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第13卷
第8版
10.3390/sym13081416
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类熵属性和L（左）q个-超几何正交多项式的范数：度渐近

通过
杰苏斯·德赫萨
1,2
1
西班牙格拉纳达大学Carlos I de Física Teórica y Computacional18071
2
西班牙格拉纳达大学分子核子研究部，18071年，格拉纳达
对称 2021,13(8), 1416;https://doi.org/10.3390/sym13081416
收到日期：2021年5月26日/修订日期：2021年6月11日/接受日期：2021年7月13日/发布日期：2021年8月3日
（本文属于特刊特殊函数与多项式)
版本注释

摘要

:
在这项工作中，超几何正交多项式（HOP）沿着其正交区间的扩展是通过其相关Rakhmanov概率密度的主要类熵度量来检验的，因此，远远超出了标准偏差及其推广，即普通矩。Fisher信息、Rényi熵和Shannon熵及其相应的扩展长度用正交权函数的度和参数解析表示。这些熵量与梯度泛函（Fisher）和 L（左） q个 -多项式的范数（Rényi，Shannon）。此外，给出并简要讨论了HPO的三个典型族（即Hermite、Laguerre和Jacobi多项式）的类熵泛函的度渐近性。最后，确定了一些开放的相关问题，其解决方案在物理数学和计算上都是相关的。

1.简介

超几何正交多项式（HOP），也称为Shohat–Favard多项式和经典正交多项式，在特殊函数理论的发展中起着关键作用，它们在从近似理论到量子理论和数学物理的众多科学问题中起着重要作用[1,2,三,4,5,6,7,8]. 在这里，我们检查并回顾了在实际连续变量中HOP扩散测度的知识， { 对 n个 ( x个 ) } ，与权重函数正交 小时 ( x个 ) 关于区间 Λ ⊆ R（右） 。这些量测量其相关概率密度的不同传播面，如下所示：
ρ n个 ( x个 ) = 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) = 1 κ n个 对 n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) ,   具有   κ n个 = ∫ Λ | 对 n个 ( x个 ) | 2 小时 ( x个 ) d日 x个 ,
其中符号 对 ^ n个 ( x个 ) = 对 n个 ( x个 ) / κ n个 1 2 表示正交多项式。这个量叫做拉赫曼诺夫密度[9]因为他第一次发现它是为了控制渐近( n个 → + ∞ )两个连续阶多项式之比的行为。后来，人们认识到，这种归一化到单位的概率密度表征了许多量子系统（谐振子、氢原子等）一维和多维束缚定态的玻恩概率密度[三,10,11]. 这是因为薛定谔方程的物理解（波函数）适用于广泛的量子势族，例如球对称势族[三,12,13]，由Hermite的三个典型HOP家族控制 H（H） n个 ( x个 ) ，拉盖尔 L（左） n个 ( α ) ( x个 ) 和雅各比 P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) 类型。因此，HOP的扩散测度量化了量子系统的许多物理和化学性质，例如类物理熵测度，它们是经典和量子信息理论的基本变量[14,15,16]. 这些扩展度量包括标准差（及其推广，常矩）和类熵度量（Fisher信息[17,18]，香农熵[14,19]和Rényi熵[20,21])和 L（左） q个 -密度规范 ρ n个 ( x个 ) 为了在相同的基础上对所有这些量词进行相互比较，我们检查了Fisher、Shannon和Rényi类型的相应信息理论长度[22,23,24,25]. 这些数量以及标准偏差都是直接的扩散测量[26]因为它们有一些共同的属性：即与变量相同的单位x个，平移和反射下的不变性，线性缩放x个然后消失在极限中 ρ n个 ( x个 ) 接近delta函数。注意，与测量正交区间特定点（质心）周围概率密度集中的标准偏差相反，信息理论长度并不指该区间的任何特定点。
费希尔信息 如果 ( ρ ) 是密度导数的函数 ρ ( x个 ) ; 因此，它对密度的波动很敏感。Fisher信息控制密度在其节点周围的局部化，适当地把握密度的振荡性质；这使得它在描述多种多样的科学现象方面发挥了重要作用[18]. 它是密度的局部扩散度量，量化了 ρ 此外，此数量越高，密度越局部化，预测粒子局部化的准确性越高。
Rényi熵 R（右） q个 [ ρ ] , 0 < q个 < ∞ , q个 ≠ 1 , 符合密度分布测量系列 ρ ( x个 ) ，取决于实际参数q个。它们是q个-密度的幂函数，与 L（左） q个 -规范，因此它们具有全球性，与之前的Fisher信息相反。根据参数值q个这些数量为量化 ρ ( x个 ) 整个正交区间，包括Onicescu函数[27]或失衡 D类 [ ρ ] = 经验 ( − R（右） 2 [ ρ ] ) 和香农熵 S公司 [ ρ ] = 林 q个 → 1 R（右） q个 [ ρ ] 这些量满足大量有趣的物理数学性质[14,28,29,30,31]. 特别是，香农熵是唯一满足香农信息论定理所有假设的熵[14,19]以及其他一些重要标准[32]; 例如，在热系综的情况下，香农熵变为热力学熵。值得注意的是 S公司 ρ 中可以有任何值 − ∞ , ∞ 与微分香农熵相反， − ∑ 我 对 我 自然对数 对 我 离散样本空间上的概率，总是正的。此外 ρ ( x个 ) 倾向于制造 S公司 [ ρ ] 负值，而缓慢衰减的密度尾部会激发以下项的正值 S公司 [ ρ ] ; 因此，香农熵 S公司 [ ρ ] 估计密度的总范围 ρ .
在这项工作中，我们更新了HOP扩散测度的分析测定，重点是类熵量和 L（左） q个 -范数由于其在信息论中的相关性而成为特殊函数和量子系统，并便于其数值和符号计算。我们应该记住，由于当多项式次数为n个正在增加，这会破坏任何实现合理准确度的尝试，即使是很小的n个此外，渐近线( n个 → ∞ )尽管进行了简要讨论，但也考虑了这些多项式泛函中的一个。HOP的度非对称性及其推广是由A.I.Aptekarev、J.S.Dehesa、W.van Assche及其合作者在九十年代中期发起的[33,34,35]并在2001年回顾了一些物理和数学应用[11]和2010年[36]分别是。这个q个-未加权和加权的渐近性与权函数的参数渐近性 L（左） q个 -这里不考虑规范。度渐近线最近被用来评估谐波（类振荡器）量子系统的高激发（里德伯）态的物理Rényi熵和Shannon熵[37,38]和库仑（类氢）型[39,40,41]以及里德堡原子，它们被用作量子计算中逻辑门的构建元素。
这里，我们不考虑具有不同权重的多项式（即，其权重函数的参数依赖于多项式次数的多项式）的类熵测度，这些度量也具有重要的数学和物理意义[42,43]我们也不考虑另一种熵，HOP的离散Shannon熵[44]于2009年引入，它是对切比雪夫多项式的显式计算，雅可比多项式的阶渐近性是在2015年确定的[45]（另请参见[46]离散的Tsallis和Rényi熵）。
本文的结构如下。在第2节，我们给出了任意概率密度的扩散测度 ρ ( x个 ) 离散（标准差和普通矩）和信息理论（Fisher、Shannon和Rényi）类型。在第3节，显式计算了实际HOP的三个规范族（即Hermite、Laguerre和Jacobi）围绕原点的矩和标准差。在第4节和第5节，我们确定Fisher和Rényi（以及相关的加权 L（左） q个 -规范）HOP在所有程度上的传播措施n个分别是。在第6节,第7节和第8节，我们计算加权和广义加权的渐近度 L（左） q个 -Hermite、Laguerre和一般（即Szegö型）正交多项式和Jacobi多项式的范数。在第9节和第10节通过适当的（未加权，加权），我们展示了HOP的Shannon扩散测度及其程度渐近性 L（左） q个 -规范。最后，指出了一些结论性意见，并确定了一些尚未解决的相关问题。

2.概率密度的扩散测度

在本节中，我们描述了随机变量的离散（普通矩、标准差）和信息理论（Fisher信息、Shannon熵、Rényi熵）类型的扩展度量X（X）以连续概率密度为特征 ρ ( x个 ) , x个 ∈ Λ ⊆ R（右） .
估计X（X）在间隔期间 Λ ，我们经常采取一种熟悉的分散措施[47]与特定点周围的力矩有关 Λ ; 通常，选择原点（普通力矩或围绕原点的力矩 〈 x个 k个 〉 )或质心 〈 x个 〉 （中心力矩或围绕质心的力矩 〈 ( x个 − 〈 x个 〉 ) k个 〉 )或者我们使用一些信息——与频率或熵矩有关的理论量 W公司 q个 [ ρ ] = 〈 [ ρ ( x个 ) ] q个 − 1 〉 = ∥ ρ n个 ∥ q个 q个 [47,48,49]，它不依赖于间隔的任何特定点，并且与 L（左） q个 -密度规范。每组矩决定了概率密度 ρ ( x个 ) 在某些条件下作为相关普通股[50]和熵矩问题的状态。的期望值 （f） ( x个 ) 关于（归一化到单位）密度 ρ ( x个 ) 由提供 〈 （f） ( x个 ) 〉 = ∫ Λ （f） ( x个 ) ρ ( x个 ) d日 x个 最常见的离散度量是统计平方根或标准差 Δ x个 ，即方差的平方根：
V（V） [ ρ ] = Δ x个 2 = 〈 x个 2 〉 − 〈 x个 〉 2 ,
熵矩量化了概率实际上分布的程度/形状。它们有时是比普通时刻更好的概率量词[48]; 此外，在普通力矩效率相当低的范围内，它们相当有效[51]. 与熵矩有关的两个相关扩展测度是Rényi型和Shannon型的类熵测度。Rényi熵 R（右） q个 [ ρ ] 属于 ρ ( x个 ) 定义如下[20,21]:
R（右） q个 [ ρ ] = 1 1 − q个 自然对数 W公司 q个 [ ρ ] = 1 1 − q个 自然对数 ∫ Λ [ ρ ( x个 ) ] q个 d日 x个 , q个 > 0 , q个 ≠ 1 ,
香农熵[14,19]由极限值给出 q个 → 1 ，考虑正常化条件 W公司 1 [ ρ ] = 1 如下：
S公司 [ ρ ] = 林 q个 → 1 R（右） q个 [ ρ ] = − ∫ Λ ρ ( x个 ) 自然对数 ρ ( x个 ) d日 x个 .
Rényi参数q个允许增加或减少不同区域上被积函数对整个积分的贡献(2). 更高的值q个生成函数 [ ρ ( x个 ) ] q个 集中在分布的局部最大值附近，而较低的值具有在其整个域上平滑该函数的效果。正是在这种意义上，参数q个提供了一个强大的工具，以便通过Rényi熵获得概率密度的配置形状信息。此外，让我们在此提及以下给出的单调关系：
R（右） 对 [ ρ ] ≥ R（右） q个 [ ρ ] , 如果 对 ≤ q个 ; 和 对 − 1 对 R（右） 对 [ ρ ] ≥ q个 − 1 q个 R（右） q个 [ ρ ] , 如果 对 ≥ q个 > 1
特别是，它允许人们通过二阶熵将所有Rényi熵降为 R（右） q个 [ ρ ] ≥ 1 2 R（右） 2 [ ρ ] , 对于 q个 > 0 .
第三个显著的、性质不同的、类似熵的扩散度量 ρ ( x个 ) 是费希尔的信息[17,18]定义如下：
如果 ρ : = ∫ Λ [ ρ ′ ( x个 ) ] 2 ρ ( x个 ) d日 x个 .
与之前的色散和类熵具有全局性，因为它们是密度的幂函数和对数泛函相反，Fisher信息具有局部性，因为它是密度导数的泛函 ρ ( x个 ) 此外，这三种信息理论传播测度（香农、雷尼、费希尔）并不依赖于区间的任何特定点 Λ ，与标准偏差相反。然而，它们与标准偏差的单位不同（即X（X）)这样就不能相互比较。为了克服这个困难，引入了以下信息——理论长度[26]:
L（左） q个 R（右） [ ρ ] = e（电子） R（右） q个 [ ρ ] = W公司 q个 [ ρ ] 1 1 − q个 = ∫ Λ ρ ( x个 ) q个 d日 x个 1 1 − q个 , R（右） e（电子） ´ 纽约 长度 ,
L（左） 1 S公司 [ ρ ] = 林 q个 → 1 L（左） q个 R（右） [ ρ ] = 经验 S公司 [ ρ ] = 经验 − ∫ Λ ρ ( x个 ) 自然对数 ρ ( x个 ) d日 x个 , 香农 长度 ,
δ x个 = 1 如果 [ ρ ] = ∫ Λ [ ρ ′ ( x个 ) ] 2 ρ ( x个 ) d日 x个 − 1 2 , 费希尔 长度 .
我们注意到( V（V） [ ρ ] , R（右） q个 [ ρ ] , S公司 [ ρ ] , 如果 [ ρ ] )，及其相关的铺展长度( Δ x个 , L（左） q个 R（右） [ ρ ] , L（左） 1 S公司 [ ρ ] , δ x个 )，是互补的，因为它们各自掌握概率密度的一个不同方面 ρ ( x个 ) 因此，方差衡量质心周围密度的浓度，而Rényi熵和Shannon熵是衡量密度实际上集中到的程度/形状的构型方面，Fisher信息是密度振荡特征的量词，因为它估计了概率在其支持下的逐点集中 Λ 。所有铺展长度都具有以下特性[26,52,53]：与随机变量相同的单位，在适当的边界条件下平移、反射不变性和线性缩放，当密度趋于δ函数时消失。此外，它们还具有不确定性[24,54,55,56]和克拉梅·拉奥[52]和Shannon[19]不等式如下：
δ x个 ≤ Δ x个 , 和 L（左） 1 S公司 [ ρ ] ≤ ( 2 π e（电子） ) 1 2 Δ x个 ,
分别是。
在接下来的章节中，我们确定了Rakhmanov密度的先前扩散措施(1)实超几何多项式 { 对 n个 ( x个 ) } ，与权重函数正交 小时 ( x个 ) 关于区间 Λ 因此，以下内容成立：
∫ Λ 对 n个 ( x个 ) 对 米 ( x个 ) 小时 ( x个 ) d日 x个 = κ n个 δ n个 , 米 , 度 对 n个 = n个
其中权重函数具有以下表达式：
小时 H（H） ( x个 ) = e（电子） − x个 2 , x个 ∈ ( − ∞ , + ∞ ) 小时 α L（左） ( x个 ) = x个 α e（电子） − x个 , ( α > − 1 ) , x个 ∈ [ 0 , + ∞ ) 小时 α , β J ( x个 ) = ( 1 − x个 ) α ( 1 + x个 ) β , ( α , β > − 1 ) , x个 ∈ [ − 1 , + 1 ]
Hermite的HOP家族 H（H） n个 ( x个 ) ，拉盖尔 L（左） n个 ( α ) ( x个 ) 和雅各比 P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) 类型。相应的归一化常数如下：
κ n个 H（H） ≡ d日 n个 2 = π n个 ! 2 n个 ,
κ n个 L（左） ≡ d日 n个 , α 2 = Γ ( n个 + α + 1 ) / n个 ! ,
κ n个 J ≡ d日 n个 , α , β 2 = 2 α + β + 1 Γ ( α + n个 + 1 ) Γ ( β + n个 + 1 ) n个 ! ( α + β + 2 n个 + 1 ) Γ ( α + β + n个 + 1 ) ,
分别是。请注意 κ n个 = 1 对于正交多项式 对 ^ n个 ( x个 ) Hermite的 H（H） ^ n个 ( x个 ) ，拉盖尔 L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 和雅各比 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 类型。

3.HOP的普通力矩和标准偏差

在本节中，我们展示了由表达式定义的超几何正交多项式的三个标准族的普通矩和标准差(10)和(11). 它们由以下公式给出的相关Rakhmanov密度的相应数量给出：(1):
〈 x个 k个 〉 n个 = ∫ 一 b条 x个 k个 ρ n个 ( x个 ) d日 x个 = 1 κ n个 ∫ 一 b条 x个 k个 对 n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) d日 x个 k个 = 0 , 1 , 2 , . . .
对于普通时刻，以及
( Δ x个 ) n个 = 〈 x个 2 〉 n个 − 〈 x个 〉 n个 2 1 2 ,
标准偏差。这些量可以从不同的表征中获得[三,4,6]HOP，例如显式表达式[22,23,24]，正交关系(10)，三项递归关系[57]和二阶微分方程[三,58]. 简而言之，对于埃尔米特多项式，这些量具有以下值：
〈 x个 k个 〉 n个 = k个 ! 2 k个 Γ k个 2 + 1 2 如果 1 − n个 , − k个 2 1 2 , 即使 k个 0 , 古怪的 k个 ,
哪里 2 如果 1 ( 一 , b条 ; c（c） ; 2 ) 表示高斯超几何函数 2 如果 1 ( 一 , b条 ; c（c） ; x个 ) [6]评估时间： x个 = 2 对于普通时刻，以及
( Δ x个 ) n个 = n个 + 1 2 ,
正交Hermite多项式的标准偏差。对于拉盖尔多项式，下列值
〈 x个 k个 〉 n个 , α = n个 ! Γ ( k个 + α + 1 ) Γ ( n个 + α + 1 ) ∑ 第页 = 0 n个 k个 n个 − 第页 2 k个 + α + 第页 第页 ,
( Δ x个 ) n个 , α = 2 n个 2 + 2 ( α + 1 ) n个 + α + 1 ,
分别针对正交拉盖尔多项式的常矩和标准偏差找到。对于雅可比多项式，有以下表达式：
〈 x个 k个 〉 n个 , α , β = ∑ 我 = n个 − k个 n个 ∑ t吨 = 我 n个 ( − 1 ) t吨 − 我 n个 t吨 Γ ( α + n个 + 1 ) Γ ( α + β + n个 + t吨 + 1 ) n个 ! 2 t吨 Γ ( α + β + n个 + 1 ) Γ ( α + t吨 + 1 ) t吨 我 × ( − 1 ) k个 + 我 − n个 2 n个 ( k个 + 我 ) ! Γ ( n个 + α + β + 1 ) ( k个 + 我 − n个 ) ! Γ ( 2 n个 + α + β + 1 ) × 2 如果 1 n个 − k个 − 我 , n个 + β + 1 2 n个 + α + β + 2 2 .
正交雅可比多项式的普通矩，以及
Δ x个 n个 , α , β = 4 ( n个 + 1 ) ( n个 + α + 1 ) ( n个 + β + 1 ) ( n个 + α + β + 1 ) ( 2 n个 + α + β + 1 ) ( 2 n个 + α + β + 2 ) 2 ( 2 n个 + α + β + 三 ) + 4 n个 ( n个 + α ) ( n个 + β ) ( n个 + α + β ) ( 2 n个 + α + β − 1 ) ( 2 n个 + α + β ) 2 ( 2 n个 + α + β + 1 ) 1 / 2 ,
标准偏差。特别注意，HOP标准偏差的渐近行为如下 n个 （赫米特）， 2 n个 （拉盖尔）和 1 / 2 （雅可比），当权重的参数是固定的。最后，值得一提的是，最近还考虑了正交多项式的其他类型的矩，如指数矩和对数矩以及HOP的广义Krein-like矩[59].

4.HOP的Fisher扩散长度

在本节中，我们给出了Fisher展开长度的值(8)对于由表达式定义的HOP的三个规范族(10)和(11). 它们由相关的拉赫曼诺夫概率密度的相应量给出 ρ n个 ( x个 ) 由提供(1):
( δ x个 ) n个 ≡ 1 如果 [ ρ n个 ] ≡ d日 d日 x个 自然对数 ρ n个 ( x个 ) 2 − 1 2 = ∫ Δ d日 x个 [ ρ n个 ′ ( x个 ) ] 2 ρ n个 ( x个 ) − 1 2 ,
哪里 如果 [ ρ n个 ] ≡ 如果 [ 对 n个 ] 表示多项式的Fisher信息 对 n个 ( x个 ) 这个量是首次从HOPS的二阶微分方程推导出来的[60]（另请参见[25,61])，获取以下值：
( δ x个 ) n个 = 1 4 n个 + 2 ,
对于Hermite多项式 H（H） n个 ( x个 ) ,
( δ x个 ) n个 , α = 1 4 n个 + 1 ; α = 0 , α 2 − 1 ( 2 n个 + 1 ) α + 1 ; α > 1 , 0 ; α ∈ ( − 1 , + 1 ] , α ≠ 0 .
拉盖尔多项式 L（左） n个 ( α ) ( x个 ) , α > − 1 、和
( δ x个 ) n个 , α , β = 1 如果 ρ n个 , α , β ,
其中Fisher信息 如果 ρ n个 , α , β 如下所示：
如果 ρ n个 , α , β = 2 n个 ( n个 + 1 ) ( 2 n个 + 1 ) , α , β = 0 , 2 n个 + β + 1 4 n个 2 β + 1 + n个 + ( 4 n个 + 1 ) ( n个 + β + 1 ) + ( n个 + 1 ) 2 β − 1 , α = 0 , β > 1 , 2 n个 + α + β + 1 4 ( n个 + α + β − 1 ) n个 ( n个 + α + β − 1 ) n个 + α β + 1 + 2 + n个 + β α + 1 + ( n个 + 1 ) ( n个 + α + β ) n个 + α β − 1 + 2 + n个 + β α − 1 , α , β > 1 , ∞ , 否则 ,
雅可比多项式 P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) ，带有 α , β > − 1 我们可以很容易地从这些值和上一节的标准偏差值中注意到，Cramér-Rao不等式(9)为三个HOP家族正式履行。此外，我们观察到Fisher扩展长度的渐近行为 δ ( x个 ) 对于HOP是 n个 − 1 / 2 （赫米特）， n个 − 1 / 2 （拉盖尔）和 n个 − 三 / 2 （雅可比）。

5.雷尼的扩散长度和加权 L（左） q个 -HOP规范

在本节中，我们给出了Rényi展开长度的值(6)HOP的三个标准族 { 对 n个 ( x个 ) } ，由表达式定义(10)和(11). 这些数量表示为 L（左） q个 R（右） [ 对 n个 ] 为方便起见，由相关Rakhmanov密度的相应数量给出 ρ n个 ( x个 ) 由提供(1):
L（左） q个 R（右） [ 对 ^ n个 ] = e（电子） R（右） q个 [ 对 ^ n个 ] = W公司 q个 [ 对 ^ n个 ] 1 1 − q个 = ∫ Λ ρ n个 ( x个 ) q个 d日 x个 1 1 − q个 = ∫ Λ 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) q个 d日 x个 1 1 − q个 , q个 > 0 , q个 ≠ 1 ,
其中符号 R（右） q个 [ 对 ^ n个 ] 和 W公司 q个 [ 对 ^ n个 ] 对于Rényi熵和加权 L（左） q个 -正交多项式的范数 对 ^ n个 ( x个 ) 表示q个四阶Rényi熵 R（右） q个 [ ρ n个 ] 和熵矩 W公司 q个 [ ρ n个 ] 属于 ρ n个 ( x个 ) ，因此以下内容成立：
R（右） q个 [ 对 ^ n个 ] = 1 1 − q个 自然对数 ∫ Λ 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) q个 d日 x个 , q个 > 0 , q个 ≠ 1 ,
和
W公司 q个 [ 对 ^ n个 ] = ∫ Λ 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) q个 d日 x个 , q个 > 0 , q个 ≠ 1 ,
然后，我们特别需要加权 L（左） q个 -正交多项式（HOP）和正交多项式的范数和Rényi展开长度相互关联，如下所示：
W公司 q个 [ 对 n个 ] = ∫ Λ 对 n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) q个 d日 x个 = κ n个 q个 W公司 q个 [ 对 ^ n个 ]
和
L（左） q个 R（右） [ 对 n个 ] = W公司 q个 [ 对 n个 ] 1 1 − q个 = κ n个 q个 1 − q个 W公司 q个 [ 对 ^ n个 ] 1 1 − q个 .
自Bernstein和Steklov时代以来，这些范数的解析确定一直是特殊函数和极值多项式理论本身的一个长期问题（参见[62,63,64])在三角级数理论中[65]. 最近，这些量是通过使用（a）HOP幂的级数展开来获得的 对 n个 ( x个 ) 利用组合Bell多项式[66]，或（b）Srivastava–Niukkanen的线性化方法[67,68]正整数幂的 对 n个 ( x个 ) 2 q个 利用多元Lauricella函数计算HOP 如果 A类 ( 2 q个 ) 1 q个 , … , 1 q个 [69]（Hermite和Laguerre情况）和Srivastava–Daoust广义函数 如果 1 : 1 ; 1 … ; 1 1 : 2 ; … ; 2 ( 1 , … , 1 ) （雅各比案），正如Sánchez-Moreno等人在[22,70]分别是。组合方法基于扩展对-任意多项式的次幂如下：
年 n个 ( x个 ) = ∑ t吨 = 0 n个 c（c） t吨 x个 t吨
由以下给出[22]:
[ 年 n个 ( x个 ) ] 对 = ∑ t吨 = 0 n个 对 对 ! ( t吨 + 对 ) ! B类 t吨 + 对 , 对 ( c（c） 0 , 2 ! c（c） 1 , … , ( t吨 + 1 ) ! c（c） t吨 ) x个 t吨 ,
具有 c（c） 我 = 0 对于 我 > n个 ; 其余膨胀系数由方程式给出(44), (49)和(56)分别在Hermite、Laguerre和Jacobi案件中。这个B类-符号表示组合学中著名的多元贝尔多项式[66]具体如下：
B类 米 , 我 ( c（c） 1 , c（c） 2 , … , c（c） 米 − 我 + 1 ) = ∑ π ^ ( 米 , 我 ) 米 ! j个 1 ! j个 2 ! ⋯ j个 米 − 我 + 1 ! c（c） 1 1 ! j个 1 c（c） 2 2 ! j个 2 ⋯ c（c） 米 − 我 + 1 ( 米 − 我 + 1 ) ! j个 米 − 我 + 1
其中总和遍及所有分区 π ^ ( 米 , 我 ) 使以下内容保持不变：
j个 1 + j个 2 + ⋯ + j个 米 − 我 + 1 = 我 , 和 j个 1 + 2 j个 2 + ⋯ + ( 米 − 我 + 1 ) j个 米 − 我 + 1 = 米 .
另一方面，代数方法[70]使用HOPS的Srivastava–Niukanen线性化公式。特别是，对于拉盖尔多项式，我们有以下几点[70]:
x个 μ L（左） n个 ( α ) ( t吨 x个 ) 第页 = ∑ 我 = 0 ∞ c（c） 我 ( μ , 第页 , t吨 , n个 , α , γ ) L（左） 我 ( γ ) ( x个 )
具有以下线性化系数：
c（c） 我 ( μ , 第页 , t吨 , n个 , α , γ ) = ( γ + 1 ) μ n个 + α n个 第页 如果 A类 ( 第页 + 1 ) γ + μ + 1 ; − n个 , … , − n个 ︷ 第页 , − 我 α + 1 , … , α + 1 ︸ 第页 , γ + 1 ; t吨 , … , t吨 ︷ 第页 , 1 ,
其中Pochhammer符号 ( z（z） ) 一 = Γ ( z（z） + 一 ) Γ ( z（z） ) [6]和 如果 A类 ( 第页 + 1 ) ( x个 1 , … , x个 第页 ) 表示A类Lauricella函数 第页 + 1 变量和 2 第页 + 三 参数定义如下：[69]
如果 A类 ( 秒 ) 一 ; b条 1 , … , b条 秒 c（c） 1 , … , c（c） 秒 ; x个 1 , … , x个 秒 = ∑ j个 1 , … , j个 秒 = 0 ∞ ( 一 ) j个 1 + ⋯ + j个 秒 ( b条 1 ) j个 1 ⋯ ( b条 秒 ) j个 秒 ( c（c） 1 ) j个 1 ⋯ ( c（c） 秒 ) j个 秒 x个 1 j个 1 ⋯ x个 秒 j个 秒 j个 1 ! ⋯ j个 秒 ! .
类似地，我们有以下雅可比多项式的线性化公式[70]:
P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) 第页 = ∑ 我 = 0 ∞ c（c） ˜ 我 ( 第页 , n个 , α , β , γ , δ ) P（P） 我 ( γ , δ ) ( x个 ) ,
其中系数由以下公式给出：
c（c） ˜ 我 ( 第页 , n个 , α , β , γ , δ ) = n个 + α n个 第页 γ + δ + 2 我 + 1 γ + δ + 我 + 1 ∑ j个 1 , … , j个 第页 = 0 n个 ∑ j个 第页 + 1 = 0 我 ( γ + 1 ) j个 1 + ⋯ + j个 第页 + j个 第页 + 1 ( γ + δ + 我 + 2 ) j个 1 + ⋯ + j个 第页 × ( − n个 ) j个 1 ( α + β + n个 + 1 ) j个 1 ⋯ ( − n个 ) j个 第页 ( α + β + n个 + 1 ) j个 第页 ( − 我 ) j个 第页 + 1 ( α + 1 ) j个 1 ⋯ ( α + 1 ) j个 第页 ( γ + 1 ) j个 第页 + 1 j个 1 ! ⋯ j个 第页 ! j个 第页 + 1 ! ,
为了在这种代数方法的框架内获得Hermite多项式的线性化公式，我们使用方程(36)以及赫密特多项式和拉盖尔多项式的已知关系[6]:
H（H） 2 n个 ( x个 ) = ( − 1 ) n个 2 2 n个 n个 ! L（左） n个 ( x个 2 ) ; H（H） 2 n个 + 1 ( x个 ) = ( − 1 ) n个 2 2 n个 + 1 n个 ! x个 L（左） n个 ( x个 2 ) .

5.1. Hermite多项式

发件人(27)和显式表达式(32)Hermite多项式 H（H） n个 ( x个 ) ，组合方法允许获得Rényi扩展长度的以下值 L（左） q个 R（右） [ H（H） n个 ] 对于 2 q个 ∈ N个 , q个 > 2 :
L（左） q个 R（右） [ H（H） n个 ] = W公司 q个 [ H（H） n个 ] 1 1 − q个 ,
使用加权范数 W公司 q个 [ H（H） n个 ] Hermite多项式的计算公式如下：
W公司 q个 [ H（H） n个 ] = ∫ − ∞ ∞ H（H） n个 2 ( x个 ) 小时 H（H） ( x个 ) q个 d日 x个 = ∑ j个 = 0 n个 q个 Γ j个 + 1 2 q个 j个 + 1 2 ( 2 q个 ) ! ( 2 j个 + 2 q个 ) ! B类 2 j个 + 2 q个 , 2 q个 ( c（c） 0 ( n个 ) , 2 ! c（c） 1 ( n个 ) , … , ( 2 j个 + 1 ) ! c（c） 2 j个 ( n个 ) ) ,
具有以下值：
c（c） t吨 ( n个 ) = ( − 1 ) 三 n个 − t吨 2 n个 ! 2 n个 n个 ! π 1 2 2 t吨 n个 − t吨 2 ! t吨 ! ( − 1 ) t吨 + ( − 1 ) n个 2 .
膨胀系数 c（c） t吨 正交埃尔米特多项式（见[三,6,22])。然后，表达式(43)和(42)与(34)和(44)提供一个算法过程来查找q个加权规范和q个Hermite多项式的th-Rényi扩展长度，分别以次数表示n个和参数q个参见第节 3.2 第页，共页[22]了解更多详细信息。
或者，根据方程式(36)和(41)和正交关系(10)Hermite多项式的代数方法[70]允许用户查找以下值：
W公司 q个 [ H（H） n个 ] = q个 − ν q个 − 1 2 Γ n个 + ν + 1 2 Γ n个 − ν 2 + 1 q个 Γ ν + 1 2 − 2 q个 Γ q个 ν + 1 2 如果 A类 ( 2 q个 ) q个 ν + 1 2 ; ν − n个 2 , … , ν − n个 2 ︷ 2 q个 ν + 1 2 , … , ν + 1 2 ︸ 2 q个 ; 1 q个 , … , 1 q个 ︷ 2 q个
Hermite多项式的加权范数。请注意，此数量完全取决于n个和q个让我们回忆一下 如果 A类 ( 第页 + 1 ) ( x个 1 , … , x个 第页 ) 表示A类Lauricella函数 第页 + 1 变量和 2 第页 + 三 参数定义如下[69]:
如果 A类 ( 秒 ) 一 ; b条 1 , … , b条 秒 c（c） 1 , … , c（c） 秒 ; x个 1 , … , x个 秒 = ∑ j个 1 , … , j个 秒 = 0 ∞ ( 一 ) j个 1 + ⋯ + j个 秒 ( b条 1 ) j个 1 ⋯ ( b条 秒 ) j个 秒 ( c（c） 1 ) j个 1 ⋯ ( c（c） 秒 ) j个 秒 x个 1 j个 1 ⋯ x个 秒 j个 秒 j个 1 ! ⋯ j个 秒 ! .
这取决于 N个 = ∑ 我 = 0 第页 ( 对 我 + q个 我 ) 参数。
然后，从表达式方程式(42), (43)和(45)在两种组合方法和代数方法中，一种方法具有Hermite多项式的Rényi展开长度。特别是，对于 q个 = 2 ，我们获得了Onicescu信息理论长度的以下值 L（左） 2 R（右） [ H（H） n个 ] = L（左） 2 R（右） [ ρ n个 ]
L（左） 2 R（右） [ H（H） 0 ] = 2 π , L（左） 2 R（右） [ H（H） 1 ] = 4 三 2 π , L（左） 2 R（右） [ H（H） 2 ] = 64 41 2 π
前几个带有度的Hermite多项式 n个 = 0 , 1 , 2 。请参阅[22,70,71]进一步的细节和应用，以确定位置和动量空间中一维和多维调和系统的总Rényi熵。

5.2. 拉盖尔多项式

发件人(27)和显式表达式(32)正交拉盖尔多项式 L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) ，组合方法允许获得Rényi扩展长度的以下值 L（左） q个 R（右） [ L（左） ^ n个 ( α ) ] = L（左） q个 R（右） [ ρ n个 , α ] 对于 2 q个 ∈ N个 , q个 > 2 和存在 ρ n个 , α = L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 小时 α L（左） ( x个 ) :
L（左） q个 R（右） [ L（左） ^ n个 ( α ) ] = W公司 q个 [ L（左） ^ n个 ( α ) ] 1 1 − q个 ,
使用加权范数 W公司 q个 [ L（左） n个 ( α ) ] 拉盖尔多项式的计算公式如下：
W公司 q个 L（左） ^ n个 ( α ) = ∫ 0 ∞ L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 小时 α L（左） ( x个 ) q个 d日 x个 = ∑ k个 = 0 2 n个 q个 Γ ( α q个 + k个 + 1 ) q个 α q个 + k个 + 1 ( 2 q个 ) ! ( k个 + 2 q个 ) ! B类 k个 + 2 q个 , 2 q个 c（c） 0 ( n个 , α ) , 2 ! c（c） 1 ( n个 , α ) , . . . , ( k个 + 1 ) ! c（c） k个 ( n个 , α ) ,
哪里B类-符号描述了按以下值计算的多元贝尔多项式：
c（c） t吨 ( n个 , α ) = Γ ( n个 + α + 1 ) n个 ! ( − 1 ) t吨 Γ ( α + t吨 + 1 ) n个 t吨 .
关于正交拉盖尔多项式的展开系数（参见[6,24])。然后，表达式(48)和(47)与(34)和(49)提供一个算法过程来查找q个加权规范和q个拉盖尔多项式的th-Rényi扩展长度，分别以其次数表示n个和参数 α 和q个特别是，对于 q个 = 2 ，我们获得了Onicescu信息理论长度的以下值 L（左） 2 R（右） [ L（左） ^ n个 ( α ) ] :
L（左） 2 R（右） [ L（左） ^ 0 ( α ) ] = 2 2 α + 1 Γ ( α + 1 ) 2 Γ ( 2 α + 1 ) 1 2 , L（左） 2 R（右） [ L（左） ^ 1 ( α ) ] = 2 2 α + 三 Γ ( α + 2 ) 2 ( 1 + α ) ( 2 + 三 α ) Γ ( 2 α + 1 ) 1 2
拉盖尔多项式 L（左） n个 ( α ) ( x个 ) 具有 n个 = 0 , 1 .
或者，从表达式(36)和正交关系(10)拉盖尔多项式的代数方法[70]允许用户查找以下值：
W公司 q个 R（右） [ L（左） n个 ( α ) ] = Γ ( α q个 + 1 ) q个 α q个 + 1 Γ ( n个 + α + 1 ) q个 ( n个 ! ) q个 Γ ( α + 1 ) 2 q个 如果 A类 ( 2 q个 ) α q个 + 1 ; − n个 , … , − n个 ︷ 2 q个 α + 1 , … , α + 1 ︸ 2 q个 ; 1 q个 , … , 1 q个 ︷ 2 q个 ,
拉盖尔多项式的加权范数 L（左） n个 ( α ) ( x个 ) 对于所有整数订单（即，当 q个 ∈ N个 ). 请注意，这些数量仅取决于订单q个，多项式次数n个和多项式参数 α ，其中 如果 A类 ( 2 q个 ) ( x个 1 , … , x个 第页 ) 表示A类Lauricella函数，由方程式给出(46).
然后，从表达式方程式(47)和(51)一种是在两种组合方法和代数方法中，拉盖尔多项式的Rényi展开长度。特别是，我们有以下值：
L（左） q个 R（右） [ L（左） ^ 0 ( α ) ] = 1 Γ ( α + 1 ) q个 Γ ( α q个 + 1 ) q个 α q个 + 1 1 1 − q个 ,
它调用了Mehta–Selberg积分，以及
L（左） q个 R（右） L（左） ^ 1 ( α ) = Γ ( α q个 + 1 ) ( 1 + α ) 2 q个 ( Γ ( α + 2 ) ) q个 q个 α q个 + 1 2 如果 0 − 2 q个 , α q个 + 1 − ; 1 q个 ( α + 1 ) 1 1 − q个 .
对于拉盖尔多项式 L（左） n个 ( α ) ( x个 ) 具有 n个 = 0 , 1 还要注意的是，方程式(52)和(53)带有 q个 = 2 归结为前面的值(50)分别为Onicescu长度。请参见[70,72]进一步的细节和应用，以确定位置和动量空间中多维氢系统的径向Rényi熵。

5.3. 雅可比多项式

发件人(27)和显式表达式(32)雅可比多项式 P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) ，组合方法允许获得Rényi扩展长度的以下值 L（左） q个 R（右） [ P（P） n个 ( α , β ) ] = L（左） q个 R（右） [ ρ n个 , α , β ) ] 对于 2 q个 ∈ N个 , q个 > 2 :
L（左） q个 R（右） [ P（P） n个 ( α , β ) ] = W公司 q个 [ P（P） n个 ( α , β ) ] 1 1 − q个 ,
使用加权范数 W公司 q个 [ P（P） n个 ( α , β ) ] 雅可比多项式的计算公式如下：
W公司 q个 [ P（P） n个 ( α , β ) ] = ∫ − 1 + 1 P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) 2 小时 α , β J ( x个 ) q个 d日 x个 = ∑ k个 = 0 2 n个 q个 ( 2 q个 ) ! ( k个 + 2 q个 ) ! B类 k个 + 2 q个 , 2 q个 c（c） 0 ( n个 , α , β ) , 2 ! c（c） 1 ( n个 , α , β ) , … , ( k个 + 1 ) ! c（c） k个 ( n个 , α , β ) 我 ( k个 , q个 , α , β ) ,
使用参数函数
我 ( k个 , q个 , α , β ) = ( − 1 ) k个 2 1 + α q个 + β q个 Γ ( α q个 + 1 ) Γ ( β q个 + 1 ) Γ ( α q个 + β q个 + 2 ) 2 如果 1 − k个 , 1 + β q个 2 + ( α + β ) q个 ; 2 ,
雅可比膨胀系数（参见[三,6,23])
c（c） t吨 ( n个 , α , β ) = Γ ( α + n个 + 1 ) ( 2 n个 + α + β + 1 ) n个 ! 2 ( α + β + 1 ) Γ ( α + β + n个 + 1 ) Γ ( n个 + β + 1 ) ∑ 我 = t吨 n个 ( − 1 ) 我 − t吨 n个 我 我 t吨 Γ ( α + β + n个 + 我 + 1 ) 2 我 Γ ( α + 我 + 1 )
然后，表达式(55)和(54)与(34)和(56)提供一个算法过程来查找q个加权规范和q个雅可比多项式的th-Rényi扩展长度，分别以其阶数表示n个和参数 ( α , β ) 和q个。请参阅第4节第页，共页[23]了解更多详细信息。
或者，从表达式(39)和正交关系(10)雅可比多项式的代数方法[70]允许用户查找以下值：
W公司 q个 [ P（P） n个 ( α , β ) ] = 2 α q个 + β q个 + 1 Γ ( α q个 + 1 ) Γ ( β q个 + 1 ) Γ ( α q个 + β q个 + 2 ) n个 ! ( α + β + 2 n个 + 1 ) Γ ( α + β + n个 + 1 ) 2 α + β + 1 Γ ( α + n个 + 1 ) Γ ( β + n个 + 1 ) q个 × n个 + α n个 2 q个 如果 1 : 1 ; … ; 1 1 : 2 ; … ; 2 α q个 + 1 : − n个 , α + β + n个 + 1 ; … ; − n个 , α + β + n个 + 1 ︷ 2 q个 α q个 + β q个 + 2 : α + 1 ; … ; α + 1 ︸ 2 q个 ; 1 , … , 1 ︷ 2 q个
雅可比多项式的加权范数 P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) 有秩序地 q个 = 2 , 三 , 4 , … 注意，这些数量仅取决于订单q个，多项式次数n个和参数 α 和 β 让我们回忆一下这个符号 如果 1 : 1 ; … ; 1 1 : 2 ; … ; 2 ( x个 1 , … , x个 第页 ) 表示第页-变量Srivastava–Daoust函数定义如下[67,70]:
如果 1 : 1 ; … ; 1 1 : 2 ; … ; 2 一 0 ( 1 ) : 一 1 ( 1 ) , 一 1 ( 2 ) ; … ; 一 第页 ( 1 ) , 一 第页 ( 2 ) ; x个 1 , … , x个 第页 b条 0 ( 1 ) : b条 1 ( 1 ) ; … ; b条 第页 ( 1 ) = = ∑ j个 1 , … , j个 第页 = 0 ∞ 一 0 ( 1 ) j个 1 + … + j个 第页 b条 0 ( 1 ) j个 1 + … + j个 第页 一 1 ( 1 ) j个 1 一 1 ( 2 ) j个 1 ⋯ 一 第页 ( 1 ) j个 第页 一 第页 ( 2 ) j个 第页 b条 1 ( 1 ) j个 1 b条 第页 ( 1 ) j个 第页 x个 1 j个 1 x个 2 j个 2 ⋯ x个 第页 j个 第页 j个 1 ! j个 2 ! ⋯ j个 第页 ! ,
这取决于 N个 = ∑ 我 = 0 第页 ( 对 我 + q个 我 ) 参数。
然后，根据方程式的表达式(54), (55)和(57)在两种组合方法和代数方法中，一种方法具有拉盖尔多项式的Rényi展开长度[23]. 请参见[67,70,72]进一步的细节和应用，以确定位置和动量空间中多维氢系统的角Rényi熵。
最后，由于得到了加权范数的表达式 W公司 [ 对 n个 ] 因此，对于Rényi熵 R（右） [ 对 n个 ] 和Rényi扩散长度 L（左） 1 R（右） [ 对 n个 ] HOP的分析不易操作，至少有渐近值是有趣的( n个 → ∞ )并根据它们的权重函数的程度和参数来获得这些量的简单、紧凑和精确的上界。后一个问题尚未确定，但前一个问题与渐近性有关( n个 → ∞ )在接下来的三节中详细介绍了Hermite、Laguerre和Jacobi多项式及其推广。

6.加权的度渐近性 L（左） q个 -Hermite多项式的范数

本节的目标是强渐近( n个 → ∞ )熵矩或加权矩的测定 L（左） q个 -Hermite多项式的范数，即：
W公司 q个 [ H（H） n个 ] = ∫ − ∞ + ∞ H（H） n个 2 ( x个 ) e（电子） − x个 2 q个 d日 x个 ; q个 > 0 .
这个问题是由Aptekarev等人提出的[34,36]是谁解决的 q个 ∈ 0 , 4 三 利用正交Hermite多项式的Plancherel和Rotach渐近性的推广[1]. 他们获得了[34]以下表达式：
∫ − ∞ + ∞ H（H） ^ n个 − 1 2 ( x个 ) e（电子） − x个 2 q个 d日 x个 = c（c） q个 ( 2 n个 ) 1 − q个 2 1 + o个 ( 1 ) , （f） o个 第页 q个 ≤ 4 三 ,
关于正交多项式加权范数的主项 H（H） ˜ n个 − 1 ( x个 ) ，具有以下常量：
c（c） q个 = 2 π q个 Γ ( q个 + 1 2 ) Γ ( q个 + 1 ) Γ ( 1 − q个 2 ) Γ ( 三 2 − q个 2 ) .
现在，考虑到归一化常数(12)以及伽马函数的斯特林公式[6]，此表达式对正交Hermite多项式的加权范数产生以下渐近性 H（H） n个 − 1 ( x个 ) :
W公司 q个 [ H（H） n个 − 1 ] = c（c） q个 κ n个 − 1 q个 ( 2 n个 ) 1 − q个 2 1 + o个 ( 1 ) = c（c） q个 π q个 ( 2 n个 ) q个 ( n个 − 1 ) + 1 / 2 e（电子） − q个 n个 1 + o个 ( 1 ) .
改进此表达式并扩展其对所有值的有效性q个，我们必须超越Plancherel–Rotach渐近性，因为它不能给出整条实线上Hermite多项式的渐近性。这可以通过Deift等人的强大Riemann–Hilbert方法实现[73]（另请参见[74])或者通过图利亚科夫方法[75]，其起点是正交性的权重和递归关系，它们分别表征了这些正交多项式。将后一种方法应用于Hermite多项式，我们可以发现[76]以下渐近结果：
定理 1
让 H（H） n个 ( x个 ) 是具有标准正交性的Hermite多项式(10)–(12). 然后，熵矩或加权 L（左） q个 -规范 W公司 q个 [ ρ n个 − 1 ] ，由方程式给出(59)，具有以下渐近性( n个 → ∞ )行为：
W公司 q个 [ H（H） n个 − 1 ] = c（c） q个 π q个 ( 2 n个 ) q个 ( n个 − 1 ) + 1 / 2 e（电子） − q个 n个 1 + o个 ( 1 ) , q个 < 2 , 2 ( 2 n个 ) 2 n个 − 三 2 e（电子） − 2 n个 自然对数 ( n个 ) + O（运行） ( 1 ) , q个 = 2 , 2 C类 q个 2 − q个 ( 2 n个 ) q个 n个 − 2 三 − 1 6 e（电子） − q个 n个 1 + o个 ( 1 ) , q个 > 2 .
其中常量 c（c） q个 定义于(61)和常数 C类 q个 等于以下值：
C类 q个 = ∫ − ∞ + ∞ 2 π 2 三 艾岛 2 − z（z） 2 三 2 q个 d日 z（z） .
具有 z（z） : = 2 n个 x个 2 三 − x个 4 三 , 和Airy函数 艾岛 （请参见[6]).
我们注意到(63)与…重合(62)，但现在它在最大范围内适用对（当 对 = 2 ，然后 c（c） 对 = ∞ ); 让我们也强调一下，渐近的主项正在增长。此外，较小的项包含一个常数，该常数取决于对，以及何时 对 → 0 ，该常数趋于无穷大；然而，我们的公式对任何小的固定 对 > 0 我们还注意到(63)在以下情况下相互匹配 对 → 2 .
让我们强调渐近线这个主要术语的简单性( n个 → ∞ )Hermite多项式的加权范数， W公司 q个 [ H（H） n个 ] ，由表达式给出(63). 事实上，考虑到表达式的复杂性，这个结果非常简单(43)和(45)在中获得第5节对于具有固定次数的Hermite多项式的相应量n个，需要对多元Bell多项式进行求值(34)埃尔米特展开系数(44)或类型为A的多元Lauricella函数(46)在 1 / q个 分别是。
这个定理有助于评估一维类振子系统的高激发态（即里德堡态）的Rényi熵[76]基本上是因为这些量子系统的径向波函数由Hermite多项式控制。简言之，不同阶次的Rényi熵所描述的各种物理量q个对主量子数的依赖性明显增加n个描述系统的里德堡状态。

7.广义加权的度渐近性 L（左） q个 -拉盖尔多项式的范数

在本节中，我们研究并解决了渐近性( n个 → ∞ )广义加权 L（左） q个 -拉盖尔多项式的范数定义如下：
N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) = ∫ 0 ∞ L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 小时 α L（左） ( x个 ) q个 x个 β d日 x个 , q个 > 0 , α > − 1 .
具有 β 以便 β + 对 α > − 1 得到收敛性，以及权重函数 小时 α L（左） ( x个 ) = x个 α e（电子） − x个 。请注意，对于 β = 0 这些量表示加权 L（左） q个 -规范(29)正交拉盖尔多项式， W公司 q个 [ L（左） ^ n个 ( α ) ] .正交多项式 L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 = L（左） n个 ( α ) ( x个 ) 2 / κ n个 L（左） ，符合标准 κ n个 L（左） = ∥ L（左） n个 ( α ) ∥ 2 = d日 n个 , α 2 由提供(13)以及正交多项式：
L（左） n个 ( α ) ( x个 ) = ∑ ν = 0 n个 n个 + α n个 − ν ( − x个 ) ν ν ! .
这个问题本质上取决于参数的值 α , β 和q个Aptekarev等人[77]2016年。他们意识到对积分的主要贡献 N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) 由不同的集成区域给出(64)取决于参数的值，这些参数控制多项式沿正交区间的行为。因此，我们必须在正交区间的不同积分区域中对拉盖尔多项式使用不同的渐近表示 ( 0 , ∞ ) ; 这些表示似乎遵循不同的尺度。
首先，在正交区间的最左侧（即在零附近），我们有贝塞尔区域，因为拉盖尔多项式可以通过贝塞尔函数渐近表示。然后，在右边，在零点位置的整体区域中，利用三角函数对多项式的振荡行为进行渐近建模。在极右零点附近，多项式的渐近性由艾里函数给出：这是艾里状态。最后，在∞多项式具有增长的渐近性。此外，在某些连续积分的区域中，渐近行为似乎相互匹配。也就是说，大参数贝塞尔函数的渐近与三角函数相匹配，而艾里函数的渐近也是如此。
总共有五种渐近状态可以给出（取决于 α 和q个)渐近中的主要贡献 N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) 。其中三人对n个，根据幂律，指数取决于 α 和q个; 我们将其称为贝塞尔、艾里和余弦（或振荡）区域。此外，还有两种与过渡区相关的渐近状态：余弦-血管和余弦-航空。如果这些体系在积分中占主导地位(64)，然后是 N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) 有一个因素 自然对数 n个 除了幂律n个总结起来，Aptekarev等人[77]结果如下。
定理 2
渐近线( n个 → ∞ )广义加权 L（左） q个 -规范 N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) 定义的拉盖尔多项式(64)，由以下表达式给出：
A.对于 β > 0 ,
N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) = C类 ( β , q个 ) ( 2 n个 ) 1 + β − q个 ( 1 + o个 ( 1 ) ) , q个 ∈ ( 0 , 2 ) 自然对数 n个 + O（运行） ( 1 ) π 2 ( 4 n个 ) 1 − β , q个 = 2 C类 A类 ( q个 ) π q个 ( 4 n个 ) ( 1 − 2 q个 三 + β ) ( 1 + o个 ( 1 ) ) , q个 ∈ ( 2 , 2 + 三 β ) C类 A类 ( q个 ) π q个 4 β + 1 + C类 B类 ( α , β , q个 ) n个 − β − 1 , q个 = 2 + 三 β C类 B类 ( α , β , q个 ) n个 − β − 1 , q个 ∈ ( 2 + 三 β , ∞ ) ,
B.对于 β = 0 ,
N个 n个 ( q个 ) ( α , 0 ) ≡ W公司 q个 [ L（左） ^ n个 ( α ) ] = C类 ( 0 , q个 ) ( 2 n个 ) ( 1 − q个 ) ( 1 + o个 ( 1 ) ) , q个 ∈ ( 0 , 2 ) 自然对数 n个 + O（运行） ( 1 ) π 2 n个 , q个 = 2 C类 B类 ( α , 0 , q个 ) n个 ( 1 + o个 ( 1 ) ) , q个 > 2 ,
C.对于 β < 0 （和 对 > 0 ),
N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) = C类 ( β , q个 ) ( 2 n个 ) 1 + β − q个 ( 1 + o个 ( 1 ) ) , q个 ∈ ( 0 , 2 + 2 β ) 2 Γ ( q个 + 1 / 2 ) ( 自然对数 n个 + O（运行） ( 1 ) ) π q个 + 1 / 2 Γ ( q个 + 1 ) ( 4 n个 ) 1 + β , q个 = 2 + 2 β C类 B类 ( α , β , q个 ) n个 − ( 1 + β ) ( 1 + o个 ( 1 ) ) , q个 > 2 + 2 β ,
分别，其中特征常数 C类 , C类 B类 , C类 A类 如下所示：
C类 B类 ( α , β , q个 ) : = 2 ∫ 0 ∞ t吨 2 β + 1 | J α ( 2 t吨 ) | 2 q个 d日 t吨 .
贝塞尔政权，
C类 A类 ( q个 ) : = ∫ − ∞ + ∞ 2 π 2 三 艾岛 2 − t吨 2 三 2 q个 d日 t吨 .
艾利政权
C类 ( β , q个 ) : = 2 β + 1 π q个 + 1 / 2 Γ ( β + 1 − q个 / 2 ) Γ ( 1 − q个 / 2 ) Γ ( q个 + 1 / 2 ) Γ ( β + 2 − q个 ) Γ ( 1 + q个 ) .
对于余弦区域。符号 J α ( z（z） ) 和 艾岛 ( − z（z） ) 表示已知的贝塞尔函数和艾里函数[6,77]分别是。
注意，在所有情况下，渐近主项都非常简单( n个 → ∞ )对于广义加权 L（左） q个 -规范 N个 n个 ( q个 ) ( α , β ) 。这对于加权 L（左） q个 -拉盖尔多项式的范数， N个 n个 ( q个 ) ( α , 0 ) = W公司 q个 [ L（左） ^ n个 ( α ) ] ，由表达式给出(67). 事实上，考虑到表达式的复杂性，这个结果非常简单(48)和(51)在中获得第5节具有任意固定次数的拉盖尔多项式的对应量n个，需要对多元Bell多项式进行求值(34)拉盖尔膨胀系数(49)，或类型为A的多元Lauricella函数(46)在 1 / q个 分别是。
这些简单、紧凑的渐近结果被用来计算三次和多维谐波的高激发（里德堡）态的Rényi和Shannon熵[77]和氢的[40]系统。这主要是因为这些量子系统的径向波函数由拉盖尔多项式控制。

8.广义加权的度渐近性 L（左） q个 -具有广义权和Jacobi权的OP的范数

在本节中，我们研究并解决了广义加权的渐近性 L（左） q个 -规范 N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) 多项式的 对 ^ n个 ( x个 ) 关于一般权重函数的正交（在上几乎处处定义 [ − 1 , 1 ] )由以下给出：
N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) : = ∫ − 1 1 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) q个 如果 ( x个 ) d日 x个
具有
如果 ( x个 ) : = ( 1 − x个 ) α ( 1 + x个 ) β （f） ( x个 ) , α ≥ β > − 1 , （f） ( x个 ) ∈ L（左） 1 ( − 1 , 1 ) ,
然后，我们使用这个一般渐近结果来获得广义加权 L（左） q个 -雅可比多项式的范数 P（P） n个 ( α , β ) ( x个 ) 例如，（简单）加权 L（左） q个 -由表示的规范 W公司 q个 [ P（P） n个 ( α , β ) ] .
让我们从考虑序列开始 { 对 ^ n个 ( x个 ) } n个 = 0 ∞ 正交多项式如下：
∫ − 1 1 对 ^ n个 ( x个 ) 对 ^ 米 ( x个 ) 小时 ( x个 ) d日 x个 = δ n个 , 米 , 度 对 n个 = n个
关于一般权重函数
小时 ( x个 ) > 0 , 一 . e（电子） . x个 ∈ [ − 1 , 1 ] .
获得范数渐近性中的主导项 N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) ，我们首先意识到权重函数 小时 ( x个 ) 英寸(74)满足Szegö条件如下：
∫ − 1 1 小时 ( x个 ) 1 − x个 2 d日 x个 > − ∞ ,
（这比(75))，则已知正交多项式有[1]下列渐近行为 [ − 1 , 1 ] :
∫ − 1 1 对 ^ n个 ( x个 ) − 对 ¯ n个 ( x个 ) 2 小时 ( x个 ) d日 x个 → 0 , 什么时候 n个 → ∞ ,
其中多项式
对 ¯ n个 ( x个 ) : = 2 小时 0 余弦 n个 电弧炉 x个 + γ ¯ ( x个 )
形成一组关于权重的多项式正交 小时 0 ( x个 ) : = π 1 − x个 2 小时 ( x个 ) ，以及其中 γ ¯ ( x个 ) 是函数的希尔伯特变换 自然对数 小时 0 ( x个 ) 其次，我们考虑了以下引理[34].
引理 1
设g是上的连续周期函数 R（右） ，f是可积的且 γ ˜ 是一个可测量的函数 ( 0 , π ) :
克 ∈ C类 ( R（右） ) , 克 ( θ + π ) = 克 ( θ ) , （f） ∈ L（左） 1 ( 0 , π ) , γ ˜ < 常量 一 . e（电子） . o个 n个 ( 0 , π ) .
然后，以下内容成立：
∫ 0 π 克 n个 θ + γ ˜ ( θ ) （f） ( θ ) d日 θ → 1 π ∫ 0 π 克 ( θ ) d日 θ ∫ 0 π （f） ( θ ) d日 θ , n个 → ∞ .
现在，根据上述两个结果，Aptekarev等人[78]2021年证明了以下强大的结果。
定理 三。
让 { 对 ^ n个 ( x个 ) } 是多项式(74)上的正交 [ − 1 , 1 ] 关于权重函数 小时 ( x个 ) 其中（a）在端点处具有奇点 ± 1 订单的 ( 1 − x个 ) α 小时 和 ( 1 + x个 ) β 小时 分别使用 α 小时 ≥ β 小时 > − 1 ，且（b）满足Szegö条件(76). 还需要注意以下几点：
如果 ( x个 ) : = ( 1 − x个 ) α ( 1 + x个 ) β （f） ( x个 ) , α ≥ β > − 1 , （f） ( x个 ) ∈ L（左） 1 ( − 1 , 1 ) ,
哪里 （f） ( x个 ) 在终点可能会有增长 ± 1 但速度不超过对数。然后，我们有以下渐近行为：
N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) : = ∫ − 1 1 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) q个 如果 ( x个 ) d日 x个 ⟶ n个 → ∞ 2 q个 Γ ¯ ( q个 ) π q个 + 1 ∫ − 1 1 ( 1 − x个 2 ) − q个 2 如果 ( x个 ) d日 x个 ,
对于
− β + 1 β 小时 < q个 < β + 1
以及在哪里
Γ ¯ ( q个 ) : = Γ ( q个 + 1 / 2 ) Γ ( 1 / 2 ) Γ ( q个 + 1 ) .
此外，当 小时 ( x个 ) 和 如果 ( x个 ) 是雅可比权重，我们可以使用[34]，以下渐近结果[78]以直截了当的方式。
定理 4
让 { 对 ^ n个 ( x个 ) } 是雅可比多项式系统，关于任意雅可比权函数的正交 小时 ( x个 ) : = ( 1 − x个 ) α 小时 ( 1 + x个 ) β 小时 , α 小时 ≥ β 小时 > − 1 、和 如果 ( x个 ) 是雅各比重量：
如果 ( x个 ) : = ( 1 − x个 ) α ( 1 + x个 ) β , α ≥ β > − 1 .
然后，雅可比多项式的广义加权范数
N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) : = ∫ − 1 1 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) q个 如果 ( x个 ) d日 x个 ,
具有以下限制( n个 → ∞ )行为。
A.对于 − β + 1 β 小时 < q个 < 2 ( β + 1 )
N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) ⟶ 2 q个 π q个 + 1 Γ ¯ ( q个 ) ∫ − 1 1 ( 1 − x个 2 ) − q个 2 如果 ( x个 ) d日 x个 = = 2 α + β + 1 π q个 + 1 Γ ( q个 + 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( q个 + 1 ) Γ ( α − q个 2 + 1 ) Γ ( β − q个 2 + 1 ) Γ ( α + β − q个 + 2 ) ;
B.对于 q个 = 2 ( β + 1 )
N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) ∼ 自然对数 n个 , 我 . e（电子） . ∃ c（c） 0 : N个 n个 ( q个 ) / 自然对数 n个 → c（c） 0 ;
C.对于 q个 > 2 ( β + 1 )
N个 n个 ( q个 ) ( 小时 , 如果 ) ≍ n个 q个 − 2 ( β + 1 ) , 我 . e（电子） . ∃ c（c） 1 , c（c） 2 : c（c） 1 ≤ N个 n个 ( q个 ) / n个 q个 − 2 ( β + 1 ) ≤ c（c） 2 .
注意 N个 n个 ( q个 ) 什么时候 n个 → ∞ 对于各种q个。对于q个相对参数较小 β ，积分在很大程度上保持有界n个.何时q个接近临界值 2 ( β + 1 ) ，界内右侧(84)由于乘数的自变量而爆炸 Γ ( β − q个 2 + 1 ) 接近伽马函数的极点。然后，对于关键 q个 = 2 ( β + 1 ) ，绑定(84)不再工作，根据(65)，一个新的渐近状态发生在 N个 n个 ( q个 ) 成长为 自然对数 n个 最后，当 q个 > 2 ( β + 1 ) ，规范显示n个-由正差异控制的度指数标度q个及其临界值。
值得注意的是，渐近主项非常简单( n个 → ∞ )权重的 L（左） q个 -雅可比多项式的范数， W公司 q个 [ P（P） ^ n个 ( α , β ) ] ，作为表达式的特定实例给出(84)–(86). 事实上，考虑到表达式的复杂性，这个结果非常简单(55)和(57)在中获得第5节具有固定次数的雅可比多项式的对应量n个，需要对多元Bell多项式进行求值(34)雅可比膨胀系数(56)或该类型的多元Srivastava–Daoust(58)分别在统一。
最近使用了这些数学结果[78]以简洁而优雅的方式评估里德堡氢三态和多维态的Rényi和Shannon熵。这是可能的，因为这些量子态的径向和角波函数由Gegenbauer多项式控制，这是雅可比多项式大家族的实例。

9.HOP的Shannon扩散长度和对数势

在本节中，我们研究香农扩散长度 L（左） 1 S公司 [ 对 n个 ] = L（左） 1 S公司 [ ρ n个 ] HOP的三个标准族 { 对 n个 ( x个 ) } 为所有人n个通过基于对数势的方法，这是唯一存在的具有普遍有效性的方法，尽管它需要在正交性支持下计算多项式零点处的对数势。然而，后者是一项非平凡的任务，它使得有必要、几乎是强制性地考虑和分析渐近性( n个 → ∞ )HOP的Shannon熵；这将在下一节中显示。同样，它有助于获得 L（左） 1 S公司 [ 对 n个 ] 尽可能简单准确；在本节末尾简要指出了一些关于Hermite多项式、Laguerre多项式和Jacobi多项式的结果[22,23,24]根据相关Rakhmanov密度的普通力矩(1).
根据方程式(7), (10)和(11)，该数量由相关Rakhmanov概率密度的Shannon扩展长度给出 ρ n个 ( x个 ) 由提供(1)，即以下内容：
L（左） 1 S公司 [ ρ n个 ] = 林 q个 → 1 L（左） q个 R（右） [ ρ n个 ] = 经验 ( S公司 [ ρ n个 ] ) = 经验 − ∫ Δ ρ n个 ( x个 ) 自然对数 ρ n个 ( x个 ) d日 x个 ,
哪里 S公司 [ ρ n个 ] 表示Shannon型积分泛函 S公司 [ 对 n个 ] 多项式的计算公式如下：
S公司 [ 对 n个 ] = S公司 [ ρ n个 ] = − ∫ Λ 1 κ n个 对 n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) 自然对数 1 κ n个 对 n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) d日 x个 = 自然对数 κ n个 + 1 κ n个 E类 [ 对 n个 ] + 我 [ 对 n个 ] ,
用多项式泛函
我 [ 对 n个 ] : = − ∫ Λ 对 n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) 自然对数 小时 ( x个 ) d日 x个
和
E类 [ 对 n个 ] : = − ∫ Λ 对 n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) 自然对数 对 n个 2 ( x个 ) d日 x个 .
功能 我 [ 对 n个 ] 已确定[79]所有HOP的二阶微分方程系数。然而，函数的显式计算 E类 [ 对 n个 ] 为所有人n个根据权函数的度和参数 小时 ( x个 ) 这是一项艰巨的任务，尽管许多作者做出了努力，但HOP尚未解决，除了（a）少数特定的雅可比多项式族，如第一和第二类型的切比雪夫多项式，以及（b）在一些渐近性情况下，如( n个 → ∞ )或当重量参数 小时 ( x个 ) 走向∞。此功能 E类 [ 对 n个 ] 被称为HOP的Shannon熵 对 n个 ( x个 ) 注意，为了修正符号，Shannon类积分泛函 S公司 [ 对 ^ n个 ] 正交多项式的 对 ^ n个 如下所示：
S公司 [ 对 ^ n个 ] = − ∫ Λ 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) 自然对数 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) d日 x个 = E类 [ 对 ^ n个 ] + 我 [ 对 ^ n个 ] ,
和Shannon熵 对 ^ n个 ( x个 ) 如下所示：
E类 [ 对 ^ n个 ] : = − ∫ Λ 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) 自然对数 对 ^ n个 2 ( x个 ) d日 x个 ,
然后，为了便于说明，正交Hermite多项式的Shannon展开长度 H（H） ^ n个 ( x个 ) 如下所示：
L（左） 1 S公司 H（H） ^ n个 = 经验 S公司 H（H） ^ n个 ,
其中Shannon型积分泛函 H（H） ^ n个 ( x个 ) 如下所示：
S公司 [ H（H） ^ n个 ] = − ∫ Λ H（H） ^ n个 2 ( x个 ) 小时 H（H） ( x个 ) 自然对数 H（H） ^ n个 2 ( x个 ) 小时 H（H） ( x个 ) d日 x个 = E类 [ H（H） ^ n个 ] + n个 + 1 2 ,
哪里 E类 [ H（H） ^ n个 ] 表示Shannon熵 H（H） ^ n个 ( x个 ) 定义如下：
E类 [ H（H） ^ n个 ] : = − ∫ Λ H（H） ^ n个 2 ( x个 ) 小时 H（H） ( x个 ) 自然对数 H（H） ^ n个 2 ( x个 ) d日 x个 ,
其显式值为alln个尽管进行了认真的尝试，但仍未找到[10,34,80]. 只有渐近情况( n个 → ∞ )已按下一节中讨论的简单紧凑方式确定。
现在，正交拉盖尔多项式的香农展开长度由以下公式给出：
L（左） 1 S公司 L（左） ^ n个 ( α ) = 经验 S公司 L（左） ^ n个 ( α ) ,
其中正交拉盖尔多项式的Shanon-like积分泛函 L（左） ^ n个 ( α ( x个 ) 如下所示：
S公司 L（左） ^ n个 ( α ) = − ∫ − 1 + 1 L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 小时 α L（左） ( x个 ) 自然对数 L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 小时 α L（左） ( x个 ) d日 x个 = E类 L（左） ^ n个 ( α ) + 我 L（左） ^ n个 ( α ) ,
积分函数如下[24,79]:
我 L（左） ^ n个 ( α ) = − ∫ 0 ∞ L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 小时 α L（左） ( x个 ) 自然对数 小时 α L（左） ( x个 ) = 2 n个 + α + 1 − α ψ ( α + n个 + 1 )
和Shannon熵 L（左） ^ n个 ( α ( x个 ) 如下所示：
E类 L（左） ^ n个 ( α ) = − ∫ 0 ∞ L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 小时 α L（左） ( x个 ) 自然对数 L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) 2 d日 x个 ,
其显式值为alln个尽管进行了不同的尝试，但尚未找到[10,34,80]; 只有渐近情况( n个 → ∞ )以简单紧凑的方式确定，如下一节所述。
最后，正交Jacobi多项式的Shannon展开长度 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) ，如下所示：
L（左） 1 S公司 P（P） ^ n个 ( α , β ) = 经验 S公司 P（P） ^ n个 ( α , β ) ,
其中Shannon型积分泛函 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 如下所示：
S公司 P（P） ^ n个 ( α , β ) = − ∫ − 1 + 1 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 2 小时 α , β J ( x个 ) 自然对数 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 2 小时 α , β J ( x个 ) d日 x个 = E类 P（P） ^ n个 ( α , β ) + 我 P（P） ^ n个 ( α , β ) ,
积分函数如下[57,79]:
我 P（P） ^ n个 ( α , β ) = − ∫ − 1 + 1 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 2 小时 α , β J ( x个 ) 自然对数 小时 α , β J ( x个 ) = − α ψ ( n个 + α + 1 ) − β ψ ( n个 + β + 1 ) + ( α + β )
× − 自然对数 2 + 1 2 n个 + α + β + 1 + 2 ψ ( 2 n个 + α + β + 1 ) − ψ ( n个 + α + β + 1 ) ,
和Shannon熵 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 如下所示：
E类 P（P） ^ n个 ( α , β ) = − ∫ − 1 + 1 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 2 小时 α , β J ( x个 ) 自然对数 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 2 d日 x个
雅可比多项式的熵泛函的显式确定直到现在还不清楚，除非在渐近情况下（其值在下一节中给出），以及当参数 ( α , β ) 等于 ( − 1 / 2 , − 1 / 2 ) 和 ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ，对应于第一类和第二类切比雪夫多项式族，表示为 T型 n个 ( x个 ) 和 单位 n个 ( x个 ) 分别是。发现以下值[10,80]:
E类 T型 n个 = − 1 π ∫ − 1 + 1 T型 n个 2 ( x个 ) 自然对数 T型 n个 2 ( x个 ) d日 x个 1 − x个 2 = 自然对数 2 − 1 ; 对于 n个 ≥ 1
对于第一类正交切比雪夫多项式的Shannon熵[80]
E类 单位 n个 = − 2 π ∫ − 1 + 1 单位 n个 2 ( x个 ) 自然对数 单位 n个 2 ( x个 ) 1 − x个 2 d日 x个 = 1 n个 + 1 − 1 ; 对于 n个 ≥ 0
第二类正交切比雪夫多项式的Shannon熵。此外，当参数 ( α , β ) 等于 ( λ − 1 / 2 , λ − 1 / 2 ) 相应的雅可比多项式符合Gegenbauer多项式族 C类 n个 ( λ ) ( x个 ) 然后，已知修正Gegenbauer多项式的Shannon熵值 G公司 n个 ( λ = 2 ) ( x个 ) ，它们是以下多项式：
G公司 k个 ( λ ) ( x个 ) = k个 ! ( k个 + λ ) Γ ( 2 λ ) λ Γ ( k个 + 2 λ ) 1 2 C类 k个 ( λ ) ( x个 ) = γ k个 λ x个 k个 + 降低 度 条款
与正单位重量正交 [ − 1 , + 1 ] ,
小时 λ ( x个 ) = Γ ( λ + 1 ) π Γ ( λ + 1 / 2 ) ( 1 − x个 2 ) λ − 1 2 .
Buyarov等人[81]（另请参见[11,82])发现以下内容：
E类 G公司 k个 ( λ ) = − ∫ − 1 + 1 G公司 k个 ( λ ) ( x个 ) 2 自然对数 G公司 k个 ( λ ) ( x个 ) 2 小时 λ ( x个 ) d日 x个 = − 自然对数 三 ( n个 + 1 ) n个 + 三 − n个 三 − 5 n个 2 − 29 n个 − 27 ( n个 + 1 ) ( n个 + 2 ) ( n个 + 三 ) − 1 n个 + 2 n个 + 三 n个 + 1 n个 + 2 , 对于 λ = 2 .
该表达式被扩展为整数阶Gegenbauer多项式 λ （请参见[81,83]以及其中的参考）。
在一般情况下，正交多项式的Shannon熵 对 ^ n个 ( x个 ) 在实线上可以用拉赫曼诺夫密度的对数势表示 ρ n个 ( x个 ) = 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) 等价地，通过归一化零计数分布之间的互对数能量 λ n个 ( x个 ) = 1 n个 ∑ j个 = 1 n个 δ x个 − x个 j个 , n个 和拉赫曼诺夫密度 ρ n个 ( x个 ) 的确，让 x个 j个 , n个 ( j个 = 1 , . . . , n个 ) 是的零 对 ^ n个 ( x个 ) 和 γ n个 领先系数，因此如下所示：
对 ^ n个 ( x个 ) ) = γ n个 ∏ j个 = 1 n个 x个 − x个 j个 , n个 , γ n个 > 0 .
然后，可以证明正交多项式的Shannon熵 对 ^ n个 ( x个 ) 可以表达[80]如下：
E类 [ 对 ^ n个 ] : = − 2 自然对数 γ n个 + 2 n个 ∫ V（V） ( x个 ; λ n个 ) 对 ^ n个 2 ( x个 ) 小时 ( x个 ) d日 x个 ,
哪里
V（V） ( z（z） ; μ ) = ∫ 自然对数 1 | z（z） − x个 | d日 μ ( x个 )
被称为概率测度的对数势 μ [84]. 此外，考虑到两个度量的互对数能量 μ 和 ν ，给定[84]由
我 [ ν , μ ] = ∫ V（V） ( z（z） ; ν ) d日 μ ( x个 ) = − ∫ ∫ 自然对数 | z（z） − t吨 | d日 ν ( t吨 ) d日 μ ( t吨 ) ,
一种是可以写出正交多项式的香农熵[80]如下：
E类 [ 对 ^ n个 ] = − 2 自然对数 γ n个 + 2 n个 我 λ n个 , ρ n个
当支撑间隔为 μ ( x个 ) 紧凑，潜力 V（V） ( z（z） ; μ ) 围绕其罗宾（或极值）常数振荡。零 x个 j个 , n个 结果是[80]势的局部极小点 V（V） ( x个 ; ρ n个 ) ; 这意味着要计算 E类 [ 对 ^ n个 ] ，我们必须把对数势的值加起来 V（V） ( x个 ; ρ n个 ) 在其局部极小值。然后，将该表达式应用于雅可比多项式，并考虑到Fubini定理，最终得到正交雅可比多项的Shannon熵 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) :
E类 P（P） ^ n个 ( α , β ) : = − 2 自然对数 γ n个 − 2 ∑ j个 = 1 n个 V（V） ( x个 j个 , n个 ; ρ n个 , α , β ) ,
根据多项式零点处计算的以下对数势：
V（V） ( z（z） ; ρ n个 , α , β ) = ∫ P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 2 小时 α , β J ( x个 ) 自然对数 1 | z（z） − x个 | d日 x个
类似地，可以根据在零点处计算的对数势的值来获得剩余HOP的Shannon熵，如Hermite、Laguerre和Gegenbauer多项式，如[11,36,80,85]. 此外，还计算了HOP的Shannon熵[58]根据相关雅可比矩阵的特征值和普通矩(15)相应的拉赫曼诺夫密度(1). 然而，在实践中，在这两种情况下，我们都有一个不平凡的任务，尤其是当多项式的阶数不够低时。然后，看来渐近性的确定( n个 → ∞ )HOP的香农熵值是必要的，这将在下一节中显示。
由于Shannon熵的表达式 E类 [ 对 n个 ] 因此，对于香农扩散长度 L（左） 1 S公司 [ 对 n个 ] 的HOP不容易进行解析操作，从它们的权函数的度和参数方面获得这些量的简单、紧凑和准确的上界也是有趣的。一些上限为埃尔米特找到的[22]，拉盖尔[24]和雅各比[23]通过相关Rakhmanov密度的普通矩计算多项式(1). 在Hermite和Laguerre情况下，我们使用优化信息理论技术，基于多项式Rakhmanov密度的Kullback–Leibler泛函的非负性和形式的指数递减型概率密度，获得了上界 经验 − x个 k个 ) 发现以下情况成立：
L（左） 1 S公司 H（H） ^ n个 ≤ 2 ( e（电子） k个 ) 1 k个 k个 Γ 1 k个 〈 x个 k个 〉 n个 1 / k个 ; k个 = 2 , 4 , …
和
L（左） 1 S公司 L（左） ^ n个 ( α ) ≤ ( k个 e（电子） ) 1 k个 k个 Γ 1 k个 〈 x个 k个 〉 n个 , α 1 / k个 ; k个 > 0 ,
对于Hermite多项式和Laguerre多项式的Shannon展开长度，其中此类多项式的普通矩由下式给出(17)和(19). 在Jacobi情况下，超出一般上界 L（左） 1 S公司 [ 对 n个 ] ≤ 2 对支持间隔的任何概率密度有效 [ − 1 , + 1 ] ，通过以下普通矩和对数矩找到了一些变分界限： 〈 x个 〉 , 〈 x个 2 〉 , 〈 自然对数 x个 2 〉 , 〈 自然对数 ( 1 ± x个 ) 〉 , 〈 自然对数 ( 1 − x个 2 ) 〉 特别是，众所周知
L（左） 1 S公司 P（P） ^ n个 ( α , β ) ≤ 2 新几内亚 ( λ 2 ) λ 2 经验 ( − 1 − λ 2 帆布床 ( λ 2 ) ) ,
哪里 λ 2 是以 〈 x个 〉 n个 , α , β 通过以下隐式方程：
1 λ 2 − 帆布床 ( λ 2 ) = 〈 x个 〉 n个 , α , β .
其中，根据(21)，一阶矩 〈 x个 〉 n个 , α , β 拉赫曼诺夫密度 ρ n个 , α , β ( x个 ) 雅可比多项式的定义如下：
〈 x个 〉 n个 , α , β = β 2 − α 2 ( 2 n个 + α + β ) ( 2 n个 + α + β + 2 ) .
这些变分界限 L（左） 1 S公司 P（P） ^ n个 ( α , β ) 已经进行了详细的分析和数值讨论[23].
最后，让我们也注意到Beckermann等人[86]找到了Shannon熵的一些渐近上界 E类 [ 对 ^ n个 ] 对于多项式 对 ^ n个 ( x个 ) 关于权函数的正交 小时 ( x个 ) 在支架上 [ − 1 , + 1 ] 虽然熵的确定本身仍然是一个悬而未决的问题，但它属于Szegö类。请参见[43,87,88,89]对于这些结果的最新扩展。

10.香农熵 E类 [ 对 n个 ] 和 L（左） q个 -规范 N个 q个 [ 对 n个 ] HOP度渐近

在本节中，我们处理并解决渐近性( n个 → ∞ )对于HOP和弗洛伊德多项式（这是Hermite多项式的推广）的三个标准族的Shannon熵。这项研究始于1994年[33,34,35]并于2001年审查[11]和2010年[36].
使用了以下方法。考虑到限制关系(三)，我们可以将HOP的Shannon熵的计算转换为（未加权） L（左） q个 -规范 N个 q个 [ 对 ^ n个 ] 由于以下原因：
E类 [ 对 ^ n个 ] = − 林 q个 → 1 1 q个 − 1 自然对数 ∫ | 对 ^ n个 ( x个 ) | 2 q个 小时 ( x个 ) d日 x个 = − 林 q个 → 1 ∂ ∂ q个 N个 2 q个 [ 对 ^ n个 ] ,
哪里
N个 q个 [ 对 ^ n个 ] : = ∫ | 对 ^ n个 ( x个 ) | q个 小时 ( x个 ) d日 x个
表示（未加权） L（左） q个 ( 小时 ) 的规范 对 ^ n个 ( x个 ) 然后，Shannon熵的渐近值 E类 [ 对 ^ n个 ] 如下所示[34,36]:
E类 ∞ = 林 n个 → ∞ E类 [ 对 ^ n个 ] = − 林 n个 → ∞ ∂ N个 2 q个 [ 对 ^ n个 ] ∂ q个 q个 = 1 = − N个 2 q个 ′ q个 = 1
这种方法基于（未加权） L（左） q个 -规范可用于具有有界和无界支承的HOP。然而，对于绝对连续的权重函数 小时 ( x个 ) 在实线上，计算香农熵更方便 E类 [ 对 ^ n个 ] 从加权 L（左） q个 -规范 W公司 q个 [ 对 ^ n个 ] 由提供(30)因此，根据(91)和(89)，其中一个具有以下内容[34]:
E类 [ 对 ^ n个 ] = S公司 [ 对 ^ n个 ] − 我 [ 对 ^ n个 ] = − ∂ W公司 q个 [ 对 ^ n个 ] ∂ q个 q个 = 1 − 我 [ 对 ^ n个 ] .
因此，渐近值 E类 ∞ 因为Shannon熵基本上由 W公司 q个 [ 对 ^ n个 ] 现在让我们将第二种方法应用于弗洛伊德多项式 如果 n个 ( κ ) ( x个 ) ，与权重函数正交 小时 κ ( x个 ) = e（电子） − | x个 | κ , κ > 1 , ∞ < x个 < + ∞ 在这种情况下，香农熵如下：
E类 [ 如果 n个 ( κ ) ] = − ∂ W公司 q个 [ 如果 n个 ( κ ) ] ∂ q个 q个 = 1 − 我 [ 如果 n个 ( κ ) ] = − ∂ W公司 q个 [ 如果 n个 ( κ ) ] ∂ q个 q个 = 1 − 2 n个 + 1 κ
现在，渐近行为( n个 → ∞ )权重的 L（左） q个 -规范 W公司 q个 [ 如果 n个 ] 发现如下：
W公司 q个 [ 如果 ^ n个 ( κ ) ] = 2 π q个 Γ ( q个 + 1 / 2 ) Γ ( q个 + 1 ) Γ ( 1 − q个 / 2 ) Γ ( 三 / 2 − q个 / 2 ) α n个 1 − q个 ( 1 + o个 ( 1 ) )
具有
α n个 = 2 n个 + 1 2 β 1 / κ 和 β = Γ ( κ / 2 + 1 / 2 ) Γ ( 1 / 2 ) Γ ( κ / 2 ) .
然后，从最后三个表达式中，我们得到了( n个 → ∞ )-弗洛伊德多项式香农熵的渐近性[35]由以下公式给出：
E类 [ 如果 ^ n个 ( κ ) ] = = − 2 n个 + 1 κ + 1 κ 自然对数 ( 2 n个 ) − 1 κ 自然对数 π Γ ( κ / 2 ) 2 Γ ( κ / 2 + 1 / 2 ) + 自然对数 π − 1 + o个 ( 1 )
因此，对于 κ = 2 我们有渐近式( n个 → ∞ )Hermite多项式的Shannon熵 H（H） n个 ( x个 ) 如下所示：
E类 [ H（H） ^ n个 ] = − n个 + 自然对数 2 n个 − 三 2 + 自然对数 π + o个 ( 1 )
同样的技术也可以用来发现渐近行为( n个 → ∞ )正交拉盖尔多项式的Shannon熵 L（左） ^ n个 ( α ) ( x个 ) ，获取[90]对于固定实数 α > − 1 使以下内容保持不变：
E类 L（左） ^ n个 ( α ) = − 2 n个 + ( α + 1 ) 自然对数 n个 − α − 2 + 自然对数 π + o个 ( 1 )
正交雅可比多项式的类似运算 P（P） ^ n个 ( α , β ) ( x个 ) 通过使用（未加权） L（左） q个 -规范 N个 q个 [ 对 ^ n个 ] 由提供(109)根据(108)，以找到以下表达式：
E类 P（P） ^ n个 ( α , β ) = − 2 n个 + ( α + 1 ) 自然对数 n个 − α − 2 + 自然对数 π + o个 ( 1 )
研究了正交雅可比多项式的Shannon熵的渐近行为。雅可比多项式的一个特别相关的族是Gegenbauer多项式 C类 n个 ( λ ) ( x个 ) ，与权重函数正交 小时 λ ( x个 ) = ( 1 − x个 2 ) λ − 1 2 关于区间 [ − 1 , + 1 ] ; 那么，正交Gegenbauer多项式 C类 ^ n个 ( λ ) ( x个 ) 具体如下：
C类 ˜ n个 ( λ ) ( x个 ) = C类 n个 ( λ ) κ n个 ; 具有 κ n个 2 = 2 1 − 2 λ π Γ ( n个 + 2 λ ) Γ ( λ ) 2 ( n个 + λ ) n个 ! ,
因此，根据(109)，Shannon熵 C类 ^ n个 ( λ ) ( x个 ) 具有以下渐近表达式[34]:
E类 ( C类 ^ 米 α ) ≡ − ∫ − 1 + 1 小时 α ( x个 ) C类 ^ 米 α ( x个 ) 2 自然对数 C类 ^ 米 α ( x个 ) 2 d日 x个 = 自然对数 π + ( 1 − 2 α ) 自然对数 2 − 1 + o个 ( 1 ) ,
用于固定 λ 和很大程度上n个。通过获得进一步的项，改进了该渐近表达式，如[81,83]. 关于这些结果的证明及其对属于Bernstein类和Szegö类的更一般正交多项式的扩展的更多详细信息，请参见[34,36,86,87,88,89].
此外，根据前面的表达式(115)–(117)Shannon熵的渐近性 E类 [ 对 ^ n个 ] HOPS及其精确表达式(94), (97)和(100)对于积分 我 [ 对 ^ n个 ] 由提供(89)，我们有以下渐近线( n个 → ∞ )Shannon型积分泛函 S公司 [ 对 ^ n个 ] HOPS的[34]:
S公司 [ H（H） ^ n个 ] = 自然对数 2 n个 + 自然对数 π − 1 + o个 ( 1 ) , S公司 [ L（左） ^ n个 ( α ) ] = ( α + 1 ) 自然对数 n个 − α ψ ( α + n个 + 1 ) − 1 + 自然对数 ( 2 π ) + o个 ( 1 ) ,
和
S公司 [ P（P） ^ n个 ( α , β ) ] = 自然对数 π − 1 + o个 ( 1 )
分别用于Hermite多项式、Laguerre多项式和Jacobi多项式。为了得到最后一个表达式，我们还考虑了 林 n个 → ∞ 我 P（P） ˜ n个 ( α , β ) = ( α + β ) 自然对数 2 然后，香农扩散长度 L（左） 1 S公司 [ 对 ^ n个 ] = L（左） 1 S公司 [ ρ n个 ] HOP的三个标准族 { 对 ^ n个 ( x个 ) } 具有以下渐近值：
L（左） 1 S公司 [ H（H） ^ n个 ] ≃ π e（电子） 2 n个 , L（左） 1 S公司 [ L（左） ^ n个 ( α ) ] ≃ π e（电子） 2 n个 , 和 L（左） 1 S公司 [ P（P） ^ n个 ( α , β ) ] ≃ π e（电子）
分别用于Hermite多项式、Laguerre多项式和Jacobi多项式。通过将这些表达式与标准偏差的渐近值进行比较 Δ x个 由方程式给出(18), (20)和(22)对于Hermite多项式、Laguerre多项式和Jacobi多项式，分别导出以下线性关系：
L（左） 1 S公司 [ 对 ^ n个 ] ≃ π 2 e（电子） Δ x个 [ 对 ^ n个 ] ≃ 1.6389 Δ x个 [ 对 ^ n个 ] , n个 → ∞
这适用于HOP的三个典型家族[91]（另请参见[22,23,24])；注意，它满足一般的Cramér-Rao关系(9). 事实上，这个关系对于HOP的有效性扩展到了整个Bernstein-Szegö多项式类，尽管它对于任意正交多项式都是失败的。例如，香农长度和标准差具有二次关系的弗洛伊德多项式就违反了这一点[91].

11.结论

超几何正交多项式（HOP）是最简单的应用数学和数学物理中特殊函数理论中的非初等函数。HOP的三个标准族（Hermite、Laguerre和Jacobi）及其推广不仅本身很有趣，而且因为它们在科学和技术中的物理-数学应用。特别是，它们被证明可以控制许多经典和量子系统的薛定谔方程的物理解（波函数），例如，这些方程的特征是：，受球对称量子力学势影响的系统的束缚定态（振子型谐波系统、氢型库仑系统等）。
记住这一点，我们在本研究中通过Fisher、Shannon和Rényi型（及其相关联的）类熵测度，检查并回顾了HOP沿着其权重函数的正交支持的传播的现有知识 L（左） q个 -规范）-远远超出其相关Rakhmanov概率密度的普通矩和标准差。我们已经给出了解析表达式，它允许我们通过多项式的度和权函数参数，以数字和符号的方式计算HOP的这种扩展度量。此外，我们还展示了渐近行为( n个 → ∞ )对于 L（左） q个 -HOP规范 { 对 n个 ( x个 ) } 以及一些推广，它们为这些量的第一个主导项提供了简单而紧凑的表达式q个以及权重参数。后者控制原子系统高激发态的物理熵和相应的量子计算里德堡逻辑门。
一如既往，一些相关的公开问题值得一提，包括以下内容：Rényi扩展长度上界的计算 L（左） q个 R（右） [ 对 n个 ] 为所有人q个和n个扩展了如上所述为香农扩散长度获得的相应数量；HOP Shannon熵的代数确定n个通过一种不需要计算多项式零点处的对数势的技术，可能会以计算某些广义超几何函数的单位为代价（参见例如[92])；和（未加权）的渐近性 L（左） q个 -HOP规范，当 n个 → ∞ 以及当权函数的参数变大或非常大时。此外，尽管最近进行了一些关于渐近上界和普适性极限的相关工作，但整个Szegö类中正交多项式的Shannon熵的渐近性仍然是开放的（见[43,86,89]).

基金

这项研究没有得到外部资助。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

鸣谢

这项工作得到了西班牙投资局和欧洲区域发展基金（FEDER）在PID2020-11390GB-I00赠款下的部分支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

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AMA风格

德赫萨JS。类熵属性和L（左）q个-超几何正交多项式的范数：度渐近。对称. 2021; 13（8）:1416。https://doi.org/10.3390/sym13081416

芝加哥/图拉宾风格

杰苏斯·德赫萨。2021.“类Entropy-Like Properties andL（左）q个-超几何正交多项式的范数：度渐近对称13，编号8:1416。https://doi.org/10.3390/sym13081416

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