这个谜题乍一看,这周似乎很简单,但我向你保证,事实并非如此!
你,一个勤劳的牧羊人,被困在你的方形围栏围场的东南角。有两个距离你相等的门:一个在西南角,一个在东北角。一只愤怒、顽固不化的公羊从西南大门进入围场,以恒定的速度直接向你冲去。你跑-很明显!-沿着东篱笆以恒定的速度向东北门方向逃跑。公羊一直在冲,总是直接冲着你。
公羊要跑得比你快多少才能在你到达大门的时候抓住你?
下面是一个非常简单的解决方案赫克托·佩福。需要最少的微积分!
[显示解决方案]
假设农民起点的东南角为$(1,0)$,农民以单位速度向北移动。所以农民在时间$t$的位置是$(1,t)$。同时,假设柱塞以$v$的速度移动。我们想找到$v$,这样公羊和农夫都能在$t=1$时到达东北大门$(1,1)$。如果ram从西南角$(0,0)$开始,则$v$正好是黄金比例,或约1.618假设从现在开始ram从$(a,b)$开始。我们将根据$a$和$b$导出$v$的公式。见下图。
假设ram在时间$t$的路径与农夫的路径成角度$\alpha(t)$。首先,请注意ram覆盖的总$y$-距离必须为$1-b$。但我们也可以通过将ram的路径投影到$y$-轴上来找到这一点。换句话说:
\[
1-b=\int_0^1 v\,\cos\alpha(t)\,dt
\]其次,改变参照系,让我们想象公羊在直线上移动,始终看到农民。农民动作的一个部分有助于缩短他与公羊的距离,而另一个部分则不影响距离。农民所走的总距离在柱塞方向可以通过将农民的(现在弯曲的)路径投影到公羊的路径上来找到。公羊的距离$v$与农民的投影距离之差等于它们最终到达同一地点时的初始距离:
\[
\sqrt{(1-a)^2+b^2}=v-\int_0^1\cos\alpha(t)\,dt
\]即使我们不知道$\alpha(t)$,我们也可以将一个方程替换为另一个方程,以消除积分并求解$v$!结果是方程式:
\[
v^2-\sqrt{(1-a)^2+b^2}\,v-(1-b)=0
\]求解$v$的二次方程(去掉负解,因为ram的速度是正的),我们得到了解:
\[
v_\text{ram}=\frac{1}{2}\左(\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt}(1-a)^2+(2-b)^2}\右)
\]如果我们通过设置$a=b=0$将此公式专门化为从西南门开始的ram,我们将获得黄金比例:
$\显示样式
(\text{Ram speed})=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\约1.618
$
这是我的解决方案,它可以找到ram路径的方程,但需要微积分和微分方程的知识。
[显示解决方案]
我将首先推导出追击曲线的方程,然后我将展示一些漂亮的图片——等等!
解决方案详细信息
我们将使用与第一个解决方案中相同的坐标设置,再次假设ram从$(a,b)$开始。假设ram在时间$t$的位置是$(x(t),y(t))$。从现在开始,我们只需编写$x$和$y$,以保持符号干净。我们得到了两条信息:公羊总是向农夫移动,公羊的速度是恒定的(我们称之为$v$)。我们可以将其写成:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{t-y}{1-x}
\qquad\text{and}\cuad
v\,t=\int_a^x\sqrt{1+\left(\frac{dy}{d\xi}\right)^2}\,d\xi
\]第一个方程形成斜率(见上图),而第二个方程表示弧长公羊划出的曲线应为农民所走距离的$v$倍。一个可能是诱惑替换并消除$\frac{dy}{dx}$,但剩下的等式仍然有$x、$$y、$和$t,$,所以这对我们没有帮助。相反,将$t$从第一个等式中分离出来,并将其替换为第二个等式,以获得
\[
y+(1-x)\压裂{dy}{dx}=\压裂{1}{v}\int_a^x\sqrt{1+\左(\压裂{dy}{d\xi}\右)^2}\,d\xi
\]我们现在有一个单一的方程,它将$y$和$x$关联起来,不依赖于$t$!根据$x$区分两边,让$w=\frac{dy}{dx}$。结果如下可分离常微分方程
\[
(1-x)\压裂{dw}{dx}=\压裂{1}{v}\sqrt{1+w^2}
\]此ODE的一般解决方案具有以下形式
\[
w=\frac{1}{2}\左(C(1-x)^{-1/v}-C^{-1}(1-x)^{1/v}\右)
\]其中$C$是一个取决于初始条件的常数。我们可以使用以下事实来求解$C$:当$t=0$时,我们有$x=a$和$w=b/(a-1)$。结果是
\[
C=(1-a)^{-1+1/v}\左(-b+\sqrt{(1-a,^2+b^2}\右)
\]现在回想一下$w=\frac{dy}{dx}$,这样我们可以再次积分以获得$y$作为$x$的函数,即ram的路径。我们也有初始条件$y(a)=b$。我会把代数留给你……结果是
\开始{align}
y=b&+\压裂{1}{2}\左[
\压裂{b-\sqrt{b^2+(1-a)^2}}{1-1/v}\左(\左(\frac{1-x}{1-a}\右)^{1-1/v}–1\右)\右\\
&\qquad\qquad+\左。\压裂{b+\sqrt{b^2+(1-a)^2}}{1+1/v}\左(\左(\frac{1-x}{1-a}\右)^{1+1/v}–1\右)
\右]
\结束{align}所以现在我们什么都知道了!要确定公羊在何处拦截农夫,请设置$x=1$并获取
\[
y_\text{final}=\frac{-b+v\sqrt{(1-a)^2+b^2}}{v^2-1}
\]如果我们知道公羊几乎没有按时到达东北门$(1,1)$,那么设置$y_text{final}=1$并求解$v$。简化后的结果是
\[
v_\text{ram}=\frac{1}{2}\左(\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt}(1-a)^2+(2-b)^2}\右)
\]这与我们使用第一种方法得到的结果完全相同!
很酷的图片!
因为我们有一个$y$与$x$之间的显式公式,所以我们可以看到ram在各种起点上的路径。在下图中,农民以均匀的速度从东南角向东北角移动,每条曲线都是从西门开始的不同的羊道。注意:每只公羊追逐农夫,每只公羊都有不同的速度,经过调整,可以在奔跑结束时与农夫相遇。
最后,假设我们知道ram的速度。公羊不能及时到达农民的“安全区”是什么?如果你看$v$的公式,你会注意到它实际上是两个距离的平均值:公羊和农夫之间的初始距离,公羊和穿过北篱笆的农夫倒影之间的初始间距。因此,如果我们固定ram的速度,则起点集$(a,b)$描述了一个椭圆以农民及其反思为焦点!有关不同柱塞速度的安全区域的图示,请参见下文。
我应该指出,这些轨迹被称为追踪曲线另一个值得注意的例子是循环追踪,它包含在以前的Riddler问题!
无限追求
如果公羊和农夫的速度相同,就会发生有趣的事情……正如你所想象的那样,公羊永远抓不到农夫。但事实证明,如果农夫一直保持直线,公羊最终会直接落在农夫后面,始终是常数距离!在这种情况下,我们为$y$推导的方程式没有帮助,因此我们必须返回开头。重新排列坡度方程可以得到:
\[
t-y=(1-x)\压裂{dy}{dx}
\]现在$t-y$正是我们想要的;这是农民和公羊之间的垂直距离。将表达式$\frac{dy}{dx}$替换为这个等式,并设置$v=1$,我们发现
\开始{align}
t-y&=(1-x)\左(\frac{1}{2}\左(C(1-x\\
&=\压裂{1}{2}\左(C-C^{-1}(1-x)^{2}\右)
\结束{align}和在$x到1$的限制范围内,这很简单
\[
\text{(极限距离)}=\frac{1}{2} C类=\frac{\sqrt{(1-a)^2+b^2}-b}{2}
\]因此,如果ram从$(0,0)$开始,那么farmer和ram之间的限制距离将是$\frac{1}{2}$。整洁!如果我们要求一组所有可能的起始闸板位置,这些位置会产生一个极限距离$\frac{1}{2}$,那么我们会得到一个不同的圆锥曲线:这一次是抛物线。这是一张图,显示了各种极限距离的可能起点。