1.简介
威尔逊精确重整化群（RG）[1]提供了一个框架来构建描述引力的一致量子场论（QFT）。这种可能性被称为渐近安全性，它依赖于引力耦合，引力耦合表现出紫外线（UV）不动点，允许在保持物理量有限的同时消除紫外线截止[2]. 然后，该理论可以定义为不动点沿着可重整化轨迹的扰动，该轨迹离开UV不动点，并向红外（IR）方向发展，在红外（IR）方向上与重整化理论相一致。在此框架中[三,4]，自由无量纲参数的数量比固定点处相关耦合的数量少一个，它将所有可重整化轨迹形成的UV临界表面参数化。 到目前为止，证据表明存在这样一个不动点，即路透社不动点[5,6,7,8,9]，并且它在纯重力中具有三个相关的耦合[10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]. 然而，并不是所有的耦合都需要达到一个固定点，理论才是渐近安全的，因为人们可以自由地进行场重参数化，可以用来从RG方程中消除所谓的非必要耦合[2]. 不必要的耦合不会出现在可观测值的表达式中，例如横截面和反应速率，因此，可以取不同的值，而不会影响物理。因此，联轴器分为两类：基本联轴器它包含了可观测和非必要耦合的表达式它们依赖于方案并且是非物理的。因此，无关紧要的耦合的缩放行为完全取决于方案，它们不能包含在相关耦合的集合中[22]. 因此，看似相关的耦合可能是无关紧要的，因此，对自由参数的计数没有贡献。虽然已经指出了不必要的耦合的潜在存在[三,4,23,24,25]在渐近安全性的研究中，它们几乎被普遍忽视。特别是，试图找到合适的固定点需要所有引力耦合的固定点，包括在给定的近似值中，而不是将场重参数化合并到RG方程中，并检查哪些耦合是不重要的。在这里，我们将通过在引力RG方程中加入场重参数来纠正这一疏忽，这使我们能够从流动方程中消除不必要的耦合。为此，我们将使用基本的RG方法，该方法已在[26]，其中我们只计算基本联轴器的流量。 我们的战略将是调整[26]在标量场理论的背景下，消除纯引力中所有不必要的耦合。这可以在导数展开中按顺序执行，其中只有秒-有效作用包括场的导数。每次订单时秒最小本质方案是通过在理论的高斯不动点识别非本质耦合并确定其值来实现的，这样就可以只获得本质耦合的β函数。重要的一点是，该方案涉及运动学自由度的规范，因为它假设自由度是高斯不动点的自由度。这意味着最小本质方案可以分解到高斯不动点的有限距离，因此不能描述所有可能的非微扰行为。然而，人们可以在理论空间的其他点识别出不必要的耦合，虽然技术上更为复杂，但这将允许基本RG描述理论空间的所有区域。 对于标量场，存在与动力学算符相关的高斯不动点对于每个偶数整数秒包括不同的自由度。因此，有一个与每个高斯不动点相关的最小基本方案，这在物理上是不同的，因为它们与不同的自由度相关。在给定的最小基本方案内，RG流被约束到与这些自由度相关的物理理论空间。换句话说，最小本质方案将RG流限制为包含相应高斯不动点的普适类。虽然RG研究通常涉及涉及高斯不动点的普适类，也可以研究与高阶导数理论相关的普适类[27,28]. 当使用最小基本方案，不包括高导数理论的高斯不动点。因此，这种选择并非没有物理后果，因为通过采用最小基本方案，我们将注意力集中在特定普适性类中的可能不动点上，而不是试图找到所有可能的不动点。 对于量子引力，我们将考虑量子爱因斯坦引力（QEG）的普适性类别，这意味着它与爱因斯坦引力理论相关的物理自由度的量化有关。因此，除非另有说明，本文中的高斯不动点（GFP）是指与线性化爱因斯坦-希尔伯特作用有关的不动点。这里我们应该指出，我们指的是QEG比给出的更广泛的定义更具体（但也许更值得一提）的东西，例如[29]. 特别是，我们不仅指定了场和对称性，根据这些我们将理论参数化，而且还指定了物理自由度。例如，更高导数重力的量化[30]可以通过假设微分同态不变性对度量进行量化来实现，但这是比爱因斯坦理论更自由度的量化。将重点转移到物理自由度和物理本质耦合，将使我们对渐近安全性的研究更接近原始公式[2]作者：S.Weinberg：这一举措最近受到强烈鼓励[31]. 要设置舞台，请在第2节我们简要回顾了基本RG技术，它将通常的方法推广到精确RG（也称为非扰动函数）（参见[32,33,34,35,36,37,38]通过允许沿RG流重新参数化字段，对有效平均作用（EAA）进行评估。在第3节我们重温了S.Weinberg的渐近安全公式，该公式强调了基本耦合进入可观测表达式的方式。在第4节我们推导了量子引力的广义流动方程，该方程考虑了沿RG流重新参数化量子度量的自由度。事实上，流动方程将包含一个新的成分：RG内核。此数量对如何沿流重新参数化字段的描述进行编码。然后，我们写下EAA的微分同态不变部分和协变RG核的系统导数展开式。特别地，我们将EAA展开到导数的四阶，将RG核展开到二阶。在第5节，我们分析了GFP的特性：特别是，从这个分析中我们确定真空能量是无关紧要的。研究GFP的优点在于它是一个自由不动点，并且可以在不依赖近似的情况下获得结果。在GFP发现了不必要的耦合后第6节我们讨论了包含GFP和所有具有相同本质耦合的轨迹的普适性类的性质。在理论空间的这样一个子空间中，共形平坦时空上的传播子与GFP上的传播子具有相同的形式。在导数展开式中（除了拓扑Gauss–Bonnet项外），直到四阶，在这个普适类中只有牛顿常数是必不可少的。特别是，这些轨迹上的任何固定点都具有GFP的自由度。在第7节，我们在导数展开的二阶和四阶下研究了最小本质格式中QEG的RG流。我们的调查证实了Reuter不动点的存在：这意味着来自算子的更高导数项和在GFP的普适性类中是无关紧要的。此外，这意味着，与基于微扰重整化性的期望相反，最小基本方案中Reuter不动点的存在表明引力理论的可能UV补足不需要额外的自由度。在第8节我们得出了我们的结论，并讨论了使用基本RG研究量子引力的前景。在一般维和一般调节器截止值的导数展开中，给出了QEG最小本质格式中四阶RG方程的推导附录A.1. 2.基本改造组要点
在本节中，我们回顾了基本的RG方法[26]使用单个标量字段的情况来避免符号和技术过载。从年开始，本文的其余部分将对重力进行概括第4节. 最终，在QFT中，我们对可观测值的期望值感兴趣哪里和是表示为场函数的可观测值基本RG是一种最终计算(1)这利用了EAA的广义精确RG方程，该方程取决于RG尺度k个EAA依赖RG量表k个来自两个来源。首先，EAA取决于k个由于存在与动量相关的红外截止它实现了粗颗粒化过程，切断了函数积分中的低动量模式(三)它定义了EAA。这是通过选择无量纲函数实现的这样它就会消失在极限中，而对于它有一个非零极限，确保抑制IR模式。这实现了威尔逊关于RG的图像，RG将UV模式依次集成为k个降低。第二个来源k个依赖性来自于沿着由k个-依赖微分同构我们在其中集成的配置空间(1). 这是通过考虑相关函数的生成函数来实现的k个-相关字段而不是k个-独立字段。明确地说，该功能是泛化的EAA操作由泛函积分微分方程定义从中可以看出哪里是和k个依赖期望值。在限额内截止消失，EAA减少为一部分不可约有效作用对于现场.在相反的极限EAA简化为根据字段编写的裸操作。让我们注意到，我们还可以更改RHS中的积分变量(三)它能保持不变量，只要我们在任何地方都进行这种改变，包括在度量中。这里我们保留积分变量和赤裸裸的行动k个-独立，这样k个-依赖性仅来自调节器和复合场.由于我们最终对计算可观测值感兴趣(5)在消失调节器和关于运动方程我们会恢复的(1)独立于调节器和参数化。有关更多详细信息，请参阅[26]. 一般来说，将取决于与理论对称性兼容的所有耦合。公司注册k个-EAA形式中的相关场重参数化在[39]以描述束缚态。在基本RG中就是我们可以选择重新参数化该字段，以固定非必要耦合的值，根据定义，这些耦合只是依赖于形式的耦合.自观察到(1)在，它们不依赖于不必要的耦合。任何固定或以其他方式指定所有不必要联轴节流量的方案都是一个基本方案。因此，在基本方案中，我们只计算基本联轴器的流量即，最终进入可观察的(1). 满足的广义流量方程由提供[35]哪里，使用一些物理参考比例尺，在RHS中出现的轨迹下是IR的正规传播者表示EAA关于场地的麻布、和是RG内核，它考虑了k个-相关字段重新参数化。流量方程式(6)降低至EAA的标准流量[40,41]何时可以理解为威尔逊有效作用的广义流的对应物[22]. 通过选择我们可以指定无关紧要的联轴器的流量，根据他们的定义[26]对于某些准长场.方程式(9)遵循非必要耦合的定义，因此，允许识别它们。操作员出现在的右侧(9)是多余的算子与不必要的耦合共轭.在RHS的第一个任期(9)是树级的，与并在极限中生存第二项反而消失了，就像调节器消失一样在微扰理论中，在高斯不动点附近，第二项将是次超前项，因为它是与普朗克常数成比例的回路修正ℏ一般来说，每个线性无关的准对数场都会有一个无关紧要的耦合生成独立的字段重新参数化。尽管可能的字段重新参数化它们本身与理论空间中的位置无关，重要的是要强调冗余算子依赖于EAA因此，非必要耦合的识别将取决于EAA的形式。因此，在一个固定点上可能无关紧要的耦合在其他固定点上也可能至关重要。作为GFP的一个例子系数动力学项的变化是无关紧要的。这可以从运动方程中理解动力学项消失。更改的值对应于沿等效固定点的线移动。然而，如果我们考虑四阶GFP操作员不冗余，因为它不会消失在运动方程中的(11). 这里我们也看到了无关紧要的耦合和自由度之间的联系。对于四阶理论，我们有两个传播自由度，它们在不动点处是无质量的(11). 通过将带有两个导数的项相加，作用变成哪里是一个基本耦合，被确定为一个自由度的质量。让我们也注意到，在GFP(10)高阶项是多余的，因为它在运动方程中消失了这反映了这样一个事实，即仅从一个传播自由度开始，我们就无法沿着RG流获得更多自由度。 由于涉及的条款在(6)具有冗余运算符的形式，可以自由选择就是可以自由指定所有不必要的联轴器的流量。因此，对于每一个不重要的耦合，我们都指定了一个RG条件，可以理解为对形式的约束沿着RG流，然后我们在这个条件下求解基本耦合的β函数和参数为不同的本质方案对应于用于非本质耦合的不同的RG条件集合。从几何角度来看，我们可以将重参数化看作配置空间上的局部框架变换，类似于规范变换[26,42]. 因此，RG条件类似于固定特定框架的规范固定条件，与规范条件一样，我们通常希望找到能将给定可观察项的复杂性降至最低的RG条件。 由于冗余操作员的形式(9)取决于实际上，要实现的最简单方案是在GFP处设置所有不必要耦合的最小基本方案(10)零（除了规范化的动力学项系数）。可以通过设置，可以带入表单通过部分积分，达到零。换句话说，在最小本质方案中，我们将当我们在GFP处应用运动方程，而不使用标准归一化动力学项时，这一点就消失了(10)自身。因此，在正常情况下在导数展开中，可以采用这种形式在最小基本方案中，EAA减少到它只涉及一个函数，即有效势为了将流动方程求解到最高阶在基本RG中，RG内核必须具有以下形式虽然我们通常会对在传播子的流动方程中在最小基本方案中，这种依赖性是不存在的。因此，通过采用最小基本方案，我们权衡了对在流量方程中更一般地说，在最小基本方案中以字段的任何常量值计算有表单哪里是电势的二阶导数。 传播子的简化形式(16)它继续保持导数展开的任何顺序，在实际计算中产生简化，并保持一种形式，该形式明显只包含GFP中存在的物理自由度(10). 例如，这意味着没有鬼魂和超光速子，它限制了我们的理论停留在理论空间的子空间中，其中的自由度与GFP相同。正如我们将看到的，这些特征也可以保证引力子传播子。不能保证的是，除了GFP之外，在这个子空间中还存在其他不动点。因此，通过采用最小本质方案，我们通过约束传播的自由度来限制对额外不动点的搜索。 3.温伯格渐进安全公式
在回顾了基本RG之后，让我们现在讨论由Weinberg制定的渐进安全标准[2]以及如何通过在基本方案中求解EAA的流量方程来实现。该标准要求我们有一个无UV截止的UV完全QFT，如果理论位于源自UV固定点的RG轨迹上，则可以实现该QFT。然而，正如最近强调的那样[31]Weinberg的公式更精确，因为它集中于物理量（如反应速率）中不存在非物理UV发散，而不是场的相关函数的行为这一点很重要，因为相关函数依赖于不必要的耦合在一个方案中，我们不指定不必要的耦合值，而是计算它们的流量，这至少让我们的生活变得不必要地困难。在最坏的情况下，不必要的耦合可能不会达到固定点，因此在这种方案中，渐进安全性可能会被模糊。在基本方案中，我们只计算基本联轴器的流量，因此避免了这些问题。 如果我们只有一个涉及人工紫外线截止的有效理论，那么在渐近安全性中就不会出现分歧描述了我们对小距离物理的无知当能量接近截止尺度时，一个有效的理论将崩溃，因此，我们将遇到非物理分歧。在渐近安全理论中，由于我们已经发送了事实上，流量方程的形式(6)假设限制已采用，如果引入独立的紫外线截止线，将采用修改的形式[41,43]. 渐进安全要求我们采用一些特征能量标度观察值（如反应速率）标度哪里D类是的尺寸这尤其意味着，即使我们取因此，在高能下，该理论具有尺度不变性。请注意，渐近安全性是一个相当普遍的要求，我们强加它是为了“合理地确定”与在有限能量尺度上分解的理论相关的物理量没有分歧。一方面，渐进安全性不排除全部的发散行为，因为不可观测的相关函数可以在有限能量下发散，即使理论在所有能量下都得到了很好的定义。另一方面，渐进安全不保证一个理论在物理上是可以接受的，因为，例如，可能存在非幺正的渐近安全理论[44]简单的例子是一个带有四个导数的自由理论。 如果我们得到了完整的量子有效作用直接从中计算出可观测值，进入可观测值表达式的耦合常数将是基本耦合评估时间：然后人们可能会想，与在相反极限中获得的准确RG的固定点之间的联系是什么特别是，人们可能会担心，可观测到的结果可能取决于额外的能量尺度除了天平E类我们把它带到无穷大。要理解连接，请注意，如果我们为刻度处的流量提供初始条件，流量方程提供了一个函数因为通过对给定初始条件的流进行积分，我们将获得当我们到达因此，我们可以写出任何取决于能量尺度的可观测值E类和和物理耦合作为函数哪里独立于通过结构意义。另一方面，量纲分析意味着我们也可以写哪里是无量纲联轴器和是联轴器的质量尺寸一般来说，无量纲观测值的函数对于其参数的有限值，将是有限的，而如果一个参数发散，则通常我们期望变得单数。现在，因为独立于，我们可以设置，因此那么，很明显，限制仅当限制存在。如果无量纲基本联轴器的子集在某些有限处发散，那么我们期望在这一点上观察到的是奇异的。然而，如果所有联轴器保持有限，使其达到紫外线固定点，然后这正是渐近安全的要求。重要的一点是，由于(20)独立于，如果我们发送到无穷大而不是E类然后我们可以确定并得出结论：作为. 关键的是，只有必要的耦合才需要达到UV固定点。的确，无关紧要的耦合根本不存在于物理观测中(19)因此，它们的行为不受先验限制。所有这些评论都适用于一般的渐近安全理论，在本文的剩余部分，我们将发展形式主义来研究基本方案中量子引力的渐近安全性。 4.量子引力的广义流动方程和基本方案
在本节中，我们将推导量子引力的广义流动方程，从中我们将应用基本RG方法来研究渐近安全性。这种结构概括了[5]通过允许在基本RG的核心进行字段重新定义。对于量子引力，表示EAA，其中表示平均场集，是（平均）指标，以及和是（平均）反交换幻影和反幻影。除了平均场之外，还取决于辅助的背景指标为了保持背景协方差。重力EAA的定义类似于标量场的情况(三)通过函数积分哪里是一组字段，用于参数化字段，以便后者定义k个-配置空间对其自身的依赖微分同构。从形式上讲，由于配置空间涉及重影字段，因此它是一个超级流形。背景场依赖性在两个地方出现。首先，行动包括轨距固定和虚项，其次是明暗截止线依赖于协变导数和根据背景度量构建的张量结构。与标量字段的情况类似，它遵循(23)那个其中，字段的任何函数的期望值由定义通用流量方程由提供哪里是平均场和表示传播器具有表示导数向左作用。·表示一个连续的矩阵乘法，包括所有场分量的和和以及时空积分。这个表示在反交换字段中插入减号的相同意义上的超跟踪。对于重力，RG内核现在为每个字段都提供了组件，因此.通过设置我们得到了导出于[5]然而，在这种情况下，我们还必须计算无关紧要的耦合流。使用背景场方法[45]，一个人最终感兴趣的是识别和设置。因此，将操作写为哪里是微分同构不变作用包含分别依赖于ghost和两个度量的术语，包括ghost与gauge固定术语。微分同构不变作用具有导数展开在这里和分别是运行中的牛顿常数和真空能量，以及,和乘以条款将宇宙常数定义为因为正是这种组合出现在规范化传播子中。在四维中，积分是拓扑不变量，所以不会签订任何因此，不出现在任何beta函数中[21,46]. 在渐近安全要求的非平凡固定点处，无量纲联轴器的RG流量单位为k个将独立于k个因此，定义无量纲联轴器很方便我们将省略t吨-无量纲耦合的依赖性如下所示。 这里我们将使用常用的背景场近似，其中由背景协变规范固定和虚项组成的BRST不变作用近似。特别是，我们将采取其中，为了简化计算，我们采用背景协变谐波规范和表示尺寸耦合然后通过以下公式给出重影操作符在背景场近似中，我们将选择，而我们选择RG核作为要由哪里具有是“伽马函数”，它与贝塔函数一起，将被确定为出现在每个伽马函数都允许我们施加一个重正化条件，以固定非本质耦合的流动。因此，保留三个伽马函数允许我们施加三个重整化条件，这些条件是对我们沿着RG流施加的。我们注意到是无量纲的，而和具有质量尺寸，因此我们定义了无量纲伽马函数和和标量场的导数展开一样，如果我们按顺序工作在导数展开中，我们包括了所有的顺序项在RG内核中(37). 在我们的近似中，微分同态不变作用的流由提供哪里和表示微分算子和然后我们选择监管机构的形式哪里是拉普拉斯人。 冗余操作员由提供哪里是由度量、曲率张量及其协变导数组成的对称协变张量，例如。，. 量子引力的最小基本方案，我们将在第5节和第6节，紧跟中提出的微扰方案[47,48]. 该方案将真空爱因斯坦方程中消失的任何项归零除了爱因斯坦-希尔伯特术语本身之外，其他术语也适用。理由是和是标量场理论的GFP的模拟。这意味着我们可以将两者都设置为零和，离开时非零，因为此项在中是拓扑的与GFP一样(10)在标量场理论中，运动方程中消失的任何算子(45)可以通过字段重新定义删除的是不动点的属性，其中和一个更高导数的高斯不动点，更类似于四阶不动点(11)，是通过写作实现的并发送在这个固定点上，自由度是Stelle的高导数引力而不是爱因斯坦引力的自由度。此外，由于高导数重力的运动方程并不意味着(45)联轴器和（或同等和)在高导数高斯不动点处至关重要。 这里我们集中讨论爱因斯坦引力和在GFP附近是无关紧要的和因此，设置后和并且忽略所有具有四个以上导数的项，同时保留,、和我们展开方程(26)订购从中的独立张量结构获得五个流动方程(30)使用非对角热核技术[49]. 迹线的评估和由此产生的流量方程如所示附录A.1.给出了任意截止函数的方程和任意尺寸d日忽略成比例项在轨迹中：这在因为在这种情况下，相应的不变量是拓扑的。在论文的其余部分中，我们将采用。对于显式计算，我们将使用Litim截止函数哪里是Heavisideθ函数。 5.真空能量是不必要的
已设置和到零，我们可以解方程和，中给出(答23)和(答24). 不太清楚的是，我们应该应用哪个重整化条件来冻结与之相关的无关紧要的耦合，这一定是和。如中所述[23]，要在重力中找到一个非平凡的固定点，实际上必须有一个固定点。事实上，通过重新缩放度量，或者换言之，选择单位制，就无法设置和同时。即使有因为没有找到一个非平凡的不动点如果我们想解决这个问题原因是的beta函数仍然取决于其分叉为然而，人们仍然可以自由应用一个RG条件，该条件由显而易见的是，无量纲非本质耦合仍需要一个定点值。因此，我们应该沿着RG流将无量纲耦合固定为一个值。然而，人们发现这样做可以防止GFP自身出现。例如，如果我们设置或，GFP，在无量纲变量中为和，无法实现。这是由于在特定的重整化条件下，我们无法探索理论空间中包含的所有普适类。特别是，由于我们将考虑包含GFP的理论空间子空间内的轨迹，我们将考虑以下值和在GFP。因此，为了确定我们应该修复哪种无量纲耦合，我们分析了GFP以了解哪种特定的组合和是无关紧要的。然而，我们应该把这个极限理解为平坦时空的自由理论，其中简化为线性化的爱因斯坦-希尔伯特作用。为了正确地看到这个极限，我们必须将度量分解为1哪里是单位公制。我们打电话给引力子场，因为它是围绕平坦公制的涨落允许将渐近状态定义为自由引力子。在参数化中(48)，很明显是测量引力子自相互作用强度的耦合常数。GFP对应于以下理论：。我们稍后将展示和两者都与.求导(48)关于t吨，我们获得哪里.因素确保现场是规范化的。的期望值因此，由哪里，并插入的表达式我们获得哪里是重力场的反常维数和与重力场偏移常数有关的伽马函数。强制执行是有限的，当，我们推断在GFP。定义流量方程(26)可以重写为其中规范化正则传播子是插入进入之内然后扩展到，我们发现在GFP中，EAA有以下形式我们预计真空能量是和表示真空能量的无量纲不动点值，我们将简短地确定。插入(56)进入的左侧(54)我们获得而在RHS上，我们使用它,独立于因此，我们发现GFP与暗示然后我们可以看到无量纲真空能量的GFP值为使用Litim截止值，我们可以获得该值我们得出结论，GFP的唯一特征是,,和无量纲真空能量的方案相关值.事实上也就是说，当是一个常量，因此消失为在限制内因此，GFP是用于. 关于真空能量，有两点需要说明。首先，让我们注意到，我们还可以选择一个更通用的截止方案，以允许鬼和引力子的不同截止函数就会消失[50]. 在精确水平上，任何物理都不应依赖于截止线的选择，因此应该没有意义。其次，我们注意到，我们似乎可以用考虑到非零宇宙常数，因为是一个不会出现在(57). 然而，只有我们有一个固定点吗。 现在，远离GFP，不需要等于零，因此我们现在可以为编写线性化的ansatz围绕GFP哪里和是我们可以自由选择的自由参数，点是GFP周围展开式中的非线性项。扩展的beta函数和我们获得因此，我们可以看到GFP周围是独立于方案的，而取决于方案。由于方案依赖性是非本质耦合的特征，我们可以得出结论：牛顿耦合是GFP附近的基本耦合，而是无关紧要的。我们可以自由指定流量而不是计算它，我们可以自由选择相应的缩放维度，而不是假设它应该具有维度4。事实上，我们甚至可以通过简单地选择，使真空能量（通常是最相关的耦合）成为不相关的耦合。让我们强调一下，这些都是准确的陈述，因为我们在GFP中，而且条款都是有序的在两个循环中出现。 真空能量无关紧要的一个显著后果是，我们可以简单地选择它因此，真空能量的消失是通过重整化条件实现的。因此，至少在纯引力中，一旦我们应用了这个条件，就不存在与宇宙常数相关的微调问题。然而，这个条件决定了宇宙常数的消失，通过施加它，我们限制了我们可以获得的理论。这表明存在宇宙常数为零的量子引力的普适类。这个通用类拥有IR-GFP，其中是一个常量，并且虽然可能还有其他宇宙常数非零的普适类，但在这里我们将探讨这一类，看看是否还有一个非平凡的不动点可以用来定义相互作用的QFT。
在结束本节之前，让我们强调关于重力耦合解释的两点，以及我们可以在中对耦合进行的可能的（不完美的）类比，例如。，-理论。首先，不管外表如何，不是逆波函数重整化，而是一种耦合，更类似于相互作用耦合在里面-理论。特别是，虽然波函数的重新归一化是-理论，是一种基本的耦合第二，不管外表如何，不是质量的平方。如果我们选择将度量参数化，就会对真空能量做出更明确的解释，这样在野外是线性的参数化共形起伏[51]. 这可以通过设置，其中，因此在中是线性的.事实上情侣们对纯粹的真空期也是至关重要的变得无关紧要。因此，而不是类似于标量理论中的质量（这一点至关重要），可以更好地解释为常数源，它在微分同态的破相中与场线性耦合。 6.量子爱因斯坦引力的最小本质方案
由于真空能量在GFP处是无关紧要的耦合，我们可以通过重整化条件来固定它。特别是，我们可以选择一个条件，确保我们处于具有GFP的普适性类中，并从我们必须计算流量的耦合组中移除真空能量。我们将采用这种类型的最简单RG条件，它设置适用于所有天平RG条件(64)用截止刻度确定真空能量.已申请(64)，则为无量纲乘积由提供因此完全决定了在经典广义相对论中，在没有物质的情况下，是唯一有意义的耦合，因为可以重新缩放度量。这可以从流量方程中明确看出，当忽略RHS时独立于。一般来说，当显然，只有无量纲比率耦合才是必要的，因为度量的缩放将改变有量纲耦合的值。像这样的，是以普朗克单位表示的物理宇宙学常数，可以被视为可观测的，在我们考虑的普适性类别中消失。 然而，让我们强调，尽管将在以下时间消失，它在动作中的存在仍然需要一致地求解非零的流动方程k个.如果我们忽略了那么，完全是因为我们可以使用指示而不是。
除了(64)，我们指定了一组无限重正化条件，这些条件排除了所有依赖于Ricci曲率的项来自安萨茨除了爱因斯坦-希尔伯特作用和拓扑高斯-博内项。这定义了量子引力的最小基本方案。在曲率的二阶，最一般的微分同胚不变作用可以写成因此，在最小本质方案中，我们设置了此外，因为所有更高的项都只取决于Weyl曲率，在任何共形平坦时空上计算的传播子，即，就是经典广义相对论[48]. 因此，在共形平坦背景上评估的规则传播算子采用以下形式这确保了只描述了无质量引力子。 在这里，我们只考虑纯重力。然而，在[47]，自旋0的一般参数，, 1,和2个字段表明，通过引入新极点来修改传播子的项在GFP附近是多余的。例如，如果我们考虑标量张量理论然后我们仍然可以使用度量和标量的运动方程来消除不必要的耦合。在所有含有多达四个导数的项中，当运动方程适用时，唯一不消失的附加项是它们都不进入在共形平坦时空上计算的传播子，并且对于常数值为. 事实上，我们可以删除导致RG流传播子中额外极点的项，这表明在其他方案中遇到的极点是虚假的[52]. 然而，让我们强调，使用形状因子不会消失的方案并没有错，比如具有有表单哪里是与形状因子相关的波函数重整化因子和，已在中以各种近似值计算[18,53,54,55,56,57]散射振幅的物理含义已在[58,59,60,61]. （原则上，可以有另一个与标量自由度相关的独立波函数重整化，该自由度在以下理论中引入：重力。为了简单起见，我们讨论了只有一个波函数重整化的情况，这意味着和). 有两种情况Z在传播算子中引入新极点，或者不引入。在后一种情况下，我们可以删除Z由于它必须是一个完整的函数，因此它只是一个与动量相关的波函数重正化。在这种情况下，我们将发现与最小本质方案中相同的物理，即，虽然场的重新定义会修改理论的顶点，但传播子会返回到最小形式(67). 案例中Z不是一个完整的函数，对应于一个普适类，对于纯引力来说，这个普适类是不可访问的。特别是，它将包括除无质量引力子以外的粒子。因此，一方面，量子引力的最小本质方案，就像标量场论的对应方案一样[26]，确实限制了我们通过遵循相应的RG流可以访问的物理。另一方面，这是该方案的一个特点，而不是一个缺陷，因为受限理论空间具有物理意义，描述了在平坦时空中起伏的引力子之间的相互作用。此外，没有理由不让这些波动发生强烈的相互作用，尤其是可以成为有序的统一体。 当然，这可能是因为这个只包括无质量引力子的普适性类不包含合适的紫外线不动点，并且需要更多的自由度来描述一致的量子引力理论。例如，可能出现这样的情况，即人们需要在高导数重力中存在的额外自由度，而这是使理论可微扰重整化所必需的，或者需要添加一个除引力子外，它还包括一个额外的标量自由度。在这里，我们将测试这些额外的自由度对于非扰动重整化是不必要的假设。
7.导数展开中的Reuter不动点
为了检验上述假设，可以在导数展开的每个阶上执行最小本质方案。在这里，我们将按顺序研究RG流，其中动作是爱因斯坦-希尔伯特动作(64)、和（按顺序）动作的形式只有订单术语是拓扑术语。按订单我们设置了和到零，以及中的所有高阶项，并展开流量方程(71)订购解决它们是独自一人。按订单我们包括所有订单流动方程中的张量结构和而不是运行高导数联轴器和，设置为零。因此，按顺序最小基本流的特征是五个无量纲函数，即让我们强调一下，计算比高导数耦合的计算简单得多和不要消失[21,46]在标准方案中，beta和gamma函数的最终形式只取决于一个耦合，而不是四个耦合。 作为第一项检查，我们可以分析GFP周围的行为看看如何解释普遍的单圈发散。特别是，在我们选择的量规中，在尺寸调节中遇到的单圈发散由三个术语给出更换后并对k个同样的三项将分别出现在方程式（A23）–（A25）的RHS上的流量方程式中。然而，将重新规范化的条款和相反，被吸收到和，同时仍将被重新规范化。事实上，在我们发现了这正好解释了分歧(75). 非扰动β函数按订单执行和绘制于图1并被认为非常赞同在绘制的区域中。在两个订单中都存在一个UV固定点，其中我们可以确定为路透社不动点[5,6]. Reuter不动点将量子引力相图分割为弱耦合和强耦合区域和分别是。Reuter不动点的临界指数由提供其可以与这是在一个回路中获得的，因此，会得到一个小的修正。这表明路透社不动点是弱非扰动的[16,62]. 伽马函数，绘制于图2按订单执行和，在两个近似之间也显得稳定，并且在弱耦合阶段近似线性。在路透社固定点采用值通过观察伽马函数可以理解阶数之间的稳定性和，按顺序为零，并按顺序保持较小在该地区，如图所示图3和图4.在路透社固定点和取值因此，随着近似阶数的增加，我们观察到了显著的稳定性。按订单我们还发现了绘制于图5. 让我们强调一下，伽马函数的值不是普适量，将取决于RG方案。我们注意到beta函数按订单计算和开始大不相同。这表明导数展开在强耦合阶段可能不会收敛然而，由于我们无疑生活在一个弱耦合的阶段，这应该没有什么现象学的结果。
最后，我们注意到，在Reuter不动点处，冗余运算符(44)由提供按订单，和依据按订单。很容易看出这些操作符(86)和(87)与路透社不动点作用中的项线性无关，并在订单上形成完整的基础和分别是。这证实了我们选择用于固定GFP处不必要耦合的RG条件继续固定相互作用Reuter固定点处不必要的耦合值。 8.讨论与展望
我们研究了引力的非扰动重整化性[2]注意第一次忽略不重要的联轴器的运行。这样做的后果是深刻的：在最小本质方案中，计算不仅简单得多，而且我们还揭示了只有牛顿常数在我们的近似中是必要的和相关的。 虽然这一结论可能会因包含高阶项而改变，但这似乎不太可能，因为所有高阶项在规范上都是不相关的，因此，对其标度维数的量子修正必须很大。此外，不动点的稳定性从序变为序订购表明我们的近似不会遗漏另一个相关耦合。此外，Goroff–Sagnotti术语是唯一的独立于Ricci曲率的项在Reuter不动点处被发现是无关的[63]. 因此，我们预计此处按顺序获得的定性图片当我们接到更高的订单时，不会改变。最终，可以通过系统地增加导数展开的顺序来证实这一点。由于EAA中的条款比标准方法中的条款少，因此在最低基本方案中，该计划在技术上更简单[46]，这不会删除冗余运算符。此外，有人认为传播子中的额外极点可以阻止量子引力中导数展开的收敛[57]. 然而，在最小本质方案中，我们可以避免此类极点，因此我们期望看到导数展开的收敛性，正如标量场理论所观察到的那样[64]. 除了加强支持Reuter不动点存在的证据外，我们还可以给出一个支持理论为幺正的直接论点，因为包含四个导数的项是多余的。如果不动点可以在最小本质方案中找到，则所有高阶导数都具有这个性质，而最小本质方案假设从一开始就没有这些不动点。因此，最小本质方案提供了一个框架来解决渐进安全程序的一些开放问题[31,65]这与传播子的形式有关。我们应该强调，通过使用最小基本方案，我们可以规定我们试图重新规范化的物理自由度，从而确保我们处理的是一个单一理论，而不是在一个充斥着非单一理论的理论空间中进行搜索。在保留最小基本方案以外的项的计算中，我们希望找到位于不同普适性类中的许多不动点。事实上，包括黎曼曲率许多次幂的研究已经发现了具有多达四个相关方向的不动点[66]. 也许最深刻的是，我们已经将真空能量确定为无关紧要的耦合，这与其他论点一致[67]. 事实上，这在GFP是真的，这使得这成为一种微扰量子引力的性质。可以证明，贡献与和在线性化的beta函数中(63)来自与…成比例的术语在流量方程的RHS中(26)和条款成比例从流动方程的LHS。恢复普朗克常数的幂ℏ，我们可以看到，当这意味着真空能量的无关紧要的本质是量子效应。事实上，在一个方案中冗余算子中的经典项在GFP处消失，但由于在流量方程平均值的RHS中无论如何都是无关紧要的。对这种效应的基本理解是，场的重缩放产生无限因子在函数测量中，当正则化时，将重新标准化真空能量[50]. 在EAA的流量方程中，这表现为与在流量方程的RHS中。因此，只需对量子度量场进行重整化，我们就可以调整真空能量的重整化。因为在我们研究的普适性类中，能量在GFP和Reuter不动点都是无关紧要的，所以它的流动没有任何物理意义。然而，对于纯引力和与物质耦合的引力，也可能存在其他普适性类别，其中宇宙常数是必不可少的，其流动具有物理后果[68,69,70]. 由于在Reuter不动点只有一个相关的本质耦合，因此看起来普朗克单位的宇宙学常数的消失在必须是路透社不动点的预测。因此，如果一个不同的方案会发现一个非消失这将是一个矛盾，只能解释为近似的人工制品。为了研究这一点，我们可以避免修复，就像在最小基本方案中一样，但只假设消失于然后，展开围绕同时保持，一个按顺序找到那个这意味着可以采用非零值。研究完整的beta函数可以找到离开路透社固定点并以任意值结束的轨迹与最小基本方案相矛盾。然而，要订购人们反而发现它只在因此，与最小基本方案不会发生矛盾。因此，可观测的消失似乎是路透社不动点的稳健预测。 这里我们只讨论了纯引力，因此为了正确地解决宇宙常数问题，我们应该了解物质与引力耦合的情况[71]. 事实上，可以说在纯引力中从来就没有宇宙学常数的问题，因为如果我们只采用与将重新规范化我们可以简单地设置即使在物质存在的情况下，仍然存在一个与时空尺度的缩放有关的无关紧要的耦合。这可能为宇宙学常数问题提供新的线索[72]. 这项工作可以向几个方向扩展。一个关键的测试是确保在修改截止函数的形式时，定性图像是稳定的。此外，为了获得临界指数的最佳数值估计最小灵敏度（PMS）原理可以通过研究非物理参数，如进入一类截止函数的参数或非必要耦合的值，如真空能量。PMS选择当这种依赖性最小时（有关PMS对伊辛模型临界指数的最新应用，请参见[64]). 此外，对度量张量参数化和规范选择的依赖性[73,74,75,76]也可以在最小基本方案中进行研究。在背景场近似中，我们忽略了这些参数的运行，而对这些参数的适当处理应该将它们识别为不重要的耦合，因为它们不能输入可观察性的表达式。因此，超越背景场近似，最小基本方案应包括额外的伽马函数，以便为每个非物理参数施加重整化条件。另一种方法是，可以使用微分同构和参数化不变量精确重整化方程，例如那些基于几何有效作用的方程[77,78]或与背景无关的精确重整化群[79]. QEG中似乎只有一个相关的基本耦合，这一发现是一个令人鼓舞的迹象，表明人们试图接触其他可用于研究渐近安全性的方法。特别是，如果基于二维展开的微扰方法会非常有趣[50,80,81]也可以计算临界指数通过在最小基本方案中执行两圈计算。此外可以用晶格和张量模型方法计算量子引力[82,83,84,85].
