羊几乎没有按时到达东北门$（1,1）$，那么设置$y_text{final}=1$并求解$v$。简化后的结果是
\[
v_\text{ram}=\frac{1}{2}\左（\sqrt{（1-a）^2+b^2}+\sqrt}（1-a）^2+（2-b）^2}\右）
\]这与我们使用第一种方法得到的结果完全相同！

很酷的图片！

因为我们有一个$y$与$x$之间的显式公式，所以我们可以看到ram在各种起点上的路径。在下图中，农民以均匀的速度从东南角向东北角移动，每条曲线都是从西门开始的不同的羊道。注意：每只公羊追逐农夫，每只公羊都有不同的速度，经过调整，可以在奔跑结束时与农夫相遇。

最后，假设我们知道ram的速度。公羊不能及时到达农民的“安全区”是什么？如果你看$v$的公式，你会注意到它实际上是两个距离的平均值：公羊和农夫之间的初始距离，公羊和穿过北篱笆的农夫倒影之间的初始间距。因此，如果我们固定ram的速度，则起点集$（a，b）$描述了一个椭圆以农民及其反思为焦点！有关不同柱塞速度的安全区域的图示，请参见下文。

我应该指出，这些轨迹被称为追踪曲线另一个值得注意的例子是循环追踪，它包含在以前的Riddler问题！

无限追求

如果公羊和农夫的速度相同，就会发生有趣的事情……正如你所想象的那样，公羊永远抓不到农夫。但事实证明，如果农夫一直保持直线，公羊最终会直接落在农夫后面，始终是常数距离！在这种情况下，我们为$y$推导的方程式没有帮助，因此我们必须返回开头。重新排列坡度方程可以得到：
\[
t-y=（1-x）\压裂{dy}{dx}
\]现在$t-y$正是我们想要的；这是农民和公羊之间的垂直距离。将表达式$\frac{dy}{dx}$替换为这个等式，并设置$v=1$，我们发现
\开始{align}
t-y&=（1-x）\左（\frac{1}{2}\左（C（1-x\\
&=\压裂{1}{2}\左（C-C^{-1}（1-x）^{2}\右）
\结束{align}和在$x到1$的限制范围内，这很简单
\[
\text{（极限距离）}=\frac{1}{2} C类=\frac｛\sqrt｛（1-a）^2+b^2｝-b｝｛2｝
\]因此，如果ram从$（0,0）$开始，那么farmer和ram之间的限制距离将是$\frac{1}{2}$。整洁！如果我们要求一组所有可能的起始闸板位置，这些位置会产生一个极限距离$\frac{1}{2}$，那么我们会得到一个不同的圆锥曲线：这一次是抛物线。这是一张图，显示了各种极限距离的可能起点。