泳池大厅机器人

考虑这个问题的一种方法是用图表。假设图中的每个顶点对应于池球的不同排列，如果可以在一次移动（交换或旋转）中从一个顶点过渡到另一个顶点，则添加一条边连接两个不同的排列。然后，问题变成：“图中哪个顶点距离目标顶点的路径长度最远？”。当两个顶点由一条边连接时，我们称它们为“邻居”。请注意，此图中的边是双向的，因为所有移动都是可逆的。

我们的一般方法是用一个整数来标记每个顶点，该整数对应于到达目标顶点所需的最小移动次数。实际上，我们正在计算所谓的图形偏心率目标顶点的。

这是一种贪婪的方法，可以实现所需的标签。

1. 通过列举所有可能的唯一台球排列，并在每对分开一步的台球之间添加一条边，创建图表。
2. 将目标顶点标记为“0”。然后设置$i=0$并：
3. 对于标签为$i$的每个顶点，请访问其所有相邻顶点。对于当前未标记的每个邻居，为其指定标签$i+1$。
4. 将$i\maps设置为i+1$，并从步骤3开始重复，直到图形中的所有顶点都已标记。

既然所有顶点都已标记，那么具有最大标记的顶点对应于那些需要最多移动才能到达的顶点。为了重建返回目标顶点的路径，我们按相反的顺序进行：

1. 调用最大标签$d$。然后拾取标签为$d$的任何顶点。将其称为“当前顶点”。设置$i=d$并重复：
2. 枚举当前顶点的相邻顶点，并选择标签为$i-1$的任意顶点。
3. 将新选择的顶点添加到路径中，并将其设置为新的当前顶点。
4. 设置$i\mapsto i-1$并从步骤2开始重复，直到达到$i=0$。

就这么简单！请注意，我们必须按相反的顺序执行第二个步骤。如果我们试图从目标开始，朝着最大标签顶点之一前进，则无法保证能够选择有效的最大长度路径，因为某些路径将以死胡同结束（它们将不是最大长度）。然而，当我们反向操作时，由于标签的构造方式，所有标签减少的路径都必须找到返回目标的路径。

我上面描述的方法是，这是解决递归定义问题的一种流行方法。

数值解

我对上述程序进行了编码，发现如下：

• 该图有51480个顶点1673106条边（耶！）。
• 每个顶点有65个邻居。这是因为从任何位置来看，有49种可能的方式交换条纹和实心球，14种方式交换八个球与其他球之一，以及2种可能的旋转。
• 一旦我们标记完所有顶点，最大的标签是$6$。这意味着最多需要六步才能达到目标安排。
• 下面是顶点上标签的分布
  

  到目标的距离	0	1	2	三	4	5	6
  顶点数	1	65	1253	9653	27422	12946	140

实际上，有140个不同的顶点与目标顶点的最大距离。我们可以将上面列出的频率除以51480，即顶点总数，将其转换为概率。然后，这就变成了概率分布。计算它的期望值，我们得到$\frac{51697}{12870}\大约4.017$。因此，假设我们从随机均匀选择的位置（顶点）开始，平均需要4次移动才能到达目标位置。下面是分布图：

最后，这里是一个可能的移动序列图，它将您从140个最坏情况的起始顶点之一带到目标顶点。

额外信贷

如果我们寻找两条路径之间的“最长最短路径”任意两个顶点在图中，我们计算的是图形的直径。这比计算特定顶点的偏心率要困难得多，因为它涉及计算所有顶点的偏心度！计算这些数字花了一个多小时，答案是……8。下面我展示了一个长度为8的最坏情况路径的示例。

事后来看，很明显直径不能大于8。为了了解原因，我们可以在8次或更少的移动中从任何位置到达任何其他位置。你可以这样做。首先，交换八个球，把它移到正确的位置。这最多需要一步。现在，考虑剩下的七个实体和七个条纹。在最坏的情况下，它们都不合适。因此，最多需要7次额外的掉期才能修复，总共需要8次。

注意，在这个论点中，我没有使用任何旋转！这意味着我们总是可以在8个动作中从一个配置切换到另一个配置，而不需要使用旋转。因此，如果两种构型之间的最短路径长度为8，那么也存在一条不使用旋转的最短道路。在上面的8长度解决方案中，我选择了一个没有任何旋转的解决方案。然而，在其他情况下，旋转很重要。例如，在最初实现八球配置的问题中，如果我们不允许旋转，那么解的长度将是8而不是6。