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第条

用局部分数阶导数算子解Helmholtz方程

通过
杜米特鲁·巴利亚努
1,2,3,*,
哈桑·卡米尔·贾西姆
4和
玛莎·库拉希
5
1
土耳其安卡拉，06530，圣安卡亚大学数学系
2
罗马尼亚布加勒斯特，077125，马古雷，空间科学研究所
三
南非比勒陀利亚0001私人邮袋X680茨瓦尼理工大学科学院数学与统计系
4
伊拉克Nasiriyah 64001 Thi-Qar大学纯科学教育学院数学系
5
沙特阿拉伯国王沙特大学科学院数学系，邮政信箱2454，Ryad 11451
*
信件应寄给的作者。
分形。 2019,三(3), 43;https://doi.org/10.3390/fractalfract3030043
收到的提交文件：2019年7月3日/修订日期：2019年7月20日/接受日期：2019年7月23日/发布日期：2019年8月1日
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摘要

:
本文提出了一种新的分析方法，称为局部分数拉普拉斯变分迭代法（LFLVIM），它是局部分数拉place变换（LFLT）和局部分数变分迭代方法（LFVIM）的组合，用于求解具有局部分数导数算子（LFDO）的二维亥姆霍兹方程和耦合亥姆霍兹方程。算子取局部分数意义。通过两个测试问题证明了该方法的有效性和准确性。将所得近似解与局部分数拉普拉斯分解法（LFLDM）所得结果进行了比较。结果表明，LFLVIM对于求解线性和非线性偏微分方程是非常有效和方便的。

1.简介

亥姆霍兹方程经常出现在涉及时空偏微分方程（PDE）的物理问题的研究中。在二维情况下，提出了带有局部分数阶导数算子的亥姆霍兹方程[1,2]如下所示：
∂ 2 α H（H） ∂ x个 2 α + ∂ 2 α H（H） ∂ 年 2 α + ω 2 α H（H） = （f） ( x个 , 年 )   ,         0 < α ≤ 1
初始值条件如下：
H（H） ( 0 , 年 ) = φ ( 年 )   ,             ∂ α H（H） ( 0 , 年 ) ∂ x个 α = ψ ( 年 )
哪里 H（H） ( x个 , 年 ) 是未知函数 （f） ( x个 , 年 ) 是一个源术语。在二维情况下引入了带局部分数阶导数算子的耦合亥姆霍兹方程[2]如下所示：
∂ 2 α H（H） 1 ∂ x个 2 α + ∂ 2 α H（H） 2 ∂ 年 2 α + ω 1 2 α H（H） 1 = （f） 1   , ∂ 2 α H（H） 2 ∂ x个 2 α + ∂ 2 α H（H） 1 ∂ 年 2 α + ω 2 2 α H（H） 2 = （f） 2   ,
根据初始条件：
H（H） 1 ( 0 , 年 ) = φ 1 ( 年 )   ,     ∂ α H（H） 1 ( 0 , 年 ) ∂ x个 α = ψ 1 ( 年 )   , H（H） 2 ( 0 , 年 ) = φ 2 ( 年 )   ,     ∂ α H（H） 2 ( 0 , 年 ) ∂ x个 α = ψ 2 ( 年 )   .
哪里 H（H） 1 和 H（H） 2 是未知函数和 （f） 1 ( x个 , 年 )   和 （f） 2 ( x个 , 年 ) 是源术语。
近年来，许多近似和分析方法被用于求解带有LFDO的偏微分方程，例如Adomian分解方法[三,4,5]，变分迭代法[6,7,8,9,10,11]，微分变换法[12,13]，级数展开法[14,15,16]，Sumudu变换方法[17]，傅里叶变换法[18]，功能分解方法[19,20]，拉普拉斯变换法[21,22]，减少微分变换方法[23,24]，同伦扰动Sumudu变换[25]，以及局部分数阶微分方程解的存在唯一性[26,27].
本文的主要目的是提出局部分数阶拉普拉斯变分迭代法来求解亥姆霍兹方程和耦合亥姆霍茨方程与线性反馈微分方程。值得注意的是，与LFVIM相比，新的修改减少了计算的大小。本文的结构如下：第2节介绍了局部分数阶微积分的基本数学工具。建议方法的分析如所示第3节.然后进入第4节，将所提出的方法用于求解一些实例。最后，总结性意见见第5节.

2.局部分数阶微积分的基本定义

在本节中，我们将介绍用于描述所提方案的局部分数阶微积分的基本定义和属性。
定义 1.
的局部分数导数 （f） ( x个 ) 订单的 α 在这一点上 x个 = x个 0 由提供[19,20,24]:
（f） ( α ) ( x个 0 ) = 林 x个 → x个 0 Δ α ( （f） ( x个 ) − （f） ( x个 0 ) ) ( x个 − x个 0 ) α
哪里 Δ α ( （f） ( x个 ) − （f） ( x个 0 ) ) ≅ Γ ( α + 1 )   ( （f） ( x个 ) − （f） ( x个 0 ) ) .
定义 2
间隔的分区 [ 一 , b条 ] 表示为 ( t吨 j个   ,   t吨 j个 + 1 )   ,   j个 = 0 , … , N个 − 1 , 和 t吨 N个 = b条 具有 Δ t吨 j个 = t吨 j个 + 1 − t吨 j个 和 Δ t吨 = 最大值 { Δ t吨 0 , Δ t吨 1 , … } . 的局部分数积分 （f） ( x个 ) 在间隔中 [ 一 , b条 ] 由提供[20,24]:
我 一 b条 ( α )   （f） ( x个 ) = 1 Γ ( 1 + α ) ∫ 一 b条 （f） ( t吨 )   ( d日 t吨 ) α = 1 Γ ( 1 + α ) 极限 Δ t吨 → 0   ∑ j个 = 0 N个 − 1 （f） ( t吨 j个 )   ( Δ t吨 j个 ) α .
如果函数是局部分数连续的，则存在局部分数导数和积分。
定义 三。
让 1 Γ ( 1 + α ) ∫ 0 ∞ | （f） ( x个 ) |   ( d日 x个 ) α < k个 < ∞ .的局部分数拉普拉斯变换 （f） ( x个 ) 由提供[19,20]:
L（左） α { （f） ( x个 ) } = （f） 秒 L（左） ,   α ( 秒 ) = 1 Γ ( 1 + α ) ∫ 0 ∞ E类 α ( − 秒 α x个 α ) （f） ( x个 )   ( d日 x个 ) α   ,     0 < α ≤ 1
其中后一个积分收敛并且 秒 α ∈ R（右） α .
定义 4
局部分数拉普拉斯变换的逆 （f） ( x个 ) 是[19,28]:
L（左） α − 1 { （f） 秒 L（左） ,   α ( 秒 ) } = （f） ( t吨 )     = 1 ( 2 π ) α ∫ β − 我 ω β + 我 ω E类 α ( 秒 α x个 α ) （f） 秒 L（左） ,   α ( 秒 )   ( d日 秒 ) α   ,     0 < α ≤ 1
哪里 秒 α = β α + 我 α ω α 、和 重新 ( 秒 ) = β > 0
定理 1.
假设 L（左） α { （f） ( x个 ) } = （f） 秒 L（左） , α ( 秒 ) 和 L（左） α { 克 ( x个 ) } = 克 秒 L（左） , α ( 秒 )   , 那么我们有以下公式：
L（左） α { 一 （f） ( x个 ) + b条 克 ( x个 ) } = 一 （f） 秒 L（左） , α ( 秒 ) + b条 克 秒 L（左） , α ( 秒 )
L（左） α { E类 α ( c（c） α x个 α ) （f） ( x个 ) } = （f） 秒 L（左） , α ( 秒 − c（c） )
L（左） α { （f） ( k个 α ) ( x个 ) } = 秒 k个 α （f） 秒 L（左） , α ( 秒 ) − 秒 ( k个 − 1 ) α （f） ( 0 ) − 秒 ( k个 − 2 ) α （f） ( α ) ( 0 ) − ⋅ ⋅ ⋅ − （f） ( ( k个 − 1 ) α ) ( 0 )
L（左） α { E类 α ( 一 α x个 α ) } = 1 秒 α − 一 α
L（左） α { x个 k个 α } = Γ ( 1 + k个 α ) 秒 ( k个 + 1 ) α
定理的证明 1:
参见[29].
定义 5
两个函数的卷积由以下符号定义[28,29]:
ψ 1 ( x个 ) ∗ ψ 2 ( x个 ) = 1 Γ ( 1 + α ) ∫ 0 x个 ψ 1 ( t吨 ) ψ 2 ( x个 − t吨 )   ( d日 t吨 ) α
或
ψ 2 ( x个 ) ∗ ψ 1 ( x个 ) = 1 Γ ( 1 + α ) ∫ 0 x个 ψ 2 ( t吨 ) ψ 1 ( x个 − t吨 )   ( d日 t吨 ) α
定理 2
让 L（左） α { ψ 1 ( x个 ) } = Ψ 秒 , 1 L（左） , α ( 秒 ) 和 L（左） α { ψ 2 ( x个 ) } = Ψ 秒 , 2 L（左） , α ( 秒 ) ，那么
L（左） α { ψ 1 ( x个 ) ∗ ψ 2 ( x个 ) } = Ψ 秒 , 1 L（左） , α ( 秒 )   Ψ 秒 , 2 L（左） , α

3.方法分析

在本节中，我们将说明局部分数阶偏微分方程的拉普拉斯变分迭代方法的基本思想。
让我们考虑以下局部分数阶偏微分方程：
L（左） α u个 ( x个 , 年 )   + R（右） α u个 ( x个 , 年 )   + N个 α u个 ( x个 , 年 ) = （f） ( x个 , 年 )     ,       0 < α ≤ 1
哪里 L（左） α   = ∂ k个 α ∂ x个 k个 α 是线性LFDO， R（右） α   是阶数小于的线性LFDO L（左） α , N个 α 表示一般非线性LFDO，以及 （f） ( x个 , 年 ) 是源项。
根据LFVIM规则，方程（16）的修正局部分数泛函构造为[6,7,8,9,10,30,31]:
u个 n个 + 1 ( x个 ) = u个 n个 ( x个 ) + 我 0 x个 ( α ) ( λ ( x个 − ξ ) α Γ ( 1 + α ) [ L（左） α u个 n个 ( ξ ) + R（右） α u个 ˜ n个 ( ξ ) + N个 α u个 ˜ n个 ( ξ ) − （f） ( ξ ) ] )   ,
哪里 λ ( x个 − ξ ) α Γ ( 1 + α ) 是分形拉格朗日乘数。
对于方程（16）的初值问题，我们可以从以下几点开始：
u个 0 ( x个 ) = u个 ( 0 ) + x个 α Γ ( 1 + α ) u个 ( α ) ( 0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + x个 ( k个 − 1 ) α Γ ( 1 + ( k个 − 1 ) α ) u个 ( ( k个 − 1 ) α ) ( 0 )
我们现在对方程（17）进行Yang-Laplace变换，即：
L（左） α { u个 n个 + 1 } = L（左） α { u个 n个 } + L（左） α { 我 0 x个 ( α ) ( λ ( x个 − ξ ) α Γ ( 1 + α ) [ L（左） α u个 n个 ( ξ ) + R（右） α u个 ˜ n个 ( ξ ) + N个 α u个 ˜ n个 ( ξ ) − （f） ( ξ ) ] ) }
或
L（左） α { u个 n个 + 1 } = L（左） α { u个 n个 } + L（左） α { λ ( x个 ) α Γ ( 1 + α ) } L（左） α { L（左） α u个 n个 ( x个 ) + R（右） α u个 ˜ n个 ( x个 ) + N个 α u个 ˜ n个 ( x个 ) − （f） ( x个 ) }
取方程（20）的局部分数变分，如下所示：
δ α ( L（左） α { u个 n个 + 1 } ) = δ α ( L（左） α { u个 n个 } ) + δ α ( L（左） α { λ ( x个 ) α Γ ( 1 + α ) } L（左） α { L（左） α u个 n个 ( x个 ) + R（右） α u个 ˜ n个 ( x个 ) + N个 α u个 ˜ n个 ( x个 ) − （f） ( x个 ) } )
通过使用方程（21）的计算，我们得到：
δ α ( L（左） α { u个 n个 + 1 } ) = δ α ( L（左） α { u个 n个 } ) + L（左） α { λ ( x个 ) α Γ ( 1 + α ) } δ α ( L（左） α { L（左） α u个 n个 ( x个 ) } )
因此，从方程式（22）中，我们得到：
1 + L（左） α { λ ( x个 ) α Γ ( 1 + α ) } 秒 k个 α = 0
哪里：
δ α ( L（左） α { L（左） α u个 n个 ( x个 ) } ) = δ α ( 秒 k个 α L（左） α { u个 n个 ( x个 ) } − 秒 ( k个 − 1 ) α u个 n个 ( 0 ) − ⋅ ⋅ ⋅ − u个 n个 ( ( k个 − 1 ) α ) ( 0 ) ) = 秒 k个 α δ α ( L（左） α { u个 n个 ( x个 ) } )
因此，我们得到：
L（左） α { λ ( x个 ) α Γ ( 1 + α ) } = − 1 秒 k个 α
因此，我们有以下迭代算法：
L（左） α { u个 n个 + 1 } = L（左） α { u个 n个 } − 1 秒 k个 α L（左） α { L（左） α u个 n个 ( x个 ) + R（右） α u个 n个 ( x个 ) + N个 α u个 ˜ n个 ( x个 ) − （f） ( x个 ) }
其中初始值为：
u个 0 ( x个 ) = u个 ( 0 ) + x个 α Γ ( 1 + α ) u个 ( α ) ( 0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + x个 ( k个 − 1 ) α Γ [ 1 + ( k个 − 1 ) α ] u个 ( ( k个 − 1 ) α ) ( 0 )
因此，方程（16）的局部分数级数解为：
u个 ( x个 , 年 ) = 林 n个 → ∞ L（左） α − 1 ( L（左） α { u个 n个 ( x个 , 年 ) } )

4.示例

为了说明上述结果第3节，我们给出了以下几个示例。
例子 1.
让我们考虑以下涉及局部分数算子的亥姆霍兹方程：
∂ 2 α u个 ( x个 , 年 ) ∂ x个 2 α + ∂ 2 α u个 ( x个 , 年 ) ∂ 年 2 α = u个 ( x个 , 年 )   ,       0 < α ≤ 1
初始值条件如下：
u个 ( 0 , 年 ) = 0 ,       ∂ α u个 ( 0 , 年 ) ∂ x个 α = 科什 α ( 年 α )
使用关系式（26），我们将迭代关系构造为：
L（左） α { u个 n个 + 1 } = L（左） α { u个 n个 } − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α u个 n个 ∂ x个 2 α + ∂ 2 α u个 n个 ∂ 年 2 α − u个 n个 } = 1 秒 α u个 n个 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 n个 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α ∂ 2 α L（左） α { u个 n个 } ∂ 年 2 α + 1 秒 2 α L（左） α { u个 n个 }
根据方程式（27），初始值为：
u个 0 ( x个 , 年 ) = u个 ( 0 , 年 ) + x个 α Γ ( 1 + α ) u个 ( α ) ( 0 , 年 ) = x个 α Γ ( 1 + α ) 科什 α ( 年 α )
利用方程（31）和（32），逐次近似解如下所示：
L（左） α { u个 1 ( x个 , 年 ) } = 1 秒 α u个 0 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 0 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α ∂ 2 α L（左） α { u个 0 ( x个 , 年 ) } ∂ 年 2 α + 1 秒 2 α L（左） α { u个 0 ( x个 , 年 ) } = 1 秒 2 α 科什 α ( 年 α ) − 1 秒 4 α 科什 α ( 年 α ) + 1 秒 4 α 科什 α ( 年 α ) = 1 秒 2 α 科什 α ( 年 α ) , L（左） α { u个 2 } = 1 秒 α u个 1 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 1 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α ∂ 2 α L（左） α { u个 1 } ∂ 年 2 α + 1 秒 2 α L（左） α { u个 1 } = 1 秒 2 α 科什 α ( 年 α ) , L（左） α { u个 三 } = 1 秒 α u个 2 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 2 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α ∂ 2 α L（左） α { u个 2 } ∂ 年 2 α + 1 秒 2 α L（左） α { u个 2 } = 1 秒 2 α 科什 α ( 年 α ) , L（左） α { u个 4 } = 1 秒 α H（H） 三 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 三 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α ∂ 2 α L（左） α { u个 三 } ∂ 年 2 α + 1 秒 2 α L（左） α { u个 三 } = 1 秒 2 α 科什 α ( 年 α ) , L（左） α { u个 n个 } = 1 秒 2 α 科什 α ( 年 α )   ,   n个 ≥ 1 . 因此 ,   这个   地方的   分数的   系列   解决方案   是 : u个 ( x个 , 年 ) = 极限 n个 → ∞ L（左） α − 1 ( 1 秒 2 α 科什 α ( 年 α ) ) = x个 α Γ ( 1 + α ) 科什 α ( 年 α )   .
结果与LFLDM获得的结果相同[2].
在图1,图2和图3，对于不同的 α = 1 2   , 自然对数 ( 2 ) / 自然对数 ( 三 )   ,   1 分别是。
例子 2
考虑带有局部分数导数算子的耦合亥姆霍兹方程：
∂ 2 α u个 ( x个 , 年 ) ∂ x个 2 α + ∂ 2 α v（v） ( x个 , 年 ) ∂ 年 2 α − u个 ( x个 , 年 ) = 0   , ∂ 2 α v（v） ( x个 , 年 ) ∂ x个 2 α + ∂ 2 α u个 ( x个 , 年 ) ∂ 年 2 α − v（v） ( x个 , 年 ) = 0   ,
根据初始条件：
u个 ( 0 , 年 ) = 0   ,     ∂ α u个 ( 0 , 年 ) ∂ x个 α = E类 α ( 年 α )   , v（v） ( 0 , 年 ) = 0   ,     ∂ α v（v） ( 0 , 年 ) ∂ x个 α = − E类 α ( 年 α )   .
考虑到方程（26）和（34），局部分数迭代算法可以写成如下：
L（左） α { u个 米 + 1 } = L（左） α { u个 米 } − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α u个 米 ∂ x个 2 α + ∂ 2 α v（v） 米 ∂ 年 2 α − u个 米 } , L（左） α { v（v） 米 + 1 } = L（左） α { v（v） 米 } − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α v（v） 米 ∂ x个 2 α + ∂ 2 α u个 米 ∂ 年 2 α − v（v） 米 } ,
这将导致：
L（左） α { u个 米 + 1 } = 1 秒 α u个 米 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 米 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α v（v） 米 ∂ 年 2 α − u个 米 } , L（左） α { v（v） 米 + 1 } = 1 秒 α v（v） 米 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α v（v） 米 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α u个 米 ∂ 年 2 α − v（v） 米 } ,
其中初始值为：
L（左） α { u个 0 ( x个 , 年 ) } = L（左） α { x个 α Γ ( 1 + α ) E类 α ( 年 α ) } = E类 α ( 年 α ) 秒 2 α , L（左） α { v（v） 0 ( x个 , 年 ) } = L（左） α { − x个 α Γ ( 1 + α ) E类 α ( 年 α ) } = − E类 α ( 年 α ) 秒 2 α .
利用方程（37）和（38），逐次近似解如下所示：
L（左） α { u个 1 } = 1 秒 α u个 0 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 0 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α v（v） 0 ∂ 年 2 α − u个 0 } , L（左） α { v（v） 1 } = 1 秒 α v（v） 0 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α v（v） 0 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α u个 0 ∂ 年 2 α − v（v） 0 } , = E类 α ( 年 α ) 秒 2 α + 2 E类 α ( 年 α ) 秒 4 α   , = − E类 α ( 年 α ) 秒 2 α − 2 E类 α ( 年 α ) 秒 2 α   . L（左） α { u个 2 } = 1 秒 α u个 1 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 1 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α v（v） 1 ∂ 年 2 α − u个 1 } , L（左） α { v（v） 2 } = 1 秒 α v（v） 1 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α v（v） 1 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α u个 1 ∂ 年 2 α − v（v） 1 } , = E类 α ( 年 α ) 秒 2 α + 2 E类 α ( 年 α ) 秒 4 α + 4 E类 α ( 年 α ) 秒 6 α   , = − E类 α ( 年 α ) 秒 2 α − 2 E类 α ( 年 α ) 秒 4 α − 4 E类 α ( 年 α ) 秒 6 α   . L（左） α { u个 三 } = 1 秒 α u个 2 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α u个 2 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α v（v） 2 ∂ 年 2 α − u个 2 } , L（左） α { v（v） 三 } = 1 秒 α v（v） 2 ( 0 , 年 ) + 1 秒 2 α v（v） 2 ( α ) ( 0 , 年 ) − 1 秒 2 α L（左） α { ∂ 2 α u个 2 ∂ 年 2 α − v（v） 2 } , = E类 α ( 年 α ) 秒 2 α + 2 E类 α ( 年 α ) 秒 4 α + 4 E类 α ( 年 α ) 秒 6 α + 8 E类 α ( 年 α ) 秒 8 α   , = − E类 α ( 年 α ) 秒 2 α − 2 E类 α ( 年 α ) 秒 4 α − 4 E类 α ( 年 α ) 秒 6 α − 8 E类 α ( 年 α ) 秒 8 α   . L（左） α { u个 米 } = ∑ k个 = 0 米 2 k个 E类 α ( 年 α ) 秒 ( 2 k个 + 2 ) α   , L（左） α { v（v） 米 } = − ∑ k个 = 0 米 2 k个 E类 α ( 年 α ) 秒 ( 2 k个 + 2 ) α   .
因此，局部分数级数解为：
u个 = L（左） α − 1 ( E类 α ( 年 α ) 秒 2 α + 2 E类 α ( 年 α ) 秒 4 α + 4 E类 α ( 年 α ) 秒 6 α + … ) v（v） = L（左） α − 1 ( − E类 α ( 年 α ) 秒 2 α − 2 E类 α ( 年 α ) 秒 4 α − 4 E类 α ( 年 α ) 秒 6 α − … ) = E类 α ( 年 α ) ( x个 α Γ ( 1 + α ) + 2 x个 三 α Γ ( 1 + 三 α ) + 4 x个 5 α Γ ( 1 + 5 α ) − … ) = E类 α ( 年 α ) 新几内亚 α ( 2 x个 α ) 2   , = − E类 α ( 年 α ) ( x个 α Γ ( 1 + α ) + 2 x个 三 α Γ ( 1 + 三 α ) + 4 x个 5 α Γ ( 1 + 5 α ) − ⋅ ⋅ ⋅ ) = − E类 α ( 年 α ) 新几内亚 α ( 2 x个 α ) 2   .
结果与LFLDM获得的结果相同[2]和LFLHPM[32].
在图4和图5，对于不同的 α = 1 2   , 1 分别是。

5.结论

本文利用局部分数阶变分迭代法和拉普拉斯变换的耦合方法求解亥姆霍兹方程和耦合亥姆霍茨方程，得到了它们的近似解。局部分数阶拉普拉斯变分迭代法是求解具有局部分数阶导数算子的偏微分方程的一种有效方法，因为其近似解与精确解之间具有良好的一致性。比较表明，与其他数值方法所需的计算量相比，该方法的计算量较小，其快速收敛性表明，该方法是可靠的，并对使用局部分数阶导数算子求解线性和非线性偏微分方程带来了显著的改进。

作者贡献

H.K.J.写了手稿的一些部分；D.B.和M.A.准备了论文的其他部分并进行了分析。所有作者都已阅读并批准了最终稿。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者非常感谢裁判对本文的改进提出了有益的意见和建议。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分形03 00043 g001 550
图1。分数阶α=1/2的局部分数阶亥姆霍兹方程解的作图。
图1。分数阶α=1/2的局部分数阶亥姆霍兹方程解的作图。
分形03 00043 g001
分形03 00043 g002 550
图2。分数阶α=ln（2）/ln（3）的局部分数阶Helmholtz方程解的作图。
图2。分数阶α=ln（2）/ln（3）的局部分数阶Helmholtz方程解的作图。
分形03 00043 g002
分形03 00043 g003 550
图3。分数阶α=1的局部分数阶亥姆霍兹方程的解的绘图。
图3。分数阶α=1的局部分数阶亥姆霍兹方程的解的绘图。
分形03 00043 g003
分形03 00043 g004 550
图4。包含分数阶α=1/2的局部分数阶导数算子的耦合亥姆霍兹方程的解的绘图。
图4。包含分数阶α=1/2的局部分数阶导数算子的耦合亥姆霍兹方程的解的绘图。
分形03 00043 g004
分形03 00043 g005 550
图5。包含分数阶α=1的局部分数阶导数算子的耦合亥姆霍兹方程的解的绘图。
图5。包含分数阶α=1的局部分数阶导数算子的耦合亥姆霍兹方程的解的图。
分形03 00043 g005

分享和引用

MDPI和ACS样式

巴利亚努，D。；Jassim，香港。；Al Qurashi，M。用局部分数导数算子求解亥姆霍兹方程。分形。 2019,三, 43.https://doi.org/10.3390/fractalfract3030043

AMA风格

Baleanu D、Jassim HK、Al Qurashi M。用局部分数导数算子求解亥姆霍兹方程。分形和分数. 2019; 3(3):43.https://doi.org/10.3390/fractalfract3030043

芝加哥/图拉宾风格

巴利亚努（Baleanu）、杜米特鲁（Dumitru）、哈桑·卡米尔·贾西姆（Hassan Kamil Jassim）和玛萨·阿尔·库拉什（Maysaa Al-Qurashi）。2019.“用局部分数导数算子求解亥姆霍兹方程”分形和分数第三，第三：43。https://doi.org/10.3390/fractalfract3030043

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