1.简介
分数阶微积分（FC）是经典微积分向任意阶的灵活扩展，这一点得到了许多研究者的支持。由于FC在建模某些科学现象和复杂物理系统方面的各种重要应用，它引起了数学、应用科学和工程领域许多研究人员的特别关注。利用分数导数对系统进行建模可以很好地解释所研究系统的物理行为，因为一些系统中存在非局部性和记忆效应。对FC的数学分析及其应用进行了一些研究，如欧洲期权定价模型[1]，p-Laplacian非周期非线性边值问题[2]，非局部Cauchy问题[三]，包含时间分形的经济模型[4]，复积分[5]，不可压缩二级流体模型[6]，实变量的复值函数[7]，和分离同伦方法[8]. 同样，量子微积分是标准无穷小量的一个对应领域，没有极限的概念。尽管这两种理论已有很长的历史，但它们都是数学分析领域的理论，对它们性质的研究不久前就出现了。量子分数微积分（q-分数微积分）最初由Jackson提出，被认为是q-微积分的分数对应[9,10,11]. Al-Salam等研究人员[12]和阿加瓦尔[13]极大地推动了分数阶q-calculus的发展，并获得了重要的理论结果。基于这些结果，分数阶q微积分已成为一种在应用领域具有巨大潜力的仪器[14,15,16,17]. 即使在最近几年，也出现了许多关于量子积分-差分边值问题（BVP）的文章，它们是建模各种科学领域中许多现象的有价值的抽象工具[18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30]. Asawasamrit等人[31]提供了一个受非局部多量子积分条件约束的多项q积分微分方程，显示为哪里,,,和他们实现的获得所建议q-BVP解的存在性的方法基于不动点技术[31]. 2015年之后，埃特玛、埃特法格和雷扎波尔[32]关于三项q差FBVP具有四点q积分微分条件哪里,,,,和具有恩图亚斯和萨美[33]转向研究q积分微分FBVP解的存在性通过边界条件和，其中,,,具有,,由规则定义对于和假设对所有变量[33]. 在上述研究的激励下，以下提出的非线性Caputo分数量子BVP具有分数量子积分条件：及其包含版本由哪里,,和.两名操作员和表示Caputo量子导数（CpQD）和Riemann-Liouville量子积分（RLQI）。此外，连续单值函数和多值函数被假定为任意配置了一些所需的规范，这些规范将在后面进行解释。与文献中发表的关于量子差分BVP的其他研究相比，我们在这里通过q积分微分条件讨论了新的分数量子差分方程/包含的两种抽象和扩展结构，其中相关解的现有性质是根据泛函分析的新概念，如凝聚映射和非紧测度以及近似端点准则。建议q-差异-BVP的这些程序(1)和(2)已经在有限范围内对量子分数模型进行了研究。这就产生了新颖性和我们最终确定这份手稿的主要动机。 该研究方案概述如下：我们介绍了量子演算的主要概念第2节.关于量子BVP解的存在性的新不动点方法引起的主要结果(1)和(2)将在以下时间获得第3节.英寸第4节，将提供两个数值例子来支持和验证我们获得的结果。关于我们研究工作的结论将在第5节. 2.基本预备工作
在这一节中，我们将讨论q演算意义上的一些重要问题。我们认为.关于函数为提供，其q模拟定义为、和以便和[17]. 现在，是假定包含在现在，让我们显示以下现有功率映射的q模拟在q分数设置中：对于。我们注意到，平等立即获得[17]. 对于给定的实数，一个q号表示为： q-Gamma函数使用以下格式进行说明：以便[9,17]. 值得注意的是是有效的[9]. 受启发的伪代码(三)和(4)在算法1中提出用于在所提出的量子设置中计算各种伽玛函数的值。 给定一个实值连续函数ℏ，该函数的量子导数可由以下公式表示：还有[34]. 给定一个函数ℏ，此函数的量子导数可以通过以下公式扩展到任意高阶对于任何[34]. 显然，我们注意到类似地，对于计算这种q导数ℏ，在算法2中，我们根据(5).| 算法1。的伪代码: |
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给定连续映射，该函数的量子积分可以表示为：假设现有序列保持绝对收敛[34]. 量子积分ℏ可以类似地使用迭代规则将量子导数扩展到任意更高阶对所有人来说[34]. 此外，显而易见的是.由以下原因导致的伪代码(6)在算法3中提出。我们现在假设这一次ℏ从到在这种情况下，可以定义如下：当系列存在时[34]. 由以下原因导致的拟议伪代码(7)为此，在算法4中进行了组织。 如果我们假设一个函数ℏ在连续，然后获得[34]. 此外，平等为每个人保留第页.通过考虑实数在这种情况下即。，，对于给定函数，RLQIℏ由以下人员介绍：前提是上述值是有限的，并且[35,36]. 此外，所述q运算符的半群规范如下所示对于[35]. 对于, 很明显，如果我们采取，然后对于任何.给定一个函数，该函数的CpQD公式如下：如果积分存在[35,36]. 以下属性有效： 很明显对于任何例如，通过让,和，我们有 在这个方向上，函数的CpQD图对于在中可用图1.| 算法3。的伪代码: |
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引理 1 ([37]). 假设和。然后，我们有： 根据上述引理，给出了分数阶量子微分方程，，有一个通解，通过以便、和[37]. 值得注意的是，对于每个连续的ℏ，根据引理1，我们得到：哪里说明中包含的常量、和[37]. 接下来，我们回顾一些基本的不平等和概念。非紧性的Kuratowski测度由定义哪里和是Banach空间的有界子集此外，还发现[38]. 引理 2 ([38]). 考虑有界子集和任意实Banach空间然后，以下条件成立： ;
是的闭包和凸包;
如果;
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;
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引理 三 ([39]). 谨致问候作为巴纳赫空间。然后，对于每个有界集，一个可数集合存在于. 引理 4 ([38]). 谨致问候作为巴纳赫空间。让包含在.然后，持续打开，我们有. 引理 5 ([38]). 让成为巴拿赫空间。让是有界可数集。然后，勒贝格在上是可积的吗，我们有： 定义 1 ([38]).谨致问候作为巴拿赫空间和作为有界连续算子。然后，地图被称为凝聚，如果对于任何有界闭集，不平等持有。 定理 1 ([38]，萨多夫斯基不动点定理）。谨致问候作为巴纳赫空间。让是包含在此外，假设连续映射正在冷凝。那么，地图至少存在一个固定点在里面. 让我们将赋范空间表示为.致敬和作为包含在分别是。
定义 2 ([40]).一个元素称为多值函数的端点无论何时. 多值映射具有近似端点标准（AEPC），如果 参考[40]. 接下来，回顾与所提出的量子边界问题相关的一个必要定理。 定理 2 ([40]，端点定理）. 让我们假设是一个完整的度量空间，并且每一项都要遵守美国法典吗,、和.假设是一个多值映射，对于每个，以下不等式成立： 那么，只有一个端点若（iff）具有近似端点标准。
3.主要成果
我们将连续函数族视为通过和定义的超形式，适用于所有成员，确认空间成为巴纳赫空间。在续集中，我们将建立量子BVP的存在性结果(1)和(2). 在得出存在性结果之前，以下命题将发挥重要作用： 提议 1 让,,,,和然后，函数满足给定量子积分差分FBVP（CpQFP）的解，公式如下 若（iff）是分数量子积分（FQI）方程的解，由 证明。 首先，给定的函数被视为解决(8). 凭借，取RL-顺序设置中的积分至(8)，我们到达以便是需要获得的一些常数。通过考虑，立即得到以下结果 现在，根据给定的边界条件，我们得到和其中我们考虑常数以及有关以下方面的功能第页作为 通过替换,和英寸(11)，积分解(9)获得。相反的部分可以很容易地推导出来。□ 备注 1 注意，为了简化后续计算，我们利用中显示的函数设置了以下上界(12): 定理 三。 让保持连续。此外，假设存在一个连续的以及一个非递减的连续映射这样，对于每个和, 我们假设存在一个函数对于每个有界集和, 那么，给定的Caputo分数量子BVP的至少一个解(1)存在于如果 哪里.
证明。 介绍映射定义为：哪里并被分类为凸有界闭空间。显然，提出的算子的不动点是量子分数BVP的解(1). 首先，我们验证了在.按顺序在里面这样的话对于每个.自持续打开，这样我们就可以写作了现在，借助Lebesgue支配收敛定理，我们得到：对于每个因此，我们得到因此在已被证明。现在，我们要检查在。要实现此目标，请考虑.鉴于不平等(13)和(14)，我们有： 因此，我们可以宣布，这意味着的一致有界性在接下来，我们确保为了检查这一点，请考虑这样的话和。然后，我们得到： 请注意，上述不等式的右侧变为零，如下所示（独立于ℏ). 因此，显而易见的是作为，这证实了是等容的。因此，我们得出结论：是上的紧凑运算符鉴于著名的Arzela–Ascoli定理。
此时，我们将检查冷凝操作器是否开启.由引理3可知，一个可数集存在于每个有界子集这样的话持有。因此，根据引理2、4和5，可以得到以下结果 按应用条件(16)，我们得到。这显然意味着冷凝操作器是否开启最后，通过使用定理1，我们可以推断出至少有一个固定点因此，对于假设的量子积分差FBVP，至少可以找到一个解决方案(1)并且最终验证过程终止。□ 现在，我们为给定的分数量子包含BVP建立了一个存在性准则(2). 包含问题的解决方案(2)由绝对连续函数决定当它满足给定的分数量子积分差分条件时存在这样的包含几乎所有人都坚持，我们有：对于每个.让表示的所有选择的集合对于每个定义为 构造多值映射其定义为哪里 定理 4 让是一个多值映射。假设
不断增加的美国地图存在的原因是、和对于每个;
是可积且有界的是可以测量的;
存在于 对于每个和，其中和 多值映射在中制定(21)满足近似端点准则。
然后，为给定的量子差分包含FBVP找到了一个解(2).
证明。 我们将确定多功能的端点是否存在由提供(21). 自从地图是可测的闭值集值映射因此，它有一个可测的选择。因此，首先，我们表明每关闭一次.考虑顺序在里面这样的话收敛到ℏ.对于每个n，都存在这样的话几乎所有人.由于多值函数紧凑，我们有一个子序列汇聚到因此，和几乎所有人。这表明因此，是封闭的。自是紧凑的多值函数，很容易检查对所有人都有限制最后，我们证明了持有。让和.选择这样的话对所有人来说.自对于每个，所以存在这样的话对于每个现在，多值映射被考虑，其特征是 自和是可测量的，因此很明显，多功能是可衡量的。现在，选择这样的话对所有人来说。选择这样的话对于任何然后，我们得到 因此，我们得到因此，对于每个.通过利用，我们意识到有定理2，一个成员存在的原因是。这表明是分数量子差分包含问题的解(2)因此，我们的证明终于完成了。□ 4.数值示例
本节提供了一些有趣的数值示例，以应用和验证我们在本研究工作中的结果。
例子 1 考虑以下Caputo quantum-difference FBVP： 这样的话,,,,,和此外，我们考虑一个连续函数构造为： 哪里是由定义的连续函数和无衰减且连续通过现在，对于任何人，我们可以写： 因此，对于任何有界集包含在中，我们到达 我们计算然后，通过考虑上述计算和以下不等式，我们得到 我们发现定理3已经解决了。因此，对于Caputo分数量子差分FBVP，至少存在一个解(23). 例子 2 哪里,,、和现在，我们引入一个多值函数如下： 接下来，我们将作为递增上半连续函数，定义为对于任何可以很容易地注意到和对于每个。我们选择由制定因此，。对于任何，我们有： 函数的图形：和对于如所示图3. 接下来，考虑多功能给出人： 因此，利用定理4，找到了量子差分包含FBVP的解(24). 5.结论
本文研究了具有分数量子积分条件的非线性Caputo量子差分FBVP及其分数量子差分包含BVP。在这个方向上，我们证明了第一量子差分方程解的存在性(1)借助于拓扑度理论中的一些概念。换句话说，我们定义了一个新的算子并检查了它的属性，最后证明了它是一个凝聚函数。该算子不动点的存在确保了上述量子微分方程解的存在(1). 在下一步中，我们考虑了上述FBVP的包含版本，其表单为(2). 这一次的主要目的是确认(2)对于一个新定义的多功能，我们使用了基于近似端点属性和端点存在性的新技术。通过数值例子说明了我们的主要结果的有效性和应用于未来研究工作的潜力。我们建议其他研究人员可以通过使用新的分数差分算子（例如-不同的。
